MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
5 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק א מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק ב מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ג

סיכום שיעור

  • בחינה מעמיקה של פונקציה לוגריתמית עם פרמטר C, מציאת תחום ההגדרה, חקר תחומי עליה וירידה, התייחסות לערך מוחלט והשפעותיו, ופתרון משוואות ביחס לפרמטר K.
  • להבין כיצד למצא את הפרמטר C בפונקציה לוגריתמית בהתאם לאסימפטוטה
  • לחקור תחום הגדרה של פונקציה לוגריתמית עם פולינום ריבועי
  • לחשב ולהבין תחומי עליה וירידה של הפונקציה באמצעות נגזרת
  • להבין ולהתמודד עם הפונקציה הערך המוחלט והשפעות השיקוף
  • לפתור משוואות עם הפרמטר K ותובנות על מספר הפתרונות
  • מציאת הפרמטר C ותחום ההגדרה: נמצא את הפרמטר C כך שהפונקציה תכיל אסימפטוטה, ונמצא תחום ההגדרה על פי תנאי חיוביות הארגומנט של פונקציית הלוגריתם.
  • חקר תחומי עליה וירידה: גזירת פונקציית הלוגריתם עם הביטוי הריבועי, מציאת נקודות קריטיות, והשוואת הערכים כדי לקבוע באיזה תחומים הפונקציה עולה או יורדת.
  • השפעת הערך המוחלט והשיקוף: הנחת הערך המוחלט על הפונקציה, הסבר כיצד הוא משפיע על הגרף באמצעות השיקוף של החלק השלילי, ולאחריו הפיכת הסימן עם מינוס כסימטריה צירית.
  • פתרון משוואות עם פרמטר K: התבוננות במשוואה G(x)=K בפרמטר K, כשניוז אכן משתנה מספר הפתרונות בהתאם לערך K, וניתוח המבנה הגרפי להבנת המקרים השונים.

תרגול קצר

מציאת פרמטר C בפונקציה לוגריתמית

רמת קושי: קל

ממתין

פונקציה נתונה: f(x) = log בסיס 4 של (x² + 4x + C). ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה. מצא את ערך הפרמטר C.

לוגריתמיםאסימפטוטהפרמטר

רמז: הצב את האיקס באסימפטוטה במשוואה x² + 4x + C = 0 ופתור עבור C.

פתרון מלא

תשובה סופית: C = 4

נתון שהאסימפטוטה נמצאת בנקודה x = -2. נציב זאת במשוואה: (-2)² + 4*(-2) + C = 0 4 - 8 + C = 0 C = 4

חקר תחומי עלייה וירידה של פונקציה לוגריתמית

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפונקציה f(x) = log בסיס 4 של (x² + 4x + 4), חקור את תחומי העלייה והירידה שלה.

לוגריתמיםנגזרתתחומי עלייה וירידה

רמז: חשב את הנגזרת באמצעות כלל השרשרת, ונתח את סימני הנגזרת בתחומים השונים בהתחשב בתחום ההגדרה x ≠ -2.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה יורדת כאשר x < -2 ועולה כאשר x > -2

f(x) = log4(x² + 4x +4) f'(x) = 1/( (x²+4x+4) * ln4) * (2x+4) תחום ההגדרה: x ≠ -2 בדיקה של סימן הנגזרת: - עבור x < -2, מכנים חיובי (מהפרבולה), המונה (2x+4) שלילי, f'(x)<0: פונקציה יורדת - עבור x > -2, הפוך, f'(x) > 0: פונקציה עולה

ניתוח פונקציה עם ערך מוחלט ושיקוף

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה g(x) = -|f(x)| כאשר f(x) = log בסיס 4 של (x² + 4x + 4). הסבר כיצד משתנה הגרף לעומת הפונקציה המקורית f.

ערך מוחלטשיקוףפונקציה לוגריתמית

רמז: חשב את ערך מוחלט של f והשווה לשיקוף סביב ציר ה-x עם מינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: g(x) = -|f(x)| הוא שיקוף של ערך מוחלט של f(x) סביב ציר ה-x

ערך מוחלט מפצל את הגרף: החלק השלילי של f נעשה חיובי לאחר מכן, המינוס גורם להפוך כל הערכים: החלק החיובי מתהפך לחלק שלילי, והחלק שהיה חיובי בעקבות הערך המוחלט מתהפך חזרה לכן הגרף של g הוא שיקוף של הגרף של ערך המוחלט של f סביב ציר ה-x

פתרון משוואה עם פרמטר K

רמת קושי: בגרות

ממתין

עבור פונקציה G(x) מעובדת מהפונקציה המקורית, ניתנת המשוואה G(x) = K כאשר K פרמטר. הסבר כיצד קובע ערך K את מספר הפתרונות של המשוואה.

משוואותפרמטריםגרפים

רמז: השתמש בשרטוט הגרף של G והשווה את מיקום הקו y=K ביחס לגרף.

פתרון מלא

תשובה סופית: מספר הפתרונות של G(x)=K הוא 4 עבור ערכי K בטווח המתאים

כאשר K גבוה או נמוך מדי, אין נקודות חיתוך עם גרף G כאשר K בטווח מסוים, יש בדיוק 4 נקודות חיתוך המספר 4 קבוע ולכן עבור כל K בתחום יש 4 פתרונות ניתוח גרפי מאפשר להעריך מספר הפתרונות

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חקר פונקציה לוגריתמית

מציאת C, תחום הגדרה ותחומי עליה וירידה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך הפרמטר C / תחום ההגדרה של הפונקציה / תחומי עליה וירידה של הפונקציה

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה f(x) = log4(x² + 4x + C)
  3. נתון 2

    קיימת אסימפטוטה לפונקציה

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    מצא את C מהאסימפטוטה, קבע תחום הגדרה לפי תנאי החיוב של הפונקציה, חשב נגזרת לגלות תחומי עליה

  5. נוסחה

    בודקים מתי x² + 4x + 4 > 0

    x^2 + 4x + 4 > 0תחום ההגדרה: x ≠ -2
  6. משוואה

    מציבים את נקודת האסימפטוטה x = -2 במשוואה x² + 4x + C = 0

    מציבים את נקודת האסימפטוטה x = -2 במשוואה x² + 4x + C = 0

    (-2)^2 + 4*(-2) + C = 04 - 8 + C = 0C = 4
  7. פישוט

    בודקים סימן נגזרת בתחומים x < -2 ו-x > -2

    בודקים סימן נגזרת בתחומים x < -2 ו-x > -2

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בודקים שקיימת אסימפטוטה לפונקציה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

בודקים שקיימת אסימפטוטה לפונקציה

למה

האסימפטוטה גורמת לארגומנט הלוגריתם להיות אפס

האסימפטוטה קיימת בנקודה בה הביטוי שבתוך הלוגריתם שווה לאפס

2

בניית משוואה

מציאת ערך C

מה עושים

מציבים את נקודת האסימפטוטה x = -2 במשוואה x² + 4x + C = 0

למה

כדי למצוא את ערך C שגורם לארגומנט לפונקציה להיות אפס בנקודה זו

מחשבים: 4 - 8 + C = 0 לכן C = 4

נוסחה / הצבה

(-2)^2 + 4*(-2) + C = 04 - 8 + C = 0C = 4

הצבה של נקודה בנוסחה מסייעת למציאת פרמטרים

3

זיהוי נתונים

קביעת תחום הגדרה

מה עושים

בודקים מתי x² + 4x + 4 > 0

למה

הלוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי

הפרבולה חיובית לכל x חוץ מ-x=−2, לכן תחום ההגדרה הוא כל x ≠ -2

נוסחה / הצבה

x^2 + 4x + 4 > 0תחום ההגדרה: x ≠ -2

שימו לב לשורש שמבטל את התחום

4

בחירת שיטה

חקר תחומי עליה וירידה

מה עושים

גוזרים את f(x) ומוצאים את סימן הנגזרת

למה

לזהות באיזה תחומים הפונקציה עולה או יורדת

f'(x) = 1 / ((x² +4x +4) * ln(4)) * (2x +4)

נוסחה / הצבה

f'(x) = 1 / ((x^2 + 4x + 4) * ln4) * (2x + 4)f'(x) = 1 / ((x² +4x +4) * ln(4)) * (2x +4)f'(x) = (1)/((x^(2) + 4x + 4) * (4)) * (2x + 4)

משתמשים בכלל השרשרת לנגזרת פונקציה לוגריתמית

5

פתרון

קביעת תחומי עליה וירידה

מה עושים

בודקים סימן נגזרת בתחומים x < -2 ו-x > -2

למה

הנגזרת משנה סימן בנקודה x = -2 שלא בתחום ההגדרה

f'(x) < 0 ל-x < -2; f'(x) > 0 ל-x > -2 כלומר, הפונקציה יורדת לפני -2 ועולה אחרי -2

אי הכללה של נקודות מחוץ לתחום ההגדרה

פתרונות כלליים

  • מציאת פרמטר C בפונקציה לוגריתמית: נתון שהאסימפטוטה נמצאת בנקודה x = -2. נציב זאת במשוואה: (-2)² + 4*(-2) + C = 0 4 - 8 + C = 0 C = 4
  • חקר תחומי עלייה וירידה של פונקציה לוגריתמית: f(x) = log4(x² + 4x +4) f'(x) = 1/( (x²+4x+4) * ln4) * (2x+4) תחום ההגדרה: x ≠ -2 בדיקה של סימן הנגזרת: - עבור x < -2, מכנים חיובי (מהפרבולה), המונה (2x+4) שלילי, f'(x)<0: פונקציה יורדת - עבור x > -2, הפוך, f'(x) > 0: פונקציה עולה
  • ניתוח פונקציה עם ערך מוחלט ושיקוף: ערך מוחלט מפצל את הגרף: החלק השלילי של f נעשה חיובי לאחר מכן, המינוס גורם להפוך כל הערכים: החלק החיובי מתהפך לחלק שלילי, והחלק שהיה חיובי בעקבות הערך המוחלט מתהפך חזרה לכן הגרף של g הוא שיקוף של הגרף של ערך המוחלט של f סביב ציר ה-x
  • פתרון משוואה עם פרמטר K: כאשר K גבוה או נמוך מדי, אין נקודות חיתוך עם גרף G כאשר K בטווח מסוים, יש בדיוק 4 נקודות חיתוך המספר 4 קבוע ולכן עבור כל K בתחום יש 4 פתרונות ניתוח גרפי מאפשר להעריך מספר הפתרונות
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.