שיעור זה עוסק בניתוח גיאומטרי של פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות, כולל שימוש בחוקי חפיפה, תיכונים, אנכים, מרכז מעגלים וחישובי אורכים וזוויות במרחב למציאת שטחים.
להבין התכונות של פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות
לזהות ולסמן קטעים חשובים במבנה גיאומטרי תלת־מימדי
להשתמש בחפיפות משולשים כדי להסיק שוויונות ומידות
להבין משמעות המושג משץ ומשמעות היחס 2:1 במפגש תיכון
לבצע חישובי אורכים באמצעות משפטי סינוסים, פיתגורס וטנזנטים במרחב
לחבר בין זוויות במישורים שונים לניתוח גאומטרי מתקדם במרחב
לחשב שטח משולשים במרחב באמצעות גובה וקטע בסיס
הגדרת המבנה הגיאומטרי: נתונה פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות, כל צלע שווה ל-8, ומתואר קו MN המקביל ל-BC וקטעי MN ו-SN המחברים נקודות ומגדירים מישורים שונים.
סימון וקביעת נתונים גאומטריים: מסמנים חלקים במבנה כגון X, 8-X על קטעים שקולים, ומזהים משולשים שווי צלעות, משולשים שווי שוקיים וחפיפות בין משולשים.

תרגול קצר

חישוב אורך R בפירמידה ישרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות בעלות אורך 8. באמצעות משפט הסינוסים חשב את אורך הרדיוס R של המעגל החוסה של הבסיס.

פירמידהמשפט סינוסיםרדיוס

רמז: השתמש במשפט הסינוסים: 8 חלקי סינוס 60 שווה ל-2R.

פתרון מלא

תשובה סופית: R = 8 חלקי שורש 3

המשפט: 8 / sin(60) = 2R sin(60) = שורש 3 חלקי 2 לכן: 8 / (שורש 3 / 2) = 2R כפול שניים: 2R = 8 * 2 / שורש 3 2R = 16 / שורש 3 R = 8 / שורש 3

חישוב גובה הפירמידה

רמת קושי: בינוני

ממתין

באותה פירמידה ישרה, לאחר שקיבלת את אורך R, חשב את גובה הפירמידה H באמצעות משפט פיתגורס, כאשר צלע הפירמידה היא 8.

פירמידהמשפט פיתגורסגובה

רמז: השתמש במשפט פיתגורס לצלע, כאשר R ו-H יוצרים משולש ישר זווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: H ≈ 6.53

המשפט: H^2 + (המרחק בצלע)^2 = 8^2 המרחק בצלע הוא 8 חלקי שורש 3 (R) אז: H^2 + (8/שורש 3)^2 = 64 H^2 + 64/3 = 64 H^2 = 64 - 64/3 = 128/3 H = שורש (128/3) ≈ 6.53

חישוב שטח משולש SMN במישור הפנימי

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נמצא את שטח המשולש SMN כאשר הגובה H נמצא, והבסיס SM הוא מקביל ל-BC באורך 3. חשב את שטח SMN.

שטחמשולשפירמידה

רמז: השתמש בנוסחת שטח משולש = גובה כפול בסיס חלקי 2, וכפל את הבסיס ב-3 בהתאם לשכפול הבסיס במישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = 19.6

שטח = (גובה * בסיס) / 2 כיוון שהבסיס הוא SM * 3 שטח = (H * 3) / 2 שטח = (6.53 * 3) / 2 = 19.6

הערכת אנליזה של פירמידה ישרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות שכל צלעה 8. על פי הערכים שחושבו בגיאומטריה וטריגונומטריה, חשב את שטח המשולש הפנימי SMN עם נתוני הזוויות ואורכי הצלעות שהתגלו.

פירמידהשטחבגרות

רמז: השתמש בגובה ובבסיס בעל אורכים מחושבים בשיעור, ואל תשכח הכפלת הבסיס ב-3.

פתרון מלא

תשובה סופית: 19.65

מהמשך הניתוח, שטח SMN = (גובה * בסיס * 3)/2 גובה H ≈ 6.53 בסיס יחיד הוא 3 שטח ≈ (6.53 * 3)/2 = 19.6 ענה עיגול לערך הקרוב: 19.65

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח משולש SMN בפירמידה ישרה

ניתוח גיאומטרי במרחב של משולש במישור פנימי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח המשולש SMN
נתון 1
פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות באורך צלע 8
נתון 2
קו MN מקביל ל-BC
נתון 3
זווית בין מישור SMN למישור AMN היא 85 מעלות
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב קודם אורך R, לאחר מכן גובה הפירמידה H, נשתמש בזווית 85 מעלות לחישוב אורכים במישור ונחשב את
נוסחה
8 חלקי sin(60) שווה 2R, לכן R שווה 4 חלקי שורש 3
8 / sin 60 = 2RR = 8 / (2 * sin 60)8 / sin(60) = 2RR = 8 / (2 * sin(60))(8)/( 60) = 2R
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
משפט פיתגורס: H בריבוע ועוד (8 חלקי שורש 3) בריבוע שווה 64
משפט פיתגורס: H בריבוע ועוד (8 חלקי שורש 3) בריבוע שווה 64
H^2 + (8 / sqrt(3))^2 = 8^2H^2 + (8 / 3)^2 = 8^2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרות ומדידות בסיס וקטעים

מה עושים

נקבע כי הבסיס שווה צלעות 8 ואורכי קטעים כמו X ו-8-X

למה

להכין סימונים נכונים להמשך החישובים

הבסיס שווה צלעות והצלעות הצדדיות שוות, נקבע סימוני X ו-8-X להעברה

בחירת שיטה

שימוש במשפט הסינוסים לחישוב R

מה עושים

חשב את אורך R באמצעות 8 חלקי סינוס 60 שווה 2R

למה

R מהווה מרכיב חשוב במיקום הגובה ובאורכי המשולשים במרחב

R נמצא דרך לדעת אורכי הצלעות והמרחקים במרחב

בניית משוואה

חישוב אורך R

מה עושים

8 חלקי sin(60) שווה 2R, לכן R שווה 4 חלקי שורש 3

למה

אורך R חשוב להמשך בחישובי גובה והשטח

נוסחה / הצבה

8 / sin 60 = 2RR = 8 / (2 * sin 60)8 / sin(60) = 2RR = 8 / (2 * sin(60))(8)/( 60) = 2R

זכור כי sin 60 שווה שורש 3 חלקי 2

פתרון

חישוב גובה הפירמידה H

מה עושים

משפט פיתגורס: H בריבוע ועוד (8 חלקי שורש 3) בריבוע שווה 64

למה

כדי לדעת את גובה הפירמידה שנמצא בניצב לבסיס

נוסחה / הצבה

H^2 + (8 / sqrt(3))^2 = 8^2H^2 + (8 / 3)^2 = 8^2H^2 + ((8)/(3))^2 = 8^2

חשב את הערך המדויק של החלקים לפני הוצאת שורש

פתרון

שימוש בזווית 85 מעלות להבנת מישורי חיתוך

מה עושים

חשב את אורך T באמצעות טנגנס 85 מעלות שווה לחלק מחישובים הקודמים

למה

לקבל את האורך המדויק של קטעים במישור החשוב לחשבון השטח

נוסחה / הצבה

tan 85 = (8 * sqrt(6) / 3) / Ttan(85) = (8*sqrt(6)/3)/T85 = (8 6 / 3)/(T)

חישוב טנגנס זווית גדולה מצריך דיוק

פתרון

חישוב שטח SMN

מה עושים

שטח = (גובה * בסיס * 3) / 2

למה

כדי לסכם את השטח המבוקש במשולש המיוחס

נוסחה / הצבה

שטח = (H * בסיס * 3) / 2

שימו לב לכפל בשלוש להרחבת הבסיס במישור

פתרונות כלליים

חישוב אורך R בפירמידה ישרה: המשפט: 8 / sin(60) = 2R sin(60) = שורש 3 חלקי 2 לכן: 8 / (שורש 3 / 2) = 2R כפול שניים: 2R = 8 * 2 / שורש 3 2R = 16 / שורש 3 R = 8 / שורש 3
חישוב גובה הפירמידה: המשפט: H^2 + (המרחק בצלע)^2 = 8^2 המרחק בצלע הוא 8 חלקי שורש 3 (R) אז: H^2 + (8/שורש 3)^2 = 64 H^2 + 64/3 = 64 H^2 = 64 - 64/3 = 128/3 H = שורש (128/3) ≈ 6.53
חישוב שטח משולש SMN במישור הפנימי: שטח = (גובה * בסיס) / 2 כיוון שהבסיס הוא SM * 3 שטח = (H * 3) / 2 שטח = (6.53 * 3) / 2 = 19.6
הערכת אנליזה של פירמידה ישרה: מהמשך הניתוח, שטח SMN = (גובה * בסיס * 3)/2 גובה H ≈ 6.53 בסיס יחיד הוא 3 שטח ≈ (6.53 * 3)/2 = 19.6 ענה עיגול לערך הקרוב: 19.65

הפריט הקודם הפריט הבא

א4. חזרות במרחב פתרון שאלה

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שטח המשולש SMN

פירמידה ישרה עם בסיס משולש שווה צלעות באורך צלע 8

קו MN מקביל ל-BC

זווית בין מישור SMN למישור AMN היא 85 מעלות

הרעיון המרכזי

8 חלקי sin(60) שווה 2R, לכן R שווה 4 חלקי שורש 3

נבנה משוואה

משפט פיתגורס: H בריבוע ועוד (8 חלקי שורש 3) בריבוע שווה 64

פתרון מפורט

הגדרות ומדידות בסיס וקטעים

שימוש במשפט הסינוסים לחישוב R

חישוב אורך R

חישוב גובה הפירמידה H

שימוש בזווית 85 מעלות להבנת מישורי חיתוך

חישוב שטח SMN

פתרונות כלליים