פתרון מפורט של שאלה 5 מתוך שאלון 582 מועד ג בקיץ 2014 ברמת 5 יחידות. השיעור מדגים ניתוח גרפים פונקציה ונגזרת, זיהוי תחומי עליה וירידה, נקודות קיצון, סימפטוטות, וניתוח פונקציה מורכבת המבוססת על הלן של פונקציה נתונה.
לזהות את פונקציה והנגזרת בגרפים הנתונים
להבין כיצד תחום ההגדרה משפיע על הסימפטוטות של פונקציה
לחשב ולהסיק מסקנות לגבי נקודות קיצון על פונקציות נתונות
לזהות תחומי עליה וירידה של פונקציה משיקולים בנגזרת
להבין את ההשפעה של הרכב פונקציות (הלן של פונקציה) על התחום והנקודות הקריטיות
זיהוי הפונקציה והנגזרת בגרף: ניתוח גרפים של פונקציה ונגזרתה על ידי חיתוכים, שינויים בסימן, ופיתולים, לזיהוי הפונקציה והנגזרת המתאימה לכל צבע.
הגדרת הפונקציה החדשה g(x) והתחום שלה: הגדרת פונקציה חדשה g(x) כלן של f(x), ניתוח תחום ההגדרה שלה כתלות ב-f(x) ובזיהוי הסימפטוטות.
חישוב הנגזרת של g והשוואה ל-f': גזירת g עם חוקי נגזרות להלן והסקת נקודות קיצון לפי f' ותחום ההגדרה.
ניתוח נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה: זיהוי סוג נקודות קיצון על g לפי סימני הנגזרת, והבנת תחומי עליה וירידה על בסיס הערכים השונים של f ו-f'.

תרגול קצר

זיהוי נקודות קיצון מפונקציה נבחרת

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f וגרף נגזרתה. ציין את נקודות הקיצון של f בתחום נתון.

קיצוןנגזרתגרפים

רמז: קיצון בפונקציה ניתן למציאה בנקודות שחיתוך נגזרת עם ציר x.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות הקיצון הן ב-x=0 ו-x=2

מצא את נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x בטווח הנתון וסמן אותן כנקודות קיצון של f.

חישוב תחום ההגדרה ותחומי עליה של פונקציה חדשה

רמת קושי: בינוני

ממתין

הגדר את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) = ln(f(x)), כאשר נתונה פונקציה f(x). קבע באילו טווחים g עולה או יורד.

תחום הגדרההלןנגזרתעליה וירידה

רמז: תחום ההגדרה של g הוא כל x שבו f(x) חיובית. השתמש בסימן של f'(x) בהינתן שזה משפיע על עליה וירידה של g.

פתרון מלא

תשובה סופית: g עולה בקטעים בהם f חיובית ו-f' חיובית, ויורדת בקטעים בהם f חיובית ו-f' שלילית.

תחום ההגדרה הוא כל x שהפונקציה f(x) > 0. עליית g מתרחשת באזורים ש-f'(x) > 0, כי g' = f'/f, ו-f > 0.

זיהוי נקודות סימפטוטה וניתוח תחום ההגדרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פונקציה f עם תחום מוגבל. מצא את נקודות הסימפטוטה של הפונקציה g(x) = ln(f(x)) והסבר מדוע הן קיימות בדיוק בנקודות אלו.

סימפטוטהתחום הגדרההלןפונקציות מורכבות

רמז: סימפטוטות קיימות בנקודות מחוץ לתחום ההגדרה של g, כלומר במקום ש-f(x) לא מוגדרת או לא חיובית.

פתרון מלא

תשובה סופית: סימפטוטות נמצאות ב-x=3, x=1, ו-x=-1

הסימפטוטות של g מופיעות בנקודות x=3, x=1 ו-x=-1 בהן f(x) שואף לאפס או שאיננה חיובית, ולכן ln(f(x)) לא מוגדרת.

זיהוי והשוואה בין פונקציה לנגזרת באמצעות גרף

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה f וגרף עם שני צבעים: אחד מייצג את f והשני את f'. תוך שימוש בעקרונות קיצון וחיתוכי ציר, זיהה מי הגרף של הפונקציה ומי זה של הנגזרת.

קיצוןזיהוי פונקציהגרפיםנגזרת

רמז: קיצוני בפונקציה מתקיימים כפיצולי חיתוך בנגזרת, ושינוי הסימן בנגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה היא הגרף הסגול, והנגזרת היא הגרף השחור.

בדיקה של חיתוך וצורות הקיצון על הגרף מראה שהפונקציה היא הציור בסגול והנגזרת בשחור.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 5 - זיהוי נקודות קיצון ופונקציות מורכבות

ניתוח פונקציה g שהינה הלן של f

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות קיצון פנימיות של g(x) / סוגי נקודות הקיצון של g / תחומי עליה וירידה של g /
נתון 1
פונקציה f(x) וגרף נגזרתה f'(x)
נתון 2
נתון 2
g(x) = ln(f(x))
נתון 3
תחום f מוגבל בין -1.1 ל-3.1
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנגזרת של g, שהיא f'(x) חלקי f(x), נזהה תחומי הגדרה, נחשב סימני נגזרת ונבדוק נקודות בהן
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
תחום g הוא כל x שעבורו f(x) > 0
תחום g הוא כל x שעבורו f(x) > 0
פישוט
נקודות שבהן f'(x) = 0 ונמצאות בתחום ההגדרה של g
נקודות שבהן f'(x) = 0 ונמצאות בתחום ההגדרה של g

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הפונקציה g(x)

מה עושים

g מוגדרת כ-ln של f(x), תחום g תלוי בתחום חיוביות של f

למה

הפונקציה ln מוגדרת רק לערכים חיוביים בלבד

זו פונקציה הלן של f, ההגדרה מחייבת f(x)>0

בחירת שיטה

חישוב הנגזרת של g

מה עושים

g' שווה ל-f'(x)/f(x)

למה

נגזרת של ln(f(x)) היא לפי כלל השרשרת

נצטרך לזהות מתי הנגזרת מתאפסת וכיצד משפיע סימן המונה והמכנה

נוסחה / הצבה

g' = f' / fg'(x) = f'(x) / f(x)g'(x) = (f'(x))/(f(x))

שימו לב שסימן g' תלוי בסימן של f' כאשר f חיובית

בניית משוואה

תחום ההגדרה של g

מה עושים

תחום g הוא כל x שעבורו f(x) > 0

למה

ln מוגדרת רק לחיובי

מהגרפים ניתן לזהות את המקטעים בהם f חיובית ובאופן זה תחום הגדרת g

תחום ההגדרה חשוב לזיהוי הסימפטוטות

פתרון

זיהוי נקודות קיצון של g

מה עושים

נקודות שבהן f'(x) = 0 ונמצאות בתחום ההגדרה של g

למה

g' = 0 רק כאשר f' שווה 0 ופונקציה g מוגדרת

מגרף f' ניתן לקבוע נקודות שבהן 0, כמו ב-x=0 ו-x=2

יש לשים לב האם נקודת האפס בתוך תחום ההגדרה

פתרון

קביעת סוג נקודות הקיצון

מה עושים

בדיקת סימני g' שמימין ומשמאל לנקודות מוקד

למה

שינוי סימן נגזרת מגדיר מקסימום או מינימום מקומי

אם g' עובר מחיובי לשלילי זה מקסימום, ולהיפך מינימום

שימו לב שסימן g' תלוי בסימן של f'

פתרונות כלליים

זיהוי נקודות קיצון מפונקציה נבחרת: מצא את נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x בטווח הנתון וסמן אותן כנקודות קיצון של f.
חישוב תחום ההגדרה ותחומי עליה של פונקציה חדשה: תחום ההגדרה הוא כל x שהפונקציה f(x) > 0. עליית g מתרחשת באזורים ש-f'(x) > 0, כי g' = f'/f, ו-f > 0.
זיהוי נקודות סימפטוטה וניתוח תחום ההגדרה: הסימפטוטות של g מופיעות בנקודות x=3, x=1 ו-x=-1 בהן f(x) שואף לאפס או שאיננה חיובית, ולכן ln(f(x)) לא מוגדרת.
זיהוי והשוואה בין פונקציה לנגזרת באמצעות גרף: בדיקה של חיתוך וצורות הקיצון על הגרף מראה שהפונקציה היא הציור בסגול והנגזרת בשחור.

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ג

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות קיצון פנימיות של g(x) / סוגי נקודות הקיצון של g / תחומי עליה וירידה של g /

פונקציה f(x) וגרף נגזרתה f'(x)

נתון 2

תחום f מוגבל בין -1.1 ל-3.1

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

תחום g הוא כל x שעבורו f(x) > 0

נקודות שבהן f'(x) = 0 ונמצאות בתחום ההגדרה של g

פתרון מפורט

הבנת הפונקציה g(x)

חישוב הנגזרת של g

תחום ההגדרה של g

זיהוי נקודות קיצון של g

קביעת סוג נקודות הקיצון

פתרונות כלליים