וידאו · פתרונות של בגרויות
חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- פתרון שאלה 5 מתוך שאלון 582 ברמת 5 יחידות, המתמקד בפונקציה עם פרמטר a הגדול מ-4, תכונותיה, נקודות חיתוך, תחומי עליה וירידה, נקודות פיתול ושטח מוגבל ע"י גרף הנגזרת.
- לנתח פונקציה עם פרמטר ולהבין השפעתו
- למצוא נקודות חיתוך עם הצירים
- לזהות תחומי עליה וירידה של פונקציה
- לבדוק קיומן של נקודות פיתול בפונקציה
- לחבר אינטגרלים עם שטחים תחת גרפים ולפתור משוואות לפרמטרים
- הגדרת הפונקציה וניתוחה: הפונקציה נתונה כשווה x בריבוע ועוד 2x ועוד a כפול e בחזק x כאשר a>4. נבחן התנהגות הפונקציה, נגזרותיה וגרף הנגזרת השנייה.
- נקודות חיתוך עם הצירים: נמצא את נקודות החיתוך של f עם ציר ה-x וציר ה-y ונראה כי החיתוך עם ציר ה-x לא קיים בגלל דיסקרימיננט שלילי.
- תחומי עליה וירידה ונקודות פיתול: הנגזרת הראשונה של הפונקציה שלילית בכל התחום ולכן הפונקציה יורדת בלבד. אין נקודות פיתול כי הנגזרת השנייה לא חוצה את ציר ה-x.
- חישוב אינטגרל ושטח מוגבל: החישוב נעשה על פי אינטגרל של הנגזרת מה שמוביל לביטוי המכיל את הפרמטר a, אותו ניתן לחשב ולהגיע לתוצאה סופית.
תרגול קצר
מציאת נקודות חיתוך עם הצירים בפונקציה נתונה
רמת קושי: קל
פונקציה מוגדרת על ידי f(x) = x² + 2x + a eˣ כאשר a > 4. מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה-y. האם קיימת נקודת חיתוך עם ציר ה-x? נמק.
רמז: חישוב חיתוך עם ציר ה-y נעשה על-ידי הצבת x=0. לחיתוך עם ציר ה-x פתר את המשוואה f(x)=0 ובדוק את הדיסקרימיננט של המשוואה הריבועית.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת חיתוך עם ציר y היא (0,a). אין נקודות חיתוך עם ציר x.
חיתוך עם ציר y: f(0) = 0 + 0 + a*e^0 = a. חיתוך ב(0,a). חיתוך עם x: לפתור x² + 2x + a = 0. דיסקרימיננט Δ=4 - 4a. כיוון ש-a > 4, Δ < 0 ולכן אין שורשים ממשיים ולא חיתוך עם ציר x.
קביעת תחומי עליה וירידה של הפונקציה
רמת קושי: בינוני
בהינתן הפונקציה f(x) = x² + 2x + a eˣ עם a > 4, מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
רמז: חשב את הנגזרת הראשונה f'(x) והמקדמים, שים לב לסימנם ובדוק שורשים וערכים אפשריים.
פתרון מלא
תשובה סופית: הפונקציה יורדת בכל התחום, אין עליה.
f'(x) = 2x + 2 + a eˣ. מכיוון ש-a>4 ו-eˣ > 0 תמיד, המונח a eˣ חיובי וגדל. כלומר המשוואה 2x + 2 + a eˣ > 0 לא מאפסו. בחישוב מדויק מתקבל ש-f' תמיד שלילית, כלומר הפונקציה תמיד יורדת.
בדיקת קיומה של נקודת פיתול
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה f(x) עם נגזרת ראשונה f'(x) כפי שהוגדר. האם יש נקודת פיתול לפונקציה f? הסבר.
רמז: נקודת פיתול מתרחשת במקום שבו הנגזרת השנייה משתהה לסימן ההפוך, כלומר חוצה ציר x.
פתרון מלא
תשובה סופית: אין נקודת פיתול לפונקציה f.
גרף הנגזרת השנייה (f'') תמיד חיובי (עקמומיות עולה), ולכן היא אינה חוצה את ציר x. לפיכך אין נקודת פיתול לפונקציה.
חישוב אינטגרל השטח תחת גרף הנגזרת
רמת קושי: בגרות
חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הנגזרת f'(x), צירי ה-x, והקווים x=0 ו-x=1, ומצא את ערך a כך שהשטח שווה ל-5 - 8/e.
רמז: השתמש בעובדה שהאינטגרל של f' בין 0 ל-1 שווה להפרש ערכי f(1) ו-f(0). תכתוב ביטוי עבור f(1) ו-f(0) עם a והציב.
פתרון מלא
תשובה סופית: a = (2 - 8/e) חלקי (e - 1)
אינטגרל של f' מ0 ל-1 = f(1) - f(0). f(1) = 1 + 2 + a e, f(0) = 0 + 0 + a. לכן האינטגרל = 3 + a(e-1). לפי הנתון, השטח = 5 - 8/e. שווה: 3 + a(e-1) = 5 - 8/e. פתרון למשוואה: a = (5 - 8/e -3)/(e-1) = (2 - 8/e)/(e-1).
דרך הפתרון
פתרון שאלה 5 – מציאת נקודות החיתוך וניתוח התנהגות פונקציה עם פרמטר a
ניתוח פונקציה ממעלה שניה עם פרמטר ואקספוננט
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודות החיתוך של f עם צירי x ו-y / תחומי עליה וירידה של f / האם קיימת נקודת פיתול
- נתון 1
נתון 1
f(x) = x² + 2x + a eˣ - נתון 2
נתון 2
a הוא פרמטר ומתקיים a > 4 - רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא נקודות חיתוך באמצעות הצבה ופתרון משוואות, נחשב נגזרת ראשונה, נבחן סימניה ונבדוק אם קיימת
- נוסחה
נציב x=0 ונחשב f(0).
f(0) = a - משוואה
נפתור את f(x) = 0, כלומר x² + 2x + a = 0.
נפתור את f(x) = 0, כלומר x² + 2x + a = 0.
Δ = 4 - 4a= 4 - 4a - פישוט
חשב נגזרת של הפונקציה.
חשב נגזרת של הפונקציה.
f'(x) = 2x + 2 + a e^xf'(x) = 2x + 2 + a e^(x) - תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק את סימן הנגזרת f'(x).
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הצגת פונקציית המקור
זיהוי נתונים
הצגת פונקציית המקור
מה עושים
הצג את הפונקציה ואת ערך הפרמטר a.
למה
ידיעת הפונקציה והפרמטר חיונית להמשך הפתרון.
f(x) = x² + 2x + a eˣ כאשר a > 4.
2בניית משוואה
חישוב חיתוך עם ציר y
בניית משוואה
חישוב חיתוך עם ציר y
מה עושים
נציב x=0 ונחשב f(0).
למה
חיתוך עם ציר y הוא כאשר x=0.
f(0) = 0 + 0 + a * e⁰ = a.
נוסחה / הצבה
f(0) = aחיתוך עם ציר y נקבע כי y = f(0).
3בניית משוואה
חישוב חיתוך עם ציר x באמצעות משוואה ריבועית
בניית משוואה
חישוב חיתוך עם ציר x באמצעות משוואה ריבועית
מה עושים
נפתור את f(x) = 0, כלומר x² + 2x + a = 0.
למה
נקודות חיתוך עם ציר x מוגדרות כשורשי המשוואה השווה לאפס.
Δ = 4 - 4a. מאחר a >4, נקבל Δ <0.
נוסחה / הצבה
Δ = 4 - 4a= 4 - 4aדיסקרימיננט שלילי מצביע שאין שורשים ממשיים.
4בחירת שיטה
מסקנה מחיתוך עם הצירים
בחירת שיטה
מסקנה מחיתוך עם הצירים
מה עושים
הסק מסקנה לגבי נקודות החיתוך עם הצירים.
למה
יש צורך לדעת האם הפונקציה חוצה את הצירים.
חיתוך עם ציר y בנקודה (0,a). אין חיתוך עם ציר x.
5בניית משוואה
חישוב הנגזרת הראשונה f'(x)
בניית משוואה
חישוב הנגזרת הראשונה f'(x)
מה עושים
חשב נגזרת של הפונקציה.
למה
הנגזרת מייצגת את קצב השינוי ועוזרת לקביעת תחומי עליה וירידה.
f'(x) = 2x + 2 + a eˣ
נוסחה / הצבה
f'(x) = 2x + 2 + a e^xf'(x) = 2x + 2 + a e^(x)6פתרון
קביעת תחומי עליה וירידה
פתרון
קביעת תחומי עליה וירידה
מה עושים
בדוק את סימן הנגזרת f'(x).
למה
סימן נגזרת מציין מגמת הפונקציה: חיובי-עליה, שלילי-ירידה.
מכיוון ש-a>4 ו-eˣ>0, הנגזרת תמיד שלילית. הפונקציה יורדת בכל תחום.
לבדוק שאכן אין פתרונות לנגזרת שווים לאפס.
פתרונות כלליים
- מציאת נקודות חיתוך עם הצירים בפונקציה נתונה: חיתוך עם ציר y: f(0) = 0 + 0 + a*e^0 = a. חיתוך ב(0,a). חיתוך עם x: לפתור x² + 2x + a = 0. דיסקרימיננט Δ=4 - 4a. כיוון ש-a > 4, Δ < 0 ולכן אין שורשים ממשיים ולא חיתוך עם ציר x.
- קביעת תחומי עליה וירידה של הפונקציה: f'(x) = 2x + 2 + a eˣ. מכיוון ש-a>4 ו-eˣ > 0 תמיד, המונח a eˣ חיובי וגדל. כלומר המשוואה 2x + 2 + a eˣ > 0 לא מאפסו. בחישוב מדויק מתקבל ש-f' תמיד שלילית, כלומר הפונקציה תמיד יורדת.
- בדיקת קיומה של נקודת פיתול: גרף הנגזרת השנייה (f'') תמיד חיובי (עקמומיות עולה), ולכן היא אינה חוצה את ציר x. לפיכך אין נקודת פיתול לפונקציה.
- חישוב אינטגרל השטח תחת גרף הנגזרת: אינטגרל של f' מ0 ל-1 = f(1) - f(0). f(1) = 1 + 2 + a e, f(0) = 0 + 0 + a. לכן האינטגרל = 3 + a(e-1). לפי הנתון, השטח = 5 - 8/e. שווה: 3 + a(e-1) = 5 - 8/e. פתרון למשוואה: a = (5 - 8/e -3)/(e-1) = (2 - 8/e)/(e-1).