שיעור זה מציג שיטת פתרון לתרגיל בהנדסה אנליטית שבו מסמנים נקודה בצורה פרמטרית, ומבצעים משוואות מרחק במטרה למצוא נקודה על ישר שתנאי מרחקים מסוימים מתקיים.
להבין כיצד לסמן נקודה בצורה פרמטרית בישר
לנסח משוואות מרחק בין נקודות עם סימון פרמטרי
לפתור משוואות ריבועיות בהקשר גאומטרי
לנתח יחסים בין מרחקים ולמצוא פתרונות מתמטיים
להכיר את הקשר בין האלגברה והגאומטריה בהנדסה אנליטית
ציור וסקירת הנתון: חשיבות הסקיצה לצורך הבנת הנתונים ותנאי השאלה.
כתיבת משוואות המרחקים: יצירת משוואות על בסיס המרחק בין נקודות עם תיוג המרחק כ-D ו-2D.
פתרון המשוואות: פישוט המשוואות ופתרונן בעזרת אלגברה ונוסחאות ריבועיות.

תרגול קצר

מציאת נקודה על ישר עם פרמטר T

רמת קושי: קל

ממתין

ניתן ישר שבו נקודה לא ידועה מסומנת כנקודה בפרמטר T כאשר x=T ו-y=2T. המרחק בין נקודה זו לנקודה (2,0) הוא חצי מהמרחק שלה לנקודה (-3,0). מצא את ערכי T.

הנדסה אנליטיתמשוואות מרחקפרמטריםפתרון משוואות ריבועיות

רמז: סמן את המרחק מהמכרה הקרוב יותר כ-D, ואז המרחק למכרה השני יהיה 2D. כתוב משוואות מרחק והעלה בריבוע כדי להיפטר משורשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: T = 1 או T = 7/5

נסמן את הנקודה המבוקשת כ(T,2T). המרחק מהנקודה (2,0) הוא sqrt((T-2)^2 + (2T-0)^2) = D. המרחק מהנקודה (-3,0) הוא sqrt((T+3)^2 + (2T-0)^2) = 2D. נעלה בריבוע ונקבל משוואות: (T-2)^2 + (2T)^2 = D^2 ו-(T+3)^2 + (2T)^2 = 4 D^2. נחסר ונפשט עד לקבלת משוואה לריבוע ב-T ונפתור אותה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודה פרמטרית על ישר לפי יחס מרחקים

פתרון משוואות מרחק עם סימון פרמטרים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי הפרמטר T העונים על שאלה זו
נתון 1
נתון 1
נקודה על הישר עם קואורדינטות x=T, y=2T
נתון 2
נקודות קבועות (2,0) ו-(-3,0)
נתון 3
המרחק מהמכרה הראשון קטן פי 2 מהמכרה השני
רעיון
הרעיון המרכזי
נרשום משוואות מרחק, נסמן מרחק אחד כ-D, ואז נפתור משוואות ריבועיות עבור T.
נוסחה
נחשב מרחק מהנקודה (2,0) כ-D ומהנקודה (-3,0) כ-2D.
D = sqrt((T-2)^2 + (2T)^2)2D = sqrt((T+3)^2 + (2T)^2)
משוואה
נחסיר משוואות ונקבל משוואה לינארית או ריבועית ב-T.
נחסיר משוואות ונקבל משוואה לינארית או ריבועית ב-T.
(T+3)^2 + 4T^2 = 4((T-2)^2 + 4T^2)
פישוט
נסדר את המשוואה ונפתור עבור T.
נסדר את המשוואה ונפתור עבור T.
15 T^2 - 22 T + 5 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

מה עושים

נחשב ושני הפתרונות הם T = 1 ו-T = 7/5.

למה

שני הפתרונות עונים על תנאי השאלה.

שימוש בנוסחת השורשים.

בדקו שכל פתרון הגיוני בקונטקסט הגאומטרי.

פתרונות כלליים

מציאת נקודה על ישר עם פרמטר T: נסמן את הנקודה המבוקשת כ(T,2T). המרחק מהנקודה (2,0) הוא sqrt((T-2)^2 + (2T-0)^2) = D. המרחק מהנקודה (-3,0) הוא sqrt((T+3)^2 + (2T-0)^2) = 2D. נעלה בריבוע ונקבל משוואות: (T-2)^2 + (2T)^2 = D^2 ו-(T+3)^2 + (2T)^2 = 4 D^2. נחסר ונפשט עד לקבלת משוואה לריבוע ב-T ונפתור אותה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית עם סימון נקודה בצורה פרמטרית

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכי הפרמטר T העונים על שאלה זו

נתון 1

נקודות קבועות (2,0) ו-(-3,0)

המרחק מהמכרה הראשון קטן פי 2 מהמכרה השני

הרעיון המרכזי

נחשב מרחק מהנקודה (2,0) כ-D ומהנקודה (-3,0) כ-2D.

נחסיר משוואות ונקבל משוואה לינארית או ריבועית ב-T.

נסדר את המשוואה ונפתור עבור T.

פתרון מפורט

סימון הנקודה הפרמטרית

רישום משוואות המרחק

העלאה בריבוע של המשוואות

הפחתת המשוואות ופישוט

פתרון המשוואה הריבועית

מציאת ערכי T

פתרונות כלליים