מציאת זווית בין וקטורים במשולש
רמת קושי: קל
בתוך משולש נתונות הנקודות A(3,4,0), B(-4,-2), C(8,-4). מצא את הזווית בין הוקטורים AB ו-AC.
וקטוריםזוויתהנדסה אנליטית
רמז: חשבו את וקטורי AB ו-AC, חישבו את המכפלה הסקלרית, את אורכי הווקטורים, והשתמשו בנוסחה \u05db\u05d5\u05e1\u05d9\u05e0\u05d5\u05e1.
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-81.44 מעלות
1. חשבו את וקטור AB = B - A = (-4 - 3, -2 - 4, 0 - 0) = (-7, -6, 0)
2. חשבו את וקטור AC = C - A = (8 - 3, -4 - 4, 0 - 0) = (5, -8, 0)
3. מכפלה סקלרית: (-7)(5) + (-6)(-8) + (0)(0) = -35 + 48 + 0 = 13
4. אורך AB = שורש(49 + 36 + 0) = שורש 85
5. אורך AC = שורש(25 + 64 + 0) = שורש 89
6. חישוב cos(alpha) = 13 / (שורש 85 * שורש 89)
7. חישוב alpha = ארקקוס של הערך המחושב
8. התוצאה בקירוב: 81.44 מעלות
חישוב שטח משולש בעזרת וקטורים
רמת קושי: בינוני
המשך לתרגיל הקודם, חשב את שטח המשולש ABC באמצעות הווקטורים AB ו-AC.
שטחוקטוריםמשפט סינוס
רמז: השתמש בנוסחה לשטח משולש: חצי כפול מכפלת אורך שני צלעות בסינוס הזווית ביניהן.
פתרון מלא
תשובה סופית: בערך 43 יחידות ריבועיות
1. מהתרגיל הקודם חישבת את alpha כ-81.44 מעלות
2. חישוב sin(alpha) (למשל באמצעות מחשבון)
3. אורך AB = שורש 85
4. אורך AC = שורש 89
5. שטח = 0.5 * שורש 85 * שורש 89 * sin(81.44 אלפא)
6. הערכה נותנת כ-43
חישוב מרחק נקודה מהישר
רמת קושי: מאתגר
מצא את המרחק בין נקודה A(3,4,0) לישר BC, כאשר B(-4,-2,0), C(8,-4,0).
מרחקוקטוריםהנדסה אנליטית
רמז: השתמש בנוסחה המרחק מרובע אריה וקטורית ומכפלה וקטורית אם תרצה, או בנוסחה של מרחק נקודה מישר במישור.
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-7.069 יחידות
1. קבע וקטור BC = C - B = (12, -2, 0)
2. קבע וקטור BA = A - B = (7, 6, 0)
3. חישוב שטח המקביל לווקטורית BA ו-BC (אפשרי דרך מכפלה וקטורית במישור)
4. מרחק = שטח המשולש כפול 2 חלקי אורך BC
5. חישוב לאורך BC = שורש(12^2 + (-2)^2) = שורש 148
6. חישוב המכפלה הווקטורית ואורכה (מתאים לפתרון עם 0 ב-Z)
7. התוצאה מתקרבת ל-7.069 יחידות
מציאת שיפוע ומשוואת קו ישר
רמת קושי: בגרות
נתונה נקודה B(-4,-2) ושיפוע הקו BC, חשב את המשוואה של הישר BC במישור XY.
ישרשיפוענוסחאות
רמז: חשב את השיפוע כהפרש בערכי Y חלקי הפרש בערכי X, ואז השתמש בנוסחת ישר בנקודה ושיפוע.
פתרון מלא
תשובה סופית: x + 6y + 16 = 0
1. חישוב שיפוע BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (-4 + 2) / (8 + 4) = (-2)/12 = -1/6
2. כתיבת משוואת הישר: y - y_B = m (x - x_B)
3. y + 2 = -(1/6)(x + 4)
4. פישוט למשוואה סטנדרטית: 6y + 12 = -x - 4
5. x + 6y + 16 = 0