שיעור המתמקד בפירמידה ישרה עם בסיס ריבועי ובחינת זוויות וחישובי שטח המעטפת באמצעות זהויות טריגונומטריות.
הבנת מבנה הפירמידה הישרה ובסיסה הריבועי
הגדרת זווית בין משופע למישור והוכחת שוויונות משולשים
שימוש בהיטל לחישוב זוויות בין ישרים למישורים
חישוב שטח המעטפת של הפירמידה באמצעות דרכי פתרון טריגונומטריים
יישום זהויות טריגונומטריות על מנת לבטא את שטח המעטפת ללא תלות בזוויות מסוימות
מבנה הפירמידה ישרה ובסיסה ריבועי: הכרת הנתונים הראשוניים: פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי שכל המקטורות הצדדיות שוות.
הגדרת זווית בין משופע למישור: הסבר והגדרת הזווית בטא בין המשופע למישור באמצעות היטל בנקודה המשותפת והאנך אל המישור.
שוויונות במשולשים וחישובים טריגונומטריים: שימוש בחפיפות משולשים לצורך קביעת שוויונות זוויות וצלעות, והצגת שוויונות בין קוסינוס וסינוס של הזוויות אלפא ובטא.
חישוב שטח המעטפת והצגת הנוסחה: הגדרת שטח המעטפת כפני הצד של הפירמידה בלבד והצגת הדרך לחשבו על בסיס צלע, גובה וזוויות תוך שילוב זהויות טריגונומטריות להסרת התלות בזווית בטה.

תרגול קצר

חישוב שטח משולש בפירמידה ישרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי צלעו X. הזווית בין המשופע למישור היא בטא. חשב את שטח משולש צדדי ידוע כ-(1/2) × X × X × סינוס הזווית בין הצלעות.

פירמידהשטחטריגונומטריה

רמז: השתמש בנוסחה לחישוב שטח משולש עם שתי צלעות וזווית ביניהן.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח המשולש = (1/2) × X² × סינוס (90° - בטא)

שטח המשולש = חצי מכפלת צלע × צלע × סינוס הזווית.

הוכחת שוויונות במשולשים בפירמידה

רמת קושי: בינוני

ממתין

הראה שבמשולשים SAD, SDC, SCB ו-SAB יש חפיפה לפי צלע, צלע, צלע, מה שמבטיח שוויון זוויות אלפא בכל הפינות.

גאומטריהחפיפותפירמידה

רמז: הסתמך על כך שכל המקטורות הצדדיות שוות והבסיס ריבועי.

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים חופפים ולכן כל הזוויות המתאימות שוות וקרויות אלפא.

משולשים חופפים לפי שלושה צדדים שווים על ידי נתוני הפירמידה והריבוע.

גזירת נוסחה לשטח המעטפת עם תלות רק ב-h ו-α

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון גובה h של הפירמידה וזווית אלפא. הראה כיצד לחלץ את המשתנה X ולהביא את נוסחת שטח המעטפת כביטוי שבודק רק את h ו-α ללא תלות בזווית בטא.

טריגונומטריהזהויותפירמידהשטח

רמז: השתמש בזהויות טריגונומטריות ויחסים בין סינוס וקוסינוס כדי לבטא את X כ-h חלקי סינוס של בטא ותחליפו את סינוס בריבוע בטא בקשר עם α.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח מעטפת = 2 h² × סינוס 2α

השתמש בזהות: סינוס בריבוע של בטא = 1 - קוסינוס בריבוע של בטא = 2 סינוס בריבוע של אלפא; החלף את X ב-h חלקי סינוס בטא, הצב במשוואת השטח ופשט לסוף ב- h ו- α בלבד.

מצא את שטח מעטפת הפירמידה ישרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בפירמידה ישרה עם בסיס ריבועי, נתונים גובה הפירמידה h, זווית אלפא ויחסי צלעות כפי שהוסבר. הוכח כי שטח המעטפת ניתן לביטוי 2h² סינוס 2α.

בגרותטריגונומטריהגאומטריה

רמז: השתמש בהגדרה של שטח מעטפת כפני הצד בלבד, בחפיפות משולשים ובזהויות טריגונומטריות להחלפת משתנים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח מעטפת = 2 h² × סינוס 2α

חילוץ X באמצעות גובה h וסינוס בטא, הכפלת שטח משולש צדדי ב-4, החלפת סינוס בריבוע של בטא בזווית אלפא בעזרת זהויות טריגונומטריות ופישוט הביטוי.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה: חישוב שטח מעטפת פירמידה ישרה

פתרון שאלה בעמוד 351, תרגיל 28

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נוסחה לשטח המעטפת של הפירמידה המכילה רק את h ו-α
נתון 1
פירמידה ישרה בעלת בסיס ריבועי
נתון 2
הגובה h של הפירמידה
נתון 3
זווית אלפא (α) בין קצוות וצלעות
רעיון
הרעיון המרכזי
להביע את משתנה X באמצעות הגובה h וסינוס בטא, להשתמש בזהויות טריגונומטריות להחליף ביטויים תלויים
נוסחה
משוואה ראשונית: סינוס β = h / X לכן X = h / סינוס β
X = h חלקי סינוס βX = h / sin(β)X = (h)/( )
משוואה
שטח משולש צדדי = חצי × X × X × סינוס 2α, שטח הכולל = 4 × שטח משולש
שטח משולש צדדי = חצי × X × X × סינוס 2α, שטח הכולל = 4 × שטח משולש
שטח מעטפת = 2 × X בריבוע × סינוס 2αשטח מעטפת = 2 X^2 × sin(2α)שטח\ מעטפת = 2 X^(2) (2)
פישוט
הציב את X = h/sin(β) בנוסחת השטח, השתמש בזהויות להחלפת ביטויים של סינוס
הציב את X = h/sin(β) בנוסחת השטח, השתמש בזהויות להחלפת ביטויים של סינוס בריבוע β
שטח מעטפת = 2 × h בריבוע × סינוס 2αשטח מעטפת = 2 h² × sin(2α)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הכר את הנתונים הראשוניים

מה עושים

הבן שיש פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי וגובה h, ומהי זווית α ו-β

למה

הגדרת הצורה והזוויות חשובות להמשך החישובים

הפירמידה עם בסיס ריבועי וצלע X, גובה h וזווית α בין צלעות המשולשים הצדדיים ובטא לזווית בין המשופע למישור

בחירת שיטה

השתמש בהגדרה והיטל

מה עושים

הגדיר את הזווית β כהזווית בין המשופע להיטל שלו על המישור

למה

כדי לקשר בין הזוויות ולנסח ביטויים טריגונומטריים

על ידי הורדת האנך מהנקודה המשותפת, מוגדר ההיטל וניתן לעבוד עם המשולשים לריבוי השוויונות

בניית משוואה

הבע את X בעזרת h וסינוס β

מה עושים

משוואה ראשונית: סינוס β = h / X לכן X = h / סינוס β

למה

להביע את צלע הפירמידה באמצעות הגובה והזווית β

X הוא אורך המקטורת הצדדית בפירמידה, מחושב באמצעות הגובה וזווית β

נוסחה / הצבה

X = h חלקי סינוס βX = h / sin(β)X = (h)/( )

בניית משוואה

הבע את שטח המעטפת בעזרת X ו-α

מה עושים

שטח משולש צדדי = חצי × X × X × סינוס 2α, שטח הכולל = 4 × שטח משולש

למה

שטח המעטפת מורכב מארבעה משולשים זהים

שטח מעטפת = 2 X² × סינוס 2α

נוסחה / הצבה

שטח מעטפת = 2 × X בריבוע × סינוס 2αשטח מעטפת = 2 X^2 × sin(2α)שטח\ מעטפת = 2 X^(2) (2)

פתרון

החלף X בביטוי ותשתמש בזהויות טריגונומטריות

מה עושים

הציב את X = h/sin(β) בנוסחת השטח, השתמש בזהויות להחלפת ביטויים של סינוס בריבוע β בביטויים של α

למה

להסיר את התלות בזווית β ולהשיג ביטוי טהור ב-h ו-α

נוסחת שטח המעטפת הסופית היא: 2 h² × סינוס 2α

נוסחה / הצבה

שטח מעטפת = 2 × h בריבוע × סינוס 2αשטח מעטפת = 2 h² × sin(2α)שטח\ מעטפת = 2 h^(2) (2)

להזכיר שימוש בזהויות כגון sin² β = 1 - cos² β ועוד

פתרונות כלליים

חישוב שטח משולש בפירמידה ישרה: שטח המשולש = חצי מכפלת צלע × צלע × סינוס הזווית.
הוכחת שוויונות במשולשים בפירמידה: משולשים חופפים לפי שלושה צדדים שווים על ידי נתוני הפירמידה והריבוע.
גזירת נוסחה לשטח המעטפת עם תלות רק ב-h ו-α: השתמש בזהות: סינוס בריבוע של בטא = 1 - קוסינוס בריבוע של בטא = 2 סינוס בריבוע של אלפא; החלף את X ב-h חלקי סינוס בטא, הצב במשוואת השטח ופשט לסוף ב- h ו- α בלבד.
מצא את שטח מעטפת הפירמידה ישרה: חילוץ X באמצעות גובה h וסינוס בטא, הכפלת שטח משולש צדדי ב-4, החלפת סינוס בריבוע של בטא בזווית אלפא בעזרת זהויות טריגונומטריות ופישוט הביטוי.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 351 תרגיל 28

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נוסחה לשטח המעטפת של הפירמידה המכילה רק את h ו-α

פירמידה ישרה בעלת בסיס ריבועי

הגובה h של הפירמידה

זווית אלפא (α) בין קצוות וצלעות

הרעיון המרכזי

משוואה ראשונית: סינוס β = h / X לכן X = h / סינוס β

שטח משולש צדדי = חצי × X × X × סינוס 2α, שטח הכולל = 4 × שטח משולש

הציב את X = h/sin(β) בנוסחת השטח, השתמש בזהויות להחלפת ביטויים של סינוס

פתרון מפורט

הכר את הנתונים הראשוניים

השתמש בהגדרה והיטל

הבע את X בעזרת h וסינוס β

הבע את שטח המעטפת בעזרת X ו-α

החלף X בביטוי ותשתמש בזהויות טריגונומטריות

פתרונות כלליים