בשיעור זה נלמד פתרון מפורט לשאלה 1 במועד ב של שנת 2015 ברשת 5 יחידות, בנושא נקודות השקה במשוואות פרבולה ומעגלים, מציאת משוואות המשיק והמרחקים ביניהן.
להבין כיצד לייצג משוואות משיקים לפרבולה
לחשב את שיפועי המשיקים בנקודות השקה
למצוא את נקודות ההשקה של הפרבולה והמקומות המשיקים
להבין השימוש במשוואות של מעגלים ויחסי מרכז ורדיוס
לחשב מרחקים בין נקודות והקשריהם לפרמטרים בחישובים
לכתוב משוואות מעגלים ויישום משולש ישר זווית (פיתגורס) בפתרון שאלות
הצגת המשוואה והנקודות: מתחילים במשוואת הפרבולה y בחזקה 2 שווה 4x, ונתונות שתי נקודות השקה A ו-B.
כתיבת משוואות המשיקים: כיצד כותבים משוואות משיקים לפרבולה בהתאם לפרמטרים t ו-k של נקודות ההשקה.
חישוב נקודות ההשקה: מציאת ערכי t ו-k מהמשוואות והגדרת נקודות ההשקה בפועל.

תרגול קצר

מציאת ערכי t בנקודות השקה בפרבולה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפרבולה y בריבוע = 4x. פרמטר p שווה 2. כתוב את משוואת המשיק בנקודה עם פרמטר t, והצג כיצד מחשבים את ערך t כאשר נקודת ההשקה נמצאת בנקודה (-2,1).

פרבולהמשוואת משיקנקודות השקה

רמז: הציב את נקודת ההשקה במשוואת המשיק y t = 2 (x + t²/4) ופתור למשוואת ריבועית ב-t.

פתרון מלא

תשובה סופית: t=4 או t=-2

הצבת נקודה (-2,1): 1 * t = 2 (-2 + t²/4) פישוט: t = 2 (-2 + t²/4) = -4 + t²/2 קבלת משוואה: t² - 2t -8 = 0 פתרון המשוואה נותן t=4 או t=-2. כפי שרואים, t=4 מתאים לנקודה B ו-t=-2 לנקודה A.

מציאת שיפוע משיק ונקודת מרכז המעגל

רמת קושי: בינוני

ממתין

פרבולה נתונה, ושיפוע משיק בנקודה B הוא -1. מצא את משוואת הישר המאונך (המשיק למעגל) שעובר בנקודה B (1,-2) וחשב את מרכז המעגל על ציר ה-y.

מעגלשיפועישרמרכז מעגל

רמז: שיפוע המאונך הוא ההופכי הסימני של השיפוע הנתון, משוואת ישר בנקודה ושיפוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת הישר y = x - 3, מרכז המעגל ב-(0,-3)

שיפוע משיק הוא -1, לכן שיפוע הישר המאונך הוא 1. משוואת הישר שעובר ב-B: y - (-2) = 1 (x - 1) פישוט: y + 2 = x -1 לכן: y = x -3 המרכז נמצא בנקודה (0,-3) על ציר ה-y.

כתיבת משוואת המעגל עם קבלת מרכז ורדיוס

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון מרכז מעגל ב-(0,m) ורדיוס שווה למרחק מ-(0,m) לנקודה B (1,-2) שווה לשורש 2. מצא את ערך m וכתוב את משוואת המעגל המלאה.

מעגלמרכז וקרוסרדיוס

רמז: השתמש במשוואת מרחק בין נקודות, יישם את משפט פיתגורס ופתור את המשוואה הריבועית.

פתרון מלא

תשובה סופית: m=-3 או m=-1 משוואת המעגל: x² + (y - m)² = 2

מרחק בין (0,m) ל-(1,-2) הוא שורש ((1-0)² + (-2 - m)²) = שורש 2 ריבוע המרחק: 1 + (-2 - m)² = 2 (-2 - m)² = 1 פתח וסדר: m² + 4m +4 = 1 קבלת משוואה: m² + 4m + 3 = 0 פתרון: m = (-4 ± √(16 -12)) / 2 = (-4 ± 2) / 2 אפשרויות: m = -1 או m = -3 משוואת המעגל: (x - 0)² + (y - m)² = 2 למשל עבור m = -3: x² + (y + 3)² = 2

חישוב נקודות ההשקה לפרבולה לפי משוואת המשיק

רמת קושי: בגרות

ממתין

בפרבולה y²=4x, נקודת ההשקה נמצאת כך ש-yt=2x+(t²)/4. נתונה נקודה (-2,1) על המשיק. מצא את ערכי t שמתאימים ונקודות ההשקה.

פרבולהמשוואת משיקנקודות השקה

רמז: הציב את נקודת ההשקה במשוואת המשיק ופשט למשוואה ריבועית ב-t.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות ההשקה הן (4,4) ו(-2,1)

הצבה: 1 * t = 2 (-2 + t²/4), פיתוח ל-t² - 2t - 8=0 פתרונות: t=4 או t=-2 ל-t=4: x=4, y=4 ל-t=-2: x=-2, y=1 נקודות ההשקה הן (4,4) ו(-2,1)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 1 מועד ב קיץ 2015

נקודות השקה ומשוואות משיקים בפרבולה ומעגל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי t בנקודות ההשקה / שיפוע המשיקים / מרכז המעגל / משוואת המעגל וערכי m
נתון 1
נתון 1
פרבולה y²=4x עם p=2
נתון 2
נקודת השקה נתונה (-2,1)
נתון 3
נקודת השקה פנויה עם פרמטר t
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במשוואת המשיק, נציב את נקודות ההשקה ונתקן משוואות ריבועיות למציאת t, נחבר זאת לחישובי
נוסחה
רשום את משוואת הפרבולה y²=4x ומשוואת המשיק y t = 2(x+t²/4).
y * t = 2 * (x + t^2 / 4)y t = 2 (x + t²/4)y t = 2 (x + (t^2)/(4))
משוואה
הצב בנקודה (-2,1): 1 * t = 2 (-2 + t²/4).
הצב בנקודה (-2,1): 1 * t = 2 (-2 + t²/4).
1 * t = 2 * (-2 + t^2 / 4)1 * t = 2 (-2 + t^2 / 4)1 * t = 2 (-2 + (t^2)/(4) )
פישוט
סדר את המשוואה: t² - 2t -8 = 0 ופתור את משוואת הריבוע.
סדר את המשוואה: t² - 2t -8 = 0 ופתור את משוואת הריבוע.
t^2 - 2 * t - 8 = 0t^2 - 2 t - 8 = 0

(1 - 0)^2 + (-2 - m)^2 = 2

פתור משוואה ריבועית בערך m.

פתרונות כלליים

מציאת ערכי t בנקודות השקה בפרבולה: הצבת נקודה (-2,1): 1 * t = 2 (-2 + t²/4) פישוט: t = 2 (-2 + t²/4) = -4 + t²/2 קבלת משוואה: t² - 2t -8 = 0 פתרון המשוואה נותן t=4 או t=-2. כפי שרואים, t=4 מתאים לנקודה B ו-t=-2 לנקודה A.
מציאת שיפוע משיק ונקודת מרכז המעגל: שיפוע משיק הוא -1, לכן שיפוע הישר המאונך הוא 1. משוואת הישר שעובר ב-B: y - (-2) = 1 (x - 1) פישוט: y + 2 = x -1 לכן: y = x -3 המרכז נמצא בנקודה (0,-3) על ציר ה-y.
כתיבת משוואת המעגל עם קבלת מרכז ורדיוס: מרחק בין (0,m) ל-(1,-2) הוא שורש ((1-0)² + (-2 - m)²) = שורש 2 ריבוע המרחק: 1 + (-2 - m)² = 2 (-2 - m)² = 1 פתח וסדר: m² + 4m +4 = 1 קבלת משוואה: m² + 4m + 3 = 0 פתרון: m = (-4 ± √(16 -12)) / 2 = (-4 ± 2) / 2 אפשרויות: m = -1 או m = -3 משוואת המעגל: (x - 0)² + (y - m)² = 2 למשל עבור m = -3: x² + (y + 3)² = 2
חישוב נקודות ההשקה לפרבולה לפי משוואת המשיק: הצבה: 1 * t = 2 (-2 + t²/4), פיתוח ל-t² - 2t - 8=0 פתרונות: t=4 או t=-2 ל-t=4: x=4, y=4 ל-t=-2: x=-2, y=1 נקודות ההשקה הן (4,4) ו(-2,1)

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכי t בנקודות ההשקה / שיפוע המשיקים / מרכז המעגל / משוואת המעגל וערכי m

נתון 1

נקודת השקה נתונה (-2,1)

נקודת השקה פנויה עם פרמטר t

הרעיון המרכזי

רשום את משוואת הפרבולה y²=4x ומשוואת המשיק y t = 2(x+t²/4).

הצב בנקודה (-2,1): 1 * t = 2 (-2 + t²/4).

סדר את המשוואה: t² - 2t -8 = 0 ופתור את משוואת הריבוע.

פתרון מפורט

הגדרת משוואת הפרבולה והמשיקים

הצבת נקודה במשוואת המשיק

פישוט המשוואה ופתרון ריבועי

חישוב נקודות ההשקה בפועל

חישוב שיפוע המשיקים ומרכז המעגל

מציאת רדיוס ועצמיות המעגל

פתרונות כלליים