חישוב שיפוע ביניים בין שתי נקודות
רמת קושי: קל
נתונות הנקודות (8, 12) ו-(2, -3). מצא את השיפוע של הישר המחבר ביניהן.
שיפועוקטוריםמישור
רמז: חשב את השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2.5
שיפוע m = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-3 - 12)/(2 - 8) = (-15)/(-6) = 2.5.
כתיבת משוואה פרמטרית של ישר
רמת קושי: בינוני
כתוב את משוואת הישר העוברת דרך (8,12,0) עם וקטור כיוון (a,b,0).
וקטוריםמשוואות פרמטריות
רמז: משוואה פרמטרית היא נקודה בתוספת פרמטר כפול וקטור הכיוון.
פתרון מלא
תשובה סופית: P = (8, 12, 0) + t(a, b, 0)
P = (8, 12, 0) + t*(a, b, 0)
חישוב מרחק נקודה מקו ישר תלת-ממדי
רמת קושי: מאתגר
נתונה נקודה (2, -3, 0) וישר במישור שעובר דרך (8, 12, 0) עם וקטור כיוון (a, b, 0). המרחק מנקודה זו לקו הוא 4. כתוב את המשוואה שמתקבלת של a ו-b.
מכפלה קרוסיתמרחקוקטוריםתלת-ממד
רמז: השתמש במכפלה קרוסית לחישוב מרחק, והצע את המשוואה על a,b.
פתרון מלא
תשובה סופית: (15a + 6b)^2 = 16(a^2 + b^2)
d = | (P1 - P0) x v | / |v| = 4
כאשר P1 = (2, -3, 0), P0 = (8, 12, 0), v = (a, b, 0)
הורידו למערכת משוואות:
|(-6, -15, 0) x (a, b, 0)| / sqrt(a^2 + b^2) = 4
ובהרחבה מתקבל: sqrt((15a - (-6b))^2) / sqrt(a^2 + b^2) = 4
כלומר: (15a + 6b)^2 = 16(a^2 + b^2)
מרחק נקודה מהיישר בתלת-ממד
רמת קושי: בגרות
הוכח שמרחק הנקודה (2,-3,0) מהישר שעובר דרך (8,12,0) עם וקטור כיוון (a,b,0) הוא 4, וחשב את המשוואה המתאימה למקדמים a,b.
מרחקוקטוריםמכפלה קרוסיתבגרות
רמז: השתמש במכפלה קרוסית ובגודל וקטור הכיוון.
פתרון מלא
תשובה סופית: (15a + 6b)^2 = 16(a^2 + b^2)
הפוך וקטור מהנקודה לראשית הנקודות על הקו: (2-8, -3-12, 0) = (-6, -15, 0).
חישוב מכפלה קרוסית בין (-6, -15, 0) ל-(a, b, 0):
מתקבל וקטור (0, 0, 15a - (-6b)) = (0,0, 15a+6b)
הגודל |0,0,15a+6b| = |15a + 6b|
המרחק הוא |15a + 6b| / sqrt(a^2 + b^2) = 4
הריבוע: (15a + 6b)^2 = 16(a^2 + b^2)