בשיעור זה לומדים כיצד לחשב את המרחק בין נקודה לישר ולהבין כיצד להציג ישר במרחב הניתוח האנליטי כמשוואת מישור, תוך שימוש בווקטורים ושיפועים.
להבין את נוסחת מרחק נקודה ממישור
לזהות כיצד להפוך משוואת ישר למשוואת מישור במרחב
לחבר בין מושגים של שיפוע ווקטור
לחשב מרחק נקודה מישר באמצעות המשוואה במישור האנליטי
נוסחת מרחק נקודה ממישור: הצגת נוסחת המרחק של נקודה ממישור ויישומה בדוגמה.
המרחק מנקודה לישר במישור: המחשה כיצד יש לייצג ישר כמישור במרחב ולחשב את המרחק מנקודה לישר בצורה אנליטית.
חיבור בין שיפועים לווקטורים: הסבר כיצד שיפוע של ישר ניתן להמיר לווקטור וכיצד וקטור מאפשר לחלץ את השיפוע ולהבין את התנועה לאורך הישר.

תרגול קצר

מרחק נקודה ממישור פשוט

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את המרחק בין הנקודה (2, 1, 3) למישור שמוגדר על ידי המשוואה 2x + 3y - z + 4 = 0.

מרחקמישורבסיס

רמז: הציב את ערכי הנקודה בנוסחת המרחק ממישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8 / שורש 14

נחשב את הערך המוחלט של 2*2 + 3*1 - 1*3 + 4 = 4 + 3 -3 +4 = 8. מכנה יהיה שורש של 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע ועוד -1 בריבוע = שורש 4 + 9 + 1 = שורש 14. אז המרחק הוא 8 חלקי שורש 14.

מרחק נקודה מישר במישור

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הנקודה (-3, 7) והישר y = x + 1. מצא את מרחק הנקודה מהישר.

מרחקישרמישורבינוני

רמז: הפוך את משוואת הישר למשוואת מישור בצורת Ax + By + C = 0 ואחר כך השתמש בנוסחת מרחק נקודה מישר.

פתרון מלא

תשובה סופית: 9 / שורש 2

משוואת הישר נתונה: y = x + 1 ניתן להפוך ל-x - y + 1 = 0 הצבת הנקודה בנוסחה: המספר המוחלט של (-3) - 7 + 1 = |-9|= 9 המכנה: שורש 1 בריבוע + (-1) בריבוע = שורש 2 לכן, המרחק = 9 / שורש 2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב מרחק נקודה מהישר y = x + 1

המרחק בין הנקודה (-3,7) לישר במישור

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המרחק בין הנקודה לישר
נתון 1
הנקודה (-3,7)
נתון 2
נתון 2
הישר y = x + 1
רעיון
הרעיון המרכזי
נמיר את משוואת הישר לצורת Ax + By + C = 0 ונשתמש בנוסחת המרחק בין נקודה לישר
נוסחה
מציבים את ערכי הנקודה במשוואה: |Ax1 + By1 + C| חלקי שורש (A^2 + B^2)
|1*(-3) + (-1)*7 + 1|------------------------sqrt(1^2 + (-1)^2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
המונה הוא |-3 - 7 + 1| = |-9| = 9, המכנה הוא sqrt(1+1)=sqrt(2)
המונה הוא |-3 - 7 + 1| = |-9| = 9, המכנה הוא sqrt(1+1)=sqrt(2)
9 / sqrt(2)
תוצאה
מסיימים בתשובה
המרחק בין הנקודה לישר הוא 9 חלקי שורש 2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פירוט הנתונים

מה עושים

יש את הנקודה (-3,7) ואת משוואת הישר y = x + 1

למה

צריך להגדיר מה יש ומה מחפשים כדי להתחיל את החישוב

נתון ישר במישור ונתונה נקודה מחוץ לו.

בחירת שיטה

להמיר את משוואת הישר

מה עושים

ממירים את משוואת הישר לצורת Ax + By + C = 0

למה

נוסחת המרחק עובדת עם משוואה בצורת Ax + By + C = 0

y = x + 1 נכתב מחדש כ- x - y + 1 = 0

חשוב להקפיד על הסימנים.

בניית משוואה

הצבת ערכים בנוסחה

מה עושים

מציבים את ערכי הנקודה במשוואה: |Ax1 + By1 + C| חלקי שורש (A^2 + B^2)

למה

כך מחשבים מרחק של נקודה מהישר

הצבת נקודה (-3,7) במשוואה (1)*(-3) + (-1)*(7) + 1

נוסחה / הצבה

|1*(-3) + (-1)*7 + 1|------------------------sqrt(1^2 + (-1)^2)

שים לב לערכים המוחלטים ולשורש במכנה.

פתרון

חישוב המונה והמכנה

מה עושים

המונה הוא |-3 - 7 + 1| = |-9| = 9, המכנה הוא sqrt(1+1)=sqrt(2)

למה

חישוב כל אחד מהרכיבים בנפרד

מרחק = 9 חלקי שורש 2

נוסחה / הצבה

9 / sqrt(2)

אפשר להשאיר בשורש או להסביר איך לפשט.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

המרחק בין הנקודה לישר הוא 9 חלקי שורש 2

למה

סיום החישוב עם תשובה מדויקת

זכור שהמרחק הוא ערך חיובי.

פתרונות כלליים

מרחק נקודה ממישור פשוט: נחשב את הערך המוחלט של 2*2 + 3*1 - 1*3 + 4 = 4 + 3 -3 +4 = 8. מכנה יהיה שורש של 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע ועוד -1 בריבוע = שורש 4 + 9 + 1 = שורש 14. אז המרחק הוא 8 חלקי שורש 14.
מרחק נקודה מישר במישור: משוואת הישר נתונה: y = x + 1 ניתן להפוך ל-x - y + 1 = 0 הצבת הנקודה בנוסחה: המספר המוחלט של (-3) - 7 + 1 = |-9|= 9 המכנה: שורש 1 בריבוע + (-1) בריבוע = שורש 2 לכן, המרחק = 9 / שורש 2.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג9. חזרות ושילובים

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא המרחק בין הנקודה לישר

הנקודה (-3,7)

נתון 2

הרעיון המרכזי

מציבים את ערכי הנקודה במשוואה: |Ax1 + By1 + C| חלקי שורש (A^2 + B^2)

נבנה משוואה

המונה הוא |-3 - 7 + 1| = |-9| = 9, המכנה הוא sqrt(1+1)=sqrt(2)

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

פירוט הנתונים

להמיר את משוואת הישר

הצבת ערכים בנוסחה

חישוב המונה והמכנה

תוצאה סופית

פתרונות כלליים