MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חזרות

א2. חזרות במרוכבים שאלה מבגרות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
וידאו

א1. חזרות בוקטורים שאלה מבגרות

וידאו

א2. חזרות במרוכבים שאלה מבגרות

וידאו

א3. חזרות במרחב שאלה מבגרות

וידאו

א4. חזרות במרחב פתרון שאלה

וידאו

א5. חזרות במרחב פתרון שאלה

וידאו

א6. חזרות במרחב סיכום של החומר החשוב

וידאו

ב1. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 351 תרגיל 28

וידאו

ב2. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

וידאו

ב3. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

וידאו

ב4. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 340 תרגיל 2

וידאו

ב5. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ב6. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ג1. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג2. חזרות אנליטית

סיכום שיעור

  • שיעור על חזרות בריבועים של מספרים מרוכבים במישור גאוס, ופתרון משוואות טריגונומטריות המייצגות גדלים וזוויות במעגל היחידה.
  • להבין גודל (מודולוס) של מספרים מרוכבים
  • להמיר ביטויים עם סינוס וקוסינוס לצורות אלגבריות
  • לפתור משוואות טריגונומטריות ולאמוד זוויות במישור המרוכב
  • להבין את העקרונות של משולש ושימוש בזוויות בחישובי מרחקים במישור גאוס
  • הגדרת גודל במישור המרוכב: מגדירים את הגודל של מספר מרוכב כערך שמבטא את המרחק מראשית הצירים, ומדגישים שיש להפסיק לקרוא לזה ערך מוחלט ולקרוא לו גודל.
  • ניתוח המשוואה הראשונה: מוצג ביטוי עם זד ומומרים החלקים הממשי והמדומה שלו לפורמט טריגונומטרי.
  • פתרון משוואה טריגונומטרית: מקבלים משוואה עם סינוס וקוסינוס, ומצאים את הזווית המתאימה על ידי שימוש בנוסחאות וזיהוי ערכי הקוסינוס המתאימים.
  • עבודה גיאומטרית על הזוויות במישור: מנתחים את הזוויות במרובע במישור המרוכב ומוצאים את הזוויות הפנימיות ורעיון הזווית הכוללת.

תרגול קצר

חישוב גודל מספר מרוכב זד ברביעי

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מספר מרוכב z ברביעי מישור גאוס, כך שגודלו של 1 + 1/z הוא שורש 3. ודא כי z מקיים תנאי זה.

מספרים מרוכביםגודלטריגונומטריה

רמז: כתבו את 1 + 1/z כשורש משולב והשתמשו בזהות טריגונומטרית לפירוק.

פתרון מלא

תשובה סופית: α = ±60°

נסמן את z = cos α + i sin α, ולכן 1 + 1/z = 1 + cos(-α) + i sin(-α) = 1 + cos α - i sin α. החלק הממשי הוא 1 + cos α, והחלק המדומה הוא - sin α. הגודל של הביטוי הוא השורש של הריבוע של החלקים, כלומר sqrt((1 + cos α)^2 + (sin α)^2) = sqrt(1 + 2 cos α + cos^2 α + sin^2 α) = sqrt(2 + 2 cos α). לפי הנתון זה שווה לשורש 3, ולכן 2 + 2 cos α = 3. ולכן cos α = 1/2, כלומר α = ±60°, בהתאם לרביע במישור.

פיתרון משוואה עם קוסינוס לזווית α

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה 2 cos α = 1 וחשב את α בתחום 0 עד 360 מעלות.

טריגונומטריהזוויות

רמז: נשרטט את הגרף ונזכור את הערכים המיוחדים של קוסינוס במעלות.

פתרון מלא

תשובה סופית: α = 60° או α = 300°

מחלקים ב-2: cos α = 1/2. הפתרונות הם α = 60° או α = 300° (360 - 60). בהתאם למחזוריות קוסינוס ותחום הזווית שנבחר.

חישוב זוויות במשולש במישור מרוכב

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולש OZ, Zגג בו |OZ| = 1, |Zגג| = 1 ו-|ZZגג| = שורש 3, חשב את הזוויות הפנימיות של המשולש.

גאומטריהמשולשיםמספרים מרוכבים

רמז: השתמש בחוק הקוסינוסים למציאת זוויות במשולש לפי אורכים ידועים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזוויות הן: 120°, 30°, 30°

נסמן את הזוויות במשולש כ-a, b, c כאשר הצלעות ההופכיות להם הן 1, 1 ו- sqrt(3) בהתאמה. חוק הקוסינוסים: קוסין של הזווית מול הצלע sqrt(3) הוא (1^2 + 1^2 - (sqrt(3))^2) / (2 * 1 * 1) = (1+1-3)/2 = (-1)/2 = -0.5. אז הזווית היא 120 מעלות. הזוויות האחרות הן (180 - 120)/2 = 30 מעלות כל אחת.

בעיה משולבת מספרים מרוכבים וטריגונומטריה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון מספר z כך ש-|1 + 1/z| = שורש 3 ו-z נמצא ברביעי במישור המרוכב. מצא את הזווית α כך ש-z = cos α + i sin α.

מספרים מרוכביםטריגונומטריהבגרות

רמז: כתבו את הביטוי בצורה אלגברית המשלבת קוסינוס וסינוס ופתרו משוואה טריגונומטרית בהתאם לנתוני הרביע במישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: α = 300° (או -60°)

כפי שבדקנו, 2 + 2 cos α = 3 ולכן cos α = 1/2. ברביעי הזווית היא בין 270 ל-360 מעלות, ולכן נבחר α = 300°, שזה מינוס 60 מעלות במונחים של ממדוח שיפט.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון חישוב זווית α במישור המרוכב

כיצד למצוא את α במצב נתון |1 + 1/z| = שורש 3

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הזווית α עבור z בצורת הקוטבית

  2. נתון 1

    נתון 1

    |1 + 1/z| = שורש 3
  3. נתון 2

    z נמצא ברביעי במישור המרוכב

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לכתוב את הזד בצורת קוטבית, להציג את הביטוי 1 + 1/z באמצעות סינוס וקוסינוס, ולפתור משוואה

  5. נוסחה

    נסמן z = cos α + i sin α כדי לייצג את z בפורמט אלגברי עם זווית α.

    z = cos α + i sin αz = + i
  6. משוואה

    נחשב את גודל הביטוי לפי הגדרת גודל של מספר מרוכב: שורש סכום ריבועי החלק

    נחשב את גודל הביטוי לפי הגדרת גודל של מספר מרוכב: שורש סכום ריבועי החלק הממשי והמדומה.

    גודל = sqrt((1 + cos α)^2 + (sin α)^2)גודל = sqrt((1+cos α)^2 + (sin α)^2)|1 + (1)/(z)| = (1 + )^2 + ( )^2
  7. פישוט

    פשט את הביטוי על ידי הרחבת הריבועים והשמטת כספים, והשווה לשורש 3 כפי

    פשט את הביטוי על ידי הרחבת הריבועים והשמטת כספים, והשווה לשורש 3 כפי שנתון.

    2 + 2 cos α = 3cos α = 1/2
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מצא את זוויות α שמתאימות למשוואה ושלב את המידע שמדובר ברביעי במישור המרוכב.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

כתיבת z בצורת קוטבית

מה עושים

נסמן z = cos α + i sin α כדי לייצג את z בפורמט אלגברי עם זווית α.

למה

קוטבית מבטאת את מספר המרוכב באמצעות זווית שמאפשרת להמיר ביטויים עם סינוס וקוסינוס בקלות.

z = cos α + i sin α

נוסחה / הצבה

z = cos α + i sin αz = + i

להכין ביטוי מתאים עם סינוס וקוסינוס.

2

בחירת שיטה

כתיבת הביטוי 1 + 1/z

מה עושים

נמיר 1/z לשבר על פי זווית α: 1/z = cos(-α) + i sin(-α), ואז נחשב 1 + 1/z.

למה

השימוש בזוויות שליליות בטריגונומטריה מאפשר להתאר את ההופכי בקלות.

1 + 1/z = 1 + cos α - i sin α

נוסחה / הצבה

1 + 1/z = 1 + cos α - i sin α1 + (1)/(z) = 1 + - i

חשוב לזכור שסינוס הוא פונקציה אי-זוגית.

3

בניית משוואה

הגדרת הגודל של הביטוי

מה עושים

נחשב את גודל הביטוי לפי הגדרת גודל של מספר מרוכב: שורש סכום ריבועי החלק הממשי והמדומה.

למה

גודל של מספר מרוכב הוא מודולוס, ולכן הגדרת גודל משמשת לפתרון המשוואה.

גודל = sqrt((1+cos α)^2 + (sin α)^2)

נוסחה / הצבה

גודל = sqrt((1 + cos α)^2 + (sin α)^2)גודל = sqrt((1+cos α)^2 + (sin α)^2)|1 + (1)/(z)| = (1 + )^2 + ( )^2

לפרק ולפשט במשוואה הבאה.

4

פתרון

פישוט המשוואה והצבת הנתון

מה עושים

פשט את הביטוי על ידי הרחבת הריבועים והשמטת כספים, והשווה לשורש 3 כפי שנתון.

למה

פישוט מאפשר לראות את המשוואה בתצורה טריגונומטרית לפתרון זוויות.

2 + 2 cos α = 3, ולכן cos α = 1/2

נוסחה / הצבה

2 + 2 cos α = 3cos α = 1/22 + 2 = 3 => = (1)/(2)

השתמש בזהות sin²α + cos²α = 1 בעת הפישוט.

5

פתרון

מציאת הזווית α

מה עושים

מצא את זוויות α שמתאימות למשוואה ושלב את המידע שמדובר ברביעי במישור המרוכב.

למה

בחירת הזווית המתאימה לפי המיקום במישור

α = ±60°, בחר α = -60° (300 מעלות) עקב הרבע במישור

זכור להמיר לזווית בין 0 ל-360 מעלות בהתאם לדרישה.

פתרונות כלליים

  • חישוב גודל מספר מרוכב זד ברביעי: נסמן את z = cos α + i sin α, ולכן 1 + 1/z = 1 + cos(-α) + i sin(-α) = 1 + cos α - i sin α. החלק הממשי הוא 1 + cos α, והחלק המדומה הוא - sin α. הגודל של הביטוי הוא השורש של הריבוע של החלקים, כלומר sqrt((1 + cos α)^2 + (sin α)^2) = sqrt(1 + 2 cos α + cos^2 α + sin^2 α) = sqrt(2 + 2 cos α). לפי הנתון זה שווה לשורש 3, ולכן 2 + 2 cos α = 3. ולכן cos α = 1/2, כלומר α = ±60°, בהתאם לרביע במישור.
  • פיתרון משוואה עם קוסינוס לזווית α: מחלקים ב-2: cos α = 1/2. הפתרונות הם α = 60° או α = 300° (360 - 60). בהתאם למחזוריות קוסינוס ותחום הזווית שנבחר.
  • חישוב זוויות במשולש במישור מרוכב: נסמן את הזוויות במשולש כ-a, b, c כאשר הצלעות ההופכיות להם הן 1, 1 ו- sqrt(3) בהתאמה. חוק הקוסינוסים: קוסין של הזווית מול הצלע sqrt(3) הוא (1^2 + 1^2 - (sqrt(3))^2) / (2 * 1 * 1) = (1+1-3)/2 = (-1)/2 = -0.5. אז הזווית היא 120 מעלות. הזוויות האחרות הן (180 - 120)/2 = 30 מעלות כל אחת.
  • בעיה משולבת מספרים מרוכבים וטריגונומטריה: כפי שבדקנו, 2 + 2 cos α = 3 ולכן cos α = 1/2. ברביעי הזווית היא בין 270 ל-360 מעלות, ולכן נבחר α = 300°, שזה מינוס 60 מעלות במונחים של ממדוח שיפט.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.