MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חזרות

ג2. חזרות אנליטית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
9 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב4. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 340 תרגיל 2

וידאו

ב5. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ב6. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ג1. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג2. חזרות אנליטית

וידאו

ג3. חזרות וקטורים מרחק נקודה מישר

וידאו

ג4. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג5. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג6. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג7. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג8. חזרות ושילובים

וידאו

ג9. חזרות ושילובים

וידאו

ג10. חזרות ושילובים

וידאו

ג11. חזרות ושילובים

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בחישוב משוואות המשיקים למעגל מנקודה חיצונית באמצעות השלמת ריבוע, מציאת מרכז ורדיוס המעגל, ושימוש בשיפוע ונוסחת מרחק כדי להגיע למשוואות המשיקים.
  • להבין כיצד לסדר משוואת מעגל באמצעות השלמת ריבוע
  • למצוא מרכז ורדיוס של מעגל משוואתו הכללית
  • להבין את הגישה להימנע מחיפוש נקודות למשיק על ידי מציאת שיפוע
  • לכתוב משוואה של ישר משיק מנקודה חיצונית למעגל
  • לחשב מרחק מנקודה לישר ולהשתמש בנוסחת מרחק כדי לקבוע שיפועי משיקים
  • סידור ומשוואת המעגל: הצגה של משוואת המעגל בסגנון לא מאורגן והשלמת הריבוע כדי למצוא מרכז ורדיוס המעגל.
  • גישה למציאת משוואות המשיקים: להימנע ממציאת נקודות על המעגל ולהסתמך על מציאת השיפוע M של המשיק בלבד.
  • פתרון למשוואת השיפוע: הצגת משוואה ריבועית שמתקבלת משימוש בנוסחת המרחק, וריבוע שני הצדדים כדי להסיר ערך מוחלט ושורש.

תרגול קצר

מציאת מרכז ורדיוס המעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה המשוואה x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 + 9 = 3 + 4 + 9. מצא את מרכז המעגל ואת רדיוסו.

מעגלהשלמת ריבועמרכז ורדיוס

רמז: נסה להשלים ריבוע ל-x ול-y ולהחזיר את המשוואה לצורה סטנדרטית של מעגל.

פתרון מלא

תשובה סופית: המרכז (2, -3) והרדיוס 4.

השלמת ריבוע ל-x: x^2 -4x + 4 = (x - 2)^2; השלמת ריבוע ל-y: y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2. סך הכול הצד ימין: 3 + 4 + 9 = 16. משוואת המעגל היא (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. המרכז הוא (2, -3) והרדיוס הוא 4.

ניסוח משוואת המשיק מנקודה חיצונית

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה נקודה חיצונית למעגל ב-(8,12) ומעגל עם מרכז ב-(2,-3) ורדיוס 4. כתוב את משוואת הישר המשיק הכללי שעובר דרך נקודה זו עם שיפוע M.

משיקמשוואת ישרשיפוע

רמז: נצל את הנקודה החיצונית וכתוב משוואת ישר בנקודה זו עם שיפוע M כמשתנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: y - 12 = M(x - 8) או Mx - y + (12 - 8M) = 0.

משוואת הישר היא y - 12 = M(x - 8). בפורמט אלגברי: y - 12 - Mx + 8M = 0 או Mx - y + (12 - 8M) = 0.

חישוב שיפועים של משיקים מעגל מנקודה חיצונית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח שמרחק הנקודה (2,-3) מהמשיק y - 12 = M(x - 8) שווה לרדיוס 4, ופתור את המשוואה לקבלת ערכי M.

משיקיםמרחקפתרון משוואה ריבועית

רמז: השתמש בנוסחת המרחק מנקודה לישר ופתור משוואה ריבועית לאחר העלאה בריבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: שיפועי המשיקים הם בקירוב M ≈ 7.63 ו-M ≈ 1.369.

המשוואה של הישר: Mx - y + (12 - 8M) = 0, כך A = M, B = -1, C = 12 - 8M. המרחק מהמרכז (2,-3): |2M - (-3) + 12 - 8M| / sqrt(M^2 + 1) = 4. כלומר |15 - 6M| / sqrt(M^2 + 1) = 4. מעלה בריבוע: (15 - 6M)^2 = 16(M^2 + 1). פותרים ותורמים למשוואת ריבועית ב-M ומקבלים שני פתרונות שמייצגים שני משיקים.

מציאת משוואות שני משיקים למעגל מנקודה חיצונית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון מעגל עם משוואה x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 + 9 = 3 + 4 + 9 ונקודה חיצונית P(8,12). מצא את משוואות שני המשיקים מנקודה זו למעגל.

משיקיםמעגלנקודה חיצוניתבגרות

רמז: תחילה סדר את משוואת המעגל על ידי השלמת ריבוע, מצא מרכז ורדיוס. לאחר מכן מצא משוואת השיפוע M של המשיקים לפי נוסחת המרחק בין נקודה לישר שווה לרדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: y - 12 = 7.63(x - 8) ו-y - 12 = 1.369(x - 8) הן משוואות שני המשיקים.

1. השלמת ריבוע למשוואת המעגל: (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16. 2. משוואת המשיק הנתון בנקודה (8,12): y - 12 = M(x - 8). 3. המרחק של המרכז (2,-3) לקו המשיק חייב להיות 4. 4. משתמשים בנוסחת המרחק מנקודה לישר ומקבלים משוואה ריבועית ב-M. 5. פותרים את המשוואה ומקבלים שני ערכי שיפוע: M ≈ 7.63 ומ ≈ 1.369. 6. כותבים את משוואות המשיקים הסופיות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מצא משוואות משיקים למעגל מנקודה חיצונית

שלבים לפתרון תרגיל חישוב משוואות משיקים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא משוואות שני המשיקים מנקודה P למעגל

  2. נתון 1

    נתון 1

    משוואת המעגל הכוללת x^2 - 4x + y^2 + 6y + 17 = 16
  3. נתון 2

    נקודה חיצונית P(8,12)

  4. נתון 3

    רדיוס המעגל לא ידוע ישירות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    יש לסדר את משוואת המעגל, למצוא מרכז ורדיוס, לכתוב משוואת משיק עם שיפוע M, ולהשתמש בנוסחת המרחק

  6. נוסחה

    שלם ריבוע במשוואת המעגל כדי להגיע לצורה סטנדרטית

    (x - 2) בריבוע + (y + 3) בריבוע = 16(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16
  7. משוואה

    חשב את המרחק מהמרכז למשיק וכתוב משוואה לפי המצב שהמרחק שווה לרדיוס

    חשב את המרחק מהמרכז למשיק וכתוב משוואה לפי המצב שהמרחק שווה לרדיוס

    מוחלט A כפול x0 ועוד B כפול y0 ועוד C חלקי שורש A בריבוע ועוד B בריבוע שווה R|A x0 + B y0 + C| / sqrt(A^2 + B^2) = R(|A x_0 + B y_0 + C|)/(A^2 + B^2) = R
  8. פישוט

    העלה בריבוע, סכם משוואה ריבועית ופותר אותה לקבלת ערכי שיפוע M

    העלה בריבוע, סכם משוואה ריבועית ופותר אותה לקבלת ערכי שיפוע M

    (15 פחות 6M) בריבוע = 16 כפול (M בריבוע ועוד 1)(15 - 6M)^2 = 16(M^2 + 1)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

סדר את משוואת המעגל

מה עושים

שלם ריבוע במשוואת המעגל כדי להגיע לצורה סטנדרטית

למה

כך נוכל לזהות את המרכז ואת הרדיוס בקלות

מהמשוואה הכללית x^2 -4x + y^2 + 6y + 4 + 9 = 3 + 4 + 9 נסדר ונשלים ריבוע

נוסחה / הצבה

(x - 2) בריבוע + (y + 3) בריבוע = 16(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16

השלמת ריבוע תמיד שיטה יעילה לזיהוי מרכז ורדיוס

2

זיהוי נתונים

זהה את המרכז והרדיוס

מה עושים

המרכז הוא (2,-3) והרדיוס הוא שורש 16 = 4

למה

מרכז ורדיוס הם המידע הבסיסי המגדיר את המעגל

מרכז: (2, -3), רדיוס: 4

3

בחירת שיטה

כתוב משוואת משיק עם שיפוע M

מה עושים

כתוב משוואת ישר העוברת דרך הנקודה החיצונית (8,12) בשיפוע M

למה

משוואת הישר תאפשר לנו למצוא M שיספק משיק למעגל

משוואה: y - 12 = M (x - 8)

נוסחה / הצבה

y - 12 = M כפול (x - 8)y - 12 = M(x - 8)

משוואה מותאמת לנקודה בשיפוע M

4

בניית משוואה

השתמש בנוסחת המרחק מנקודה לישר

מה עושים

חשב את המרחק מהמרכז למשיק וכתוב משוואה לפי המצב שהמרחק שווה לרדיוס

למה

רדיוס המעגל שווה למרחק מהמרכז לקו המשיק

המרחק בין (2,-3) לישר שווה 4

נוסחה / הצבה

מוחלט A כפול x0 ועוד B כפול y0 ועוד C חלקי שורש A בריבוע ועוד B בריבוע שווה R|A x0 + B y0 + C| / sqrt(A^2 + B^2) = R(|A x_0 + B y_0 + C|)/(A^2 + B^2) = R

המרחק משמש כאן לקבוע את השיפועים המותרים למשיקים

5

פתרון

פתור לקבלת שיפועי המשיקים

מה עושים

העלה בריבוע, סכם משוואה ריבועית ופותר אותה לקבלת ערכי שיפוע M

למה

פתרון המשוואה נותן את השיפועים של המשיקים שניתן לבנות

משוואה בריבוע במשתנה M שנותנת שני פתרונות

נוסחה / הצבה

(15 פחות 6M) בריבוע = 16 כפול (M בריבוע ועוד 1)(15 - 6M)^2 = 16(M^2 + 1)

פתרון משוואה ריבועית במשתנה M

6

תשובה

כתוב את משוואות המשיקים

מה עושים

השתמש בערכי M שנמצאו כדי לכתוב שני משוואות משיקים

למה

כל פתרון M מייצג משיק שונה מנקודה חיצונית למעגל

משוואות: y - 12 = 7.63(x - 8), y - 12 = 1.369(x - 8)

פתרונות כלליים

  • מציאת מרכז ורדיוס המעגל: השלמת ריבוע ל-x: x^2 -4x + 4 = (x - 2)^2; השלמת ריבוע ל-y: y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2. סך הכול הצד ימין: 3 + 4 + 9 = 16. משוואת המעגל היא (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. המרכז הוא (2, -3) והרדיוס הוא 4.
  • ניסוח משוואת המשיק מנקודה חיצונית: משוואת הישר היא y - 12 = M(x - 8). בפורמט אלגברי: y - 12 - Mx + 8M = 0 או Mx - y + (12 - 8M) = 0.
  • חישוב שיפועים של משיקים מעגל מנקודה חיצונית: המשוואה של הישר: Mx - y + (12 - 8M) = 0, כך A = M, B = -1, C = 12 - 8M. המרחק מהמרכז (2,-3): |2M - (-3) + 12 - 8M| / sqrt(M^2 + 1) = 4. כלומר |15 - 6M| / sqrt(M^2 + 1) = 4. מעלה בריבוע: (15 - 6M)^2 = 16(M^2 + 1). פותרים ותורמים למשוואת ריבועית ב-M ומקבלים שני פתרונות שמייצגים שני משיקים.
  • מציאת משוואות שני משיקים למעגל מנקודה חיצונית: 1. השלמת ריבוע למשוואת המעגל: (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16. 2. משוואת המשיק הנתון בנקודה (8,12): y - 12 = M(x - 8). 3. המרחק של המרכז (2,-3) לקו המשיק חייב להיות 4. 4. משתמשים בנוסחת המרחק מנקודה לישר ומקבלים משוואה ריבועית ב-M. 5. פותרים את המשוואה ומקבלים שני ערכי שיפוע: M ≈ 7.63 ומ ≈ 1.369. 6. כותבים את משוואות המשיקים הסופיות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.