השיעור סוקר מושגים מרכזיים במרחב תלת־ממדי: מונחות למישור, זוויות בין ישר למישור ובין שני מישורים, וכן משפט שלושת הניצבים המאפשר לקשר בין מאונכות ישרים למישורים.
להבין מונח מונח למישור והשלכותיו
להגדיר זווית בין ישר למישור
להגדיר זווית בין שני מישורים
לזהות מישור ויישום משפט שלושת הניצבים
לפתח מיומנות בניתוח בעיות במרחב
לזכור ולהשתמש במשפטים מיוחדים במרחב
מונחות למישור: הגדרה של מונח למישור כמונח ל־2 ישרים במישור, והסבר על מישור המכיל נורמל למישור אחר, מה שמוביל למישורים מאונכים ולזווית חיתוך בין מישורים (ג'וקר).
זווית בין ישר למישור: הגדרת הזווית בין ישר למישור באמצעות האנך מהנקודה על הישר אל המישור (היטל).
זווית בין שני מישורים: הגדרת הזווית בין שני מישורים באמצעות זווית בין שני אנכים ישר החיתוך במישורים.

תרגול קצר

זווית בין ישר למישור – היטל וניקוד

רמת קושי: קל

ממתין

במרחב נתון ישר שחותך מישור בנקודה. חשב את הזווית בין הישר למישור באמצעות היטל הישר למישור.

זוויתהיטלישר למישור

רמז: מצא את נקודת החיתוך, הורד מהנקודה אנך למישור. הזווית בין הישר להיטל היא התשובה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין הישר למישור היא הזווית בין הישר להיטל שלו במישור.

נזהה את נקודת החיתוך, נוריד אנך מהנקודה למישור ונחשב את הזווית בין הישר להיטל.

זווית בין שני מישורים – חישוב אנכים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונים שני מישורים במרחב עם ישר חיתוך. חשב את הזווית בין שני המישורים על ידי מציאת שני האנכים לישר החיתוך במישורים השונים.

זווית בין מישוריםאנךישר חיתוך

רמז: בחר נקודה על ישר החיתוך, העלה אנכים באותו נקודה במישורים, חשב את הזווית בין האנכים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין שני המישורים היא הזווית בין האנכים לישר החיתוך שהם מיישרים במישורים.

נבחר נקודה על ישר החיתוך, נעלה אנך במישור הראשון, נעלה אנך במישור השני ונמדוד זווית ביניהם.

משפט שלושת הניצבים – הוכחה ויישום

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון ישר במישור המאונך להיטל של משופע. הוכח שהישר גם מאונך למשופע עצמו.

משפט שלושת הניצביםמאונכותמשופע

רמז: נשתמש בהגדרה של היטל ובמאונכות בקטעי ישרים במישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: ישר במישור מאונך להיטל המשופע הוא גם מאונך למשופע עצמו.

אם הישר מאונך להיטל של המשופע, אז הוא מאונך לכל ישר שבמישור שמכיל את ההיטל ולכן גם למשופע.

זווית בין ישר למישור במרחב

רמת קושי: בגרות

ממתין

במרחב נתון מישור ישר ומישור המשופע אליו. נמדוד את הזווית בין ישר למישור באמצעות אנך מהנקודה על הישר אל המישור. כיצד מחשבים את הזווית?

בגרותזוויתישר למישור

רמז: מצא את ההיטל של הישר למישור, הזווית בין הישר להיטל היא התשובה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין ישר למישור מוגדרת כזווית בין הישר להיטל שלו במישור.

היטל הוא הנקודה שמורידה אנך מהישר למישור. הזווית בין הישר להיטל היא כ sought.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית בין שני מישורים במרחב

שימוש באנכים לישר החיתוך

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הזווית בין שני המישורים
נתון 1
שני מישורים במרחב עם ישר חיתוך משותף
נתון 2
נקודה כלשהי על ישר החיתוך
רעיון
הרעיון המרכזי
מעלים אנכים לנקודה על ישר החיתוך בכל מישור, תוך שימוש בהגדרה לזווית בין מישורים
נוסחה
מחברים בין שני האנכים ומודדים את הזווית ביניהם
cosθ = (A1 dot A2) / (magnitude A1 times magnitude A2)cosθ = (A1 ⋅ A2) / (|A1| |A2|)= (A_1 * A_2)/(|A_1| |A_2|)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
התוצאה היא הזווית בין שני המישורים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון: שני מישורים וישר החיתוך

מה עושים

מסמן נקודה על ישר החיתוך בין שני המישורים

למה

ניקוד להתבסס עליו להעלאת אנכים במישורים השונים

בחירת נקודה כלשהי Pi על ישר החיתוך

הנקודה צריכה להיות ברורה לשרטוט ולהעלאת אנכים

בחירת שיטה

העלאת אנך למישור הראשון

מה עושים

מעלה אנך לישר החיתוך במישור הראשון מהנקודה שנבחרה

למה

כדי להגדיר את האנך במישור ולהיעזר בו למדידת זווית

את ההיטל על פי במישור ראשון נקרא אנך A1

ההיטל הוא נקודת היורד במישור הראשון

בחירת שיטה

העלאת אנך למישור השני

מה עושים

מעלה אנך לישר החיתוך במישור השני מהנקודה

למה

לאפשר מדידת הזווית בין האנכים בשני המישורים

האנך במישור השני נקרא A2

האנכים צריכים להיות מהמקום המדויק לנקודה אחת

פתרון

מדידת הזווית בין האנכים

מה עושים

מחברים בין שני האנכים ומודדים את הזווית ביניהם

למה

הזווית בין שני האנכים היא הזווית בין שני המישורים

חישוב הזווית בין וקטורי A1, A2

נוסחה / הצבה

cosθ = (A1 dot A2) / (magnitude A1 times magnitude A2)cosθ = (A1 ⋅ A2) / (|A1| |A2|)= (A_1 * A_2)/(|A_1| |A_2|)

השתמש בוקטוריות או טריגונומטריה לביצוע המדידה

תשובה

קבלת הזווית בין המישורים

מה עושים

התוצאה היא הזווית בין שני המישורים

למה

בהגדרה זו, זווית המישורים היא הזווית בין האנכים לישר החיתוך

מסקנה שניתן להשתמש למדידות ופתרון בעיות במרחב

פתרונות כלליים

זווית בין ישר למישור – היטל וניקוד: נזהה את נקודת החיתוך, נוריד אנך מהנקודה למישור ונחשב את הזווית בין הישר להיטל.
זווית בין שני מישורים – חישוב אנכים: נבחר נקודה על ישר החיתוך, נעלה אנך במישור הראשון, נעלה אנך במישור השני ונמדוד זווית ביניהם.
משפט שלושת הניצבים – הוכחה ויישום: אם הישר מאונך להיטל של המשופע, אז הוא מאונך לכל ישר שבמישור שמכיל את ההיטל ולכן גם למשופע.
זווית בין ישר למישור במרחב: היטל הוא הנקודה שמורידה אנך מהישר למישור. הזווית בין הישר להיטל היא כ sought.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. חזרות במרחב סיכום של החומר החשוב

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הזווית בין שני המישורים

שני מישורים במרחב עם ישר חיתוך משותף

נקודה כלשהי על ישר החיתוך

הרעיון המרכזי

מחברים בין שני האנכים ומודדים את הזווית ביניהם

נבנה משוואה

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון: שני מישורים וישר החיתוך

העלאת אנך למישור הראשון

העלאת אנך למישור השני

מדידת הזווית בין האנכים

קבלת הזווית בין המישורים

פתרונות כלליים