שיעור המתמקד בזיהוי ישר החיתוך בין מישורים במנסרה ישרה, הבנת הגדרת זווית בין מישורים, שימוש במשולשים שווי שוקיים ומאפייני מקביליות, והגעה לנוסחאות נפח תוך ניתוח גיאומטרי תוך-מישורי.
לזהות ולקבוע את ישר החיתוך בין שני מישורים במרחב
להבין ולהשתמש בהגדרת הזווית בין שני מישורים
לנתח משולשים שווי שוקיים ולקשור בין מקביליות למישור
לחשב מידות גאומטריות ופיצול מישור למרכיבים בעזרת אנכים
לנסח ולהבין נוסחאות נפח של מנסרה ישרה באמצעות גאומטריה אנליטית
זיהוי ישר החיתוך בין מישורים: כדי למצוא את הזווית בין שני מישורים יש לאתר קודם כל את ישר החיתוך המשותף להם. המישור נקבע על ידי שני ישרים מקבילים משותפים להם.
ניתוח גאומטרי של המשולשים במנסרה: הבסיס של המנסרה הוא משולש שווי שוקיים שרבעוני אחורי הוא מלבן, דבר המאפשר את חפיפת המשולשים וקביעת נקודות חיתוך ואנכים.
חישוב הזווית והנפח במנסרה ישרה: חישוב הזווית ניתן באמצעות יחס בין גובה לאורכי בסיסים תוך שימוש בפונקציות טריגונומטריות, והנפח מחושב על ידי שטח בסיס כפול גובה, כשהבסיס מוגדר בעזרת מכפלת צלעות וסינוס זווית ביניהן.

תרגול קצר

זיהוי ישר החיתוך בין שני מישורים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה מנסרה ישרה שבסיסה הוא משולש שווי שוקיים. נתון מישור המחלק את המנסרה. הצג כיצד תמצא את ישר החיתוך בין המישור למישור הבסיסי.

גאומטריה במרחבחישוב ישר חיתוך

רמז: זכור: ישר החיתוך הוא ישר השייך לשני המישורים. חפש קווים מקבילים שנמצאים בשני המישורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: ישר החיתוך הוא הישר המקביל לקווים המשויכים לשני המישורים ומצוי בשניהם.

יש לזהות שני ישרים מקבילים, אחד בכל מישור, שיהיו משותפים לשני המישורים. קו זה מהווה את ישר החיתוך.

חישוב זווית בין מישורים במנסרה ישרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

במנסרה ישרה בסיסה משולש שווי שוקיים. מגדירים מישור חותך שמכיל את ישר החיתוך Q. הזווית בין שני המישורים היא α. נתונים B, β ו- α. כיצד ניתן לחשב את הגובה H במנסרה בעזרת טנגנס α וסינוס β?

טריגונומטריהמנסרה ישרהזווית בין מישורים

רמז: השתמש ביחס טריגונומטרי tan(α) = מול נחלק לנגדי בהתייחס למשולש שבו Zווית α.

פתרון מלא

תשובה סופית: H = B * tan(α) * sin(β)

מגדירים את H כגובה לעומת בסיס B*sin(β). tan(α) = H / (B*sin(β)) לכן H = B * tan(α) * sin(β).

חישוב נפח מנסרה ישרה עם בסיס משולש שווי שוקיים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במנסרה ישרה שבסיסה משולש שווי שוקיים עם צלעות B וזווית ביניהן β, וגובה המנסרה H כפי שחושב במישור החיתוך. חשב את נפח המנסרה.

נפחמנסרהגאומטריה תלת-ממדית

רמז: שימוש בנוסחת שטח משולש חצי * צלע * צלע * סינוס הזווית והכפלתו בגובה המנסרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נפח = 1/2 * B² * sin(β) * B * tan(α) * sin(β) = 1/2 * B³ * tan(α) * sin²(β)

שטח הבסיס = 1/2 * B * B * sin(β). נפח המנסרה = שטח הבסיס * H. משרטטים ומכניסים H = B * tan(α) * sin(β), לקבלת הנפח.

מציאת הזווית בין מישור למישור במנסרה ישרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווי שוקיים. במישור חיצוני חותכים שני מישורים היוצרים זווית α בין ישרי החיתוך שלהם. מצא את הזווית α נתונים הצלע B והזווית β שבבסיס.

גאומטריה במרחבטריגונומטריהחישוב זוויות

רמז: מצא את ישר החיתוך בין שני המישורים, השתמש במשולש שווה שוקיים ובטריגונומטריה להצגת α.

פתרון מלא

תשובה סופית: α ניתנת גם לחישוב באמצעות tan(α) = H / (B*sin(β))

זיהוי ישר החיתוך Q כמוצג בשיעור. שימוש ביחסים טריגונומטריים: tan(α) = H / (B * sin(β)) ומציאת α מתוך הנוסחה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית בין שני מישורים במנסרה ישרה

ניתוח גאומטרי למציאת α ונפח המנסרה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הזווית α בין שני המישורים / גובה המנסרה H / נפח המנסרה
נתון 1
אורך צלע הבסיס B
נתון 2
הזווית β בין צלעות הבסיס
נתון 3
הגדרת המישור החותך ויישור ישר החיתוך
רעיון
הרעיון המרכזי
ניתן לזהות את ישר החיתוך Q, להגדיר משולשים חופפים ומשיקולים טריגונומטריים למציאת α, ולחשב נפח
נוסחה
שימוש בנוסחה tan(α) = H / (B * sin(β)) לפתרון H.
H = B * tan(alpha) * sin(beta)H = B * tan(α) * sin(β)H = B x () x ()
משוואה
העלאת אנך בנקודה המתאימה במישור לציון גובה המנסרה H.
העלאת אנך בנקודה המתאימה במישור לציון גובה המנסרה H.
פישוט
נפח = שטח בסיס * גובה = 1/2 * B² * sin(β) * H
נפח = שטח בסיס * גובה = 1/2 * B² * sin(β) * H
נפח = 1/2 * B^2 * sin(beta) * Hנפח = 1/2 * B * B * sin(β) * H

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת המנסרה והנתונים

מה עושים

הבנת מגבלות צלעות הבסיס והזווית β.

למה

הנתונים מאפשרים ייצוג משולש שווי שוקיים כמוצא לתחילת החישוב.

הבסיס הוא משולש שווי שוקיים עם צלע B וזווית β.

בחירת שיטה

איתור ישר החיתוך בין המישורים

מה עושים

מוצאים את ישר החיתוך Q בין שני המישורים בהתבסס על שני קווים מקבילים לשני הבסיסים.

למה

לפי ההגדרה, הזווית בין שני מישורים מוגדרת לפי ישר החיתוך המשותף להם.

קווים מקבילים בבסיס העליון והתחתון מאפשרים לזהות את ישר החיתוך.

יש להשתמש בקווי מקביליות כדי להגדיר ישר חיתוך.

בניית משוואה

יצירת משולש אנכי לחישוב גובה

מה עושים

העלאת אנך בנקודה המתאימה במישור לציון גובה המנסרה H.

למה

הגובה H הוא מרכיב חשוב לחישוב הזווית והנפח.

הגדרת נקודת Q כאמצע ישר החיתוך ומציאת H האנך.

חשוב למקם את נקודת האנך במישור הנכון.

פתרון

חישוב הגובה באמצעות טנגנס הזווית α

מה עושים

שימוש בנוסחה tan(α) = H / (B * sin(β)) לפתרון H.

למה

כדי לקשר בין α לבין הגובה והצלע B דרך β.

הזווית α מתקבלת ביחס ישר לגובה H והבסיס שלה.

נוסחה / הצבה

H = B * tan(alpha) * sin(beta)H = B * tan(α) * sin(β)H = B x () x ()

זכור להמיר זוויות אם יש צורך.

פתרון

חישוב נפח המנסרה

מה עושים

נפח = שטח בסיס * גובה = 1/2 * B² * sin(β) * H

למה

כדי לקבל נפח בעזרת שטח הבסיס והגובה.

שטח בסיס המחושב כפונקציה של B ו-β מוכפל בגובה H.

נוסחה / הצבה

נפח = 1/2 * B^2 * sin(beta) * Hנפח = 1/2 * B * B * sin(β) * HV = (1)/(2) B^2 () H

ודא שכל הערכים מוגדרים באותו המערכת.

תשובה

התוצאה הסופית

מה עושים

הצגת הנוסחה הסופית לנפח עם תלות α, β ו-B.

למה

מסכמת את שלבי החישוב ומאפשרת חישוב מהיר של נפח.

נפח המנסרה מוצג כנוסחה החלקית בנפח כולל עם זוויות ופרמטרים ידועים.

נוסחה / הצבה

V = 1/2 * B^3 * sin(beta) * tan(alpha) * sin(beta)V = 1/2 * B³ * sin(β) * tan(α) * sin(β)V = (1)/(2) B^3 () () ()

הערככו בזהירות למספרים ספציפיים.

פתרונות כלליים

זיהוי ישר החיתוך בין שני מישורים: יש לזהות שני ישרים מקבילים, אחד בכל מישור, שיהיו משותפים לשני המישורים. קו זה מהווה את ישר החיתוך.
חישוב זווית בין מישורים במנסרה ישרה: מגדירים את H כגובה לעומת בסיס B*sin(β). tan(α) = H / (B*sin(β)) לכן H = B * tan(α) * sin(β).
חישוב נפח מנסרה ישרה עם בסיס משולש שווי שוקיים: שטח הבסיס = 1/2 * B * B * sin(β). נפח המנסרה = שטח הבסיס * H. משרטטים ומכניסים H = B * tan(α) * sin(β), לקבלת הנפח.
מציאת הזווית בין מישור למישור במנסרה ישרה: זיהוי ישר החיתוך Q כמוצג בשיעור. שימוש ביחסים טריגונומטריים: tan(α) = H / (B * sin(β)) ומציאת α מתוך הנוסחה.

הפריט הקודם הפריט הבא

א5. חזרות במרחב פתרון שאלה

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הזווית α בין שני המישורים / גובה המנסרה H / נפח המנסרה

אורך צלע הבסיס B

הזווית β בין צלעות הבסיס

הגדרת המישור החותך ויישור ישר החיתוך

הרעיון המרכזי

שימוש בנוסחה tan(α) = H / (B * sin(β)) לפתרון H.

העלאת אנך בנקודה המתאימה במישור לציון גובה המנסרה H.

נפח = שטח בסיס * גובה = 1/2 * B² * sin(β) * H

פתרון מפורט

הגדרת המנסרה והנתונים

איתור ישר החיתוך בין המישורים

יצירת משולש אנכי לחישוב גובה

חישוב הגובה באמצעות טנגנס הזווית α

חישוב נפח המנסרה

התוצאה הסופית

פתרונות כלליים