MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חזרות

ב2. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
3 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א4. חזרות במרחב פתרון שאלה

וידאו

א5. חזרות במרחב פתרון שאלה

וידאו

א6. חזרות במרחב סיכום של החומר החשוב

וידאו

ב1. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 351 תרגיל 28

וידאו

ב2. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

וידאו

ב3. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

וידאו

ב4. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 340 תרגיל 2

וידאו

ב5. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ב6. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ג1. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג2. חזרות אנליטית

וידאו

ג3. חזרות וקטורים מרחק נקודה מישר

וידאו

ג4. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג5. חזרות אנליטית וקטורים

סיכום שיעור

  • השיעור דן בזוויות במרחב במשולש משוקעיים ומציג הוכחה גאומטרית וקשרים בין הזוויות במישור ובמרחב סביב המשולש.
  • להבין זווית בין ישר למישור באמצעות היטל במישור
  • להוכיח חפיפה של משולשים במרחב
  • להשתמש בהנחות גאומטריות להפעלת הגדרות ומסקנות על זוויות במרחב
  • לתכנן שלבי הוכחה וחקירת זוויות בין מישורים
  • הגדרת הבעיה והנתונים: נתון משולש משוקעיים עם זווית ראש שני גמא, זוויות בטה ו-X בין ישרים ומישורים. מטרת השיעור למצוא קשר בין הזוויות.
  • בניית עזר גאומטרית וחפיפות משולשים: הורדת אנך מנקודות שונות לבסיס ובניית משולשים חופפים להוכחת שוויון זוויות ואורכים.
  • הגדרת זווית בין ישר למישור וזווית בין מישורים: הגדרת הזווית בין ישר למישור כזווית בין הישר להיטל במישור, והזווית בין שני מישורים כזווית בין האנכים המאונכים למישורים.
  • הנמקה מלאה וזוויות במרחב: הסברים מפורטים לפי הגדרות, תוך הקפדה על שימוש באנכים, נקודות אמצע וחפיפה להוכחת מתמטית של היחסים בין הזוויות.

תרגול קצר

זיהוי זוויות במרחב

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש משוקעיים עם זווית ראש שני גמא, זווית בין שוק לבסיס היא בטה ו-x היא זווית בין המישור המבצבץ לבסיס. סמן את הנתונים וכתוב את הגדרת הזווית בין ישר למישור.

זוויותמרחבמשולשזווית ישר-מישור

רמז: הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: זווית בין ישר למישור = זווית בין הישר להיטל שלו במישור.

נסמן את המשולש ונגדיר את ההיטל של השוק על הבסיס. הזווית בין הישר למישור תהיה הזווית בין השוק לבין ההיטל שלו במישור הבסיס.

הוכחת חפיפה בין משולשים במרחב

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן נקודה P, אנך יורד מנקודה C אל הבסיס ונוצרו משולשים ACP ו-BCP. הוכח שחפיפות המשולשים הן על פי צלע-צלע-זווית.

חפיפותמשולשיםמרחב

רמז: השתמש בהגדרת האנכים, שוויון צלעות משותפות ושוויון זוויות שנוצרו מיחס חופף של הצדדים.

פתרון מלא

תשובה סופית: משולשים ACP ו-BCP חופפים לפי צלע-צלע-זווית.

הוכחנו ש-CP שווה ל-CP (צלע משותפת), AC שווה ל-BC (נתון משולש משוקעיים) וזוויות P1 ו-P2 שוות בעקבות האנך והבסיס. לכן לפי צלע-צלע-זווית המשולשים חופפים.

הגדרת זווית בין שני מישורים במרחב

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן שני מישורים CAB ו-APB, נקודה M באמצע AB. הראה כיצד להעלות אנך מ-M למישור CAB ולמישור APB כדי לחשב את הזווית X בין שני המישורים.

זוויות במרחבמישוריםאנכים

רמז: הזווית בין שני מישורים היא הזווית בין האנכים אליהם שניצבים למישורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = הזווית בין האנכים למישורים CAB ו-APB = הזווית בין הווקטורים CMPV.

מעלים אנך מ-M למישור CAB וניתן לזה וקטור אנכי. מעלים אנך מ-M למישור APB לקבל וקטור אנכי נוסף. הזווית בין הווקטורים (CMPV) היא הזווית בין שני המישורים, כלומר הזווית X.

חישוב זווית בין ישר למישור במשולש משוקעיים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון משולש משוקעיים ABC עם זווית ראש שני גמא, נקודה P היא ההיטל של C על הבסיס AB. הוכח שזווית בטה בין השוק למישור ABC שווה לזווית בין הקטעים CP ו-AP במישור הבסיס.

מרחבזווית ישר למישורחפיפותבגרות

רמז: השתמש בהורדת האנך והחפיפות בין משולשים כדי להשוות זוויות.

פתרון מלא

תשובה סופית: בטה = הזווית בין CP ל-AP במישור הבסיס.

נוריד אנך מ-C אל נקודת P על בסיס AB. נבנה את המשולשים ACP ו-BCP שהן חופפות לפי צלע-צלע-זווית, לכן הזוויות CPB ו-CAP שוות. לפי הגדרת זווית בין ישר למישור, זווית בטה היא הזווית בין CP ל-AP.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל זווית בין ישר למישור במרחב

תכנון השלבים למציאת קשר בין זוויות במישור ובמרחב

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא קשר בין הזוויות X, בטה ושני גאמ

  2. נתון 1

    משולש משוקעיים ABC

  3. נתון 2

    נתון 2

    זווית ראש המשולש שווה לשוקיים = שני גמא
  4. נתון 3

    זוויות בטה ו-X בין ישרים למישורים

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להגדיר אנכים, להוכיח חפיפות משולשים, ולהשתמש בהגדרות הזוויות בין ישר למישור ובין מישורים כדי

  6. נוסחה

    העלה אנכיים מנקודה M (אמצע AB) למישורים CAB ו-APB וחישב את הזווית ביניהם

    X = הזווית בין האנכים למישוריםX = (אנך_CAB, אנך_APB)
  7. משוואה

    הגדר את זווית בטה כהזווית בין הישר לשוק לבין ההיטל שלו על בסיס AB

    הגדר את זווית בטה כהזווית בין הישר לשוק לבין ההיטל שלו על בסיס AB

    טה = הזווית בין השוק להיטל על הבסיסבטה = הזווית בין השוק להיטל על הבסיס= (שוק, היטל)
  8. פישוט

    שלב את התוצאות לגבי בטה, גמא ו-X כדי למצוא את הקשר בין הזוויות

    שלב את התוצאות לגבי בטה, גמא ו-X כדי למצוא את הקשר בין הזוויות

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נקודת ההיטל P

מה עושים

הורד אנך מנקודה C לבסיס AB וסמן את נקודת החיתוך P

למה

קובעים נקודת חיתוך המאפשרת להגדיר את ההיטל ולהשתמש בחפיפות משולשים

האנך מנקודה C לבסיס AB יוצר נקודת חיתוך יחידה, המסומנת ב-P, שהיא ההיטל של C על AB

הורדת אנך ייחודי ממחוץ למישור למישור מתאפשרת תמיד ומניחה בניית עזר להוכחות

2

בחירת שיטה

הוכחת חפיפות משולשים ACP ו-BCP

מה עושים

הראה ש-CP משותף, AC=BC, וזוויות בקודקודים שוות

למה

חפיפות אלו מאפשרות להסיק שוויון זוויות ואורכים חשובים לפישוט הבעיה

משולשים ACP ו-BCP חופפים לפי צלע-צלע-זווית גדולה, דבר המבטיח זוויות שוות בין מיניהם

השתמש בצלעות משותפות ובזוויות הנוצרות מהאנך והמישור המרכזי

3

בניית משוואה

הגדרת זווית בטה בין ישר למישור

מה עושים

הגדר את זווית בטה כהזווית בין הישר לשוק לבין ההיטל שלו על בסיס AB

למה

כך מגדירים את הזווית בין ישר למישור בהתאם להגדרה המתמטית

הזווית בין הישר לשוק לבין ההיטל שלו במישור הבסיסי היא זווית בטה

נוסחה / הצבה

טה = הזווית בין השוק להיטל על הבסיסבטה = הזווית בין השוק להיטל על הבסיס= (שוק, היטל)

ההיטל מפשט את חישוב הזווית בין ישר למישור

4

בחירת שיטה

הגדרת זווית X בין שני מישורים

מה עושים

העלה אנכיים מנקודה M (אמצע AB) למישורים CAB ו-APB וחישב את הזווית ביניהם

למה

הזווית בין שני מישורים היא הזווית בין האנכים להם

הזווית X היא הזווית בין ההיטלים האנכיים למישורים, מחושבת בין אנכים אלו במרחב

נוסחה / הצבה

X = הזווית בין האנכים למישוריםX = (אנך_CAB, אנך_APB)

הבנת הקשר בין מישורים דרך אנכים מבהירה את היחס הזוויתי במרחב

5

פתרון

קביעת הקשרים הסופיים בין הזוויות

מה עושים

שלב את התוצאות לגבי בטה, גמא ו-X כדי למצוא את הקשר בין הזוויות

למה

קשרים אלו מהווים את הפתרון לבעיה וממחישים את הקשר בין זוויות המרחב

לאחר הוכחות והגדרות, יושגו ביטויים המשווים בין הזוויות ומבהירים את היחס ביניהן

שימוש בתכונות חפיפה והגדרות אנכים מאפשר גישה שיטתית לפתרון

פתרונות כלליים

  • זיהוי זוויות במרחב: נסמן את המשולש ונגדיר את ההיטל של השוק על הבסיס. הזווית בין הישר למישור תהיה הזווית בין השוק לבין ההיטל שלו במישור הבסיס.
  • הוכחת חפיפה בין משולשים במרחב: הוכחנו ש-CP שווה ל-CP (צלע משותפת), AC שווה ל-BC (נתון משולש משוקעיים) וזוויות P1 ו-P2 שוות בעקבות האנך והבסיס. לכן לפי צלע-צלע-זווית המשולשים חופפים.
  • הגדרת זווית בין שני מישורים במרחב: מעלים אנך מ-M למישור CAB וניתן לזה וקטור אנכי. מעלים אנך מ-M למישור APB לקבל וקטור אנכי נוסף. הזווית בין הווקטורים (CMPV) היא הזווית בין שני המישורים, כלומר הזווית X.
  • חישוב זווית בין ישר למישור במשולש משוקעיים: נוריד אנך מ-C אל נקודת P על בסיס AB. נבנה את המשולשים ACP ו-BCP שהן חופפות לפי צלע-צלע-זווית, לכן הזוויות CPB ו-CAP שוות. לפי הגדרת זווית בין ישר למישור, זווית בטה היא הזווית בין CP ל-AP.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.