MMATH
התחברות

וידאו · הנדסה אנליטית

ו3. אנליטית התנך של האליפסה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
24 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה9. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה10. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ו1. אנליטית האליפסה

וידאו

ו2. אנליטית האליפסה

וידאו

ו3. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו4. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו5. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו6. אנליטית האליפסה רדיוסי וקטור

וידאו

ו7. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו8. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו9. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו10. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו11. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו12. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בהגדרה האנליטית של האליפסה, במאפיינים שלה ובמשוואתה הכללית במישור הקרטזי. נלמדים המוקדים, משוואת האליפסה, והקשר בין הפרמטרים a, b, c.
  • להבין את הגדרת האליפסה כאוסף נקודות שסכום מרחקן ממוקדים הוא קבוע
  • להכיר את המוקדים (foci) של האליפסה
  • להבין את משמעות הפרמטרים a, b, c באליפסה
  • לרשום ולפשט את משוואת האליפסה הכללית במישור הקרטזי
  • להבין את הקשר בין a, b ו-c במשוואה a בריבוע - b בריבוע = c בריבוע
  • הגדרת האליפסה: האליפסה מוגדרת כאוסף של נקודות שסכום המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות (המוקדים) שווה לקבוע חיובי שני a.
  • נסמן את המרחקים ונגדיר את הפרמטרים: נסמן את המרחקים מהמוקדים ונגדיר את הקשרים בין המאפיינים algebraically.
  • המשוואה האנליטית של האליפסה: באמצעות אקווה שימושית מתקבלת המשוואה הכללית של האליפסה במישור הקרטזי בצורת יחסית פשוטה.
  • הקשר בין הפרמטרים: קיים קשר חשוב וקריטי בין a, b ו-c שמאפשר להתייחס למאפיינים השונים של האליפסה.

תרגול קצר

משוואת אליפסה עם פרמטרים נתונים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה אליפסה שהציר הגדול שלה 8 והציר הקטן 6. כתוב את משוואת האליפסה במישור הקרטזי עם מוקדים על ציר x.

אליפסהמשוואהרמת 5 יח״ל

רמז: חישב את a ו-b מחצי האורכים של הצירים, a = 8/2, b = 6/2. ואז השתמש במשוואת האליפסה הכללית.

פתרון מלא

תשובה סופית: x^2/16 + y^2/9 = 1

a=4, b=3. משוואת האליפסה היא x בריבוע חלקי 16 ועוד y בריבוע חלקי 9 שווה 1.

חשב את c ואת מיקום המוקדים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה אליפסה ש-a=5 ו-b=3. חשב את c וכתוב את מיקום המוקדים (foci) במישור הקרטזי אם המוקדים על ציר x.

אליפסהמוקדיםחישובים

רמז: הנוסחה היא c בריבוע = a בריבוע - b בריבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: c=4, מוקדים: (4,0), (-4,0)

c בריבוע = 25 - 9 =16, אז c=4. המוקדים הם (4,0) ו(-4,0).

הוכחת קשר בין a,b,c

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח מבנית כי a בריבוע פחות b בריבוע שווה c בריבוע עבור אליפסה עם מוקדים על ציר x.

אליפסההוכחותקשרים

רמז: התחל מהגדרת המרחקים וממכפלת המשוואות האליפטיות, השתמש בתכונת סכום המרחקים הקבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: a^2 - b^2 = c^2

מוכחים באמצעות ניתוח גאומטרי ושימוש במשוואת המרחקים שיוצרות את האליפסה, שקשר זה חייב להתקיים כדי לשמור על סכום המרחקים הקבוע 2a.

פתרון אליפסה עם נתונים חלקיים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה אליפסה עם מוקדים ב-(3,0) ו-(-3,0) וסכום של המרחקים משתי נקודות הקבועות הוא 8. מצא את משוואת האליפסה.

אליפסהמוקדיםבגרות

רמז: הנקודה c היא 3, וסכום המרחקים הוא 2a=8, לכן a=4. חשב b בעזרת c ו-a.

פתרון מלא

תשובה סופית: x^2/16 + y^2/7 = 1

a=4, c=3, b=\sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}. המשוואה: x^2/16 + y^2/7 = 1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון – מציאת משוואת האליפסה

לימוד תהליך הבנייה של משוואת האליפסה לפי פרמטרים נתונים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא משוואת האליפסה במישור הקרטזי

  2. נתון 1

    מוקד ראשון: (3,0)

  3. נתון 2

    מוקד שני: (-3,0)

  4. נתון 3

    סכום המרחקים משתי נקודות המוקדים הוא 8

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את הפרמטרים a,b,c מהנתונים ונשתמש במשוואת האליפסה הכללית.

  6. נוסחה

    b שווה שורש של a בריבוע פחות c בריבוע

    b = sqrt(a^2 - c^2)b = a^2 - c^2
  7. משוואה

    נחליף את a ו-b במשוואה הכללית

    נחליף את a ו-b במשוואה הכללית

    x^2 / 16 + y^2 / 7 = 1x^(2)/16 + y^(2)/7 = 1(x^(2))/(16) + (y^(2))/(7) = 1
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

המספרים שמייצגים את המוקדים

מה עושים

המוקדים נתונים בנקודות (3,0) ו(-3,0)

למה

הם נקודות המוקד של האליפסה, מגדירות את מיקומה במישור.

c הוא המרחק מהמוקד אל מרכז הצירים, כלומר c=3.

2

זיהוי נתונים

סכום המרחקים הקבוע

מה עושים

הסכום d1+d2 שווה ל-8

למה

הגדרת האליפסה קובעת שסכום המרחקים מכל נקודה לאלו הוא קבוע.

2a = 8 ולכן a = 4.

3

בחירת שיטה

לקשור בין הפרמטרים

מה עושים

נמצא את b מהקשר בין a,c ו-b

למה

הפרמטרים מקושרים במשוואה a^2 - b^2 = c^2

החשיבה מאפשרת להגיע למשוואת האליפסה הצורה האופיינית שלה.

4

בניית משוואה

חישוב b

מה עושים

b שווה שורש של a בריבוע פחות c בריבוע

למה

זו הנוסחה המקשרת את שלושת הפרמטרים.

b = sqrt(16 - 9) = sqrt(7)

נוסחה / הצבה

b = sqrt(a^2 - c^2)b = a^2 - c^2

זכור שחישוב שורש מבוצע לאחר חיסור.

5

פתרון

כתיבת משוואת האליפסה

מה עושים

נחליף את a ו-b במשוואה הכללית

למה

המשוואה מגדירה את האליפסה במישור הקרטזי

x^2 / 16 + y^2 / 7 = 1

נוסחה / הצבה

x^2 / 16 + y^2 / 7 = 1x^(2)/16 + y^(2)/7 = 1(x^(2))/(16) + (y^(2))/(7) = 1

הציבו את הערכים בעזרת הפסיקים כחלוקה.

6

תשובה

משוואת האליפסה הסופית

מה עושים

משוואת האליפסה היא x בריבוע חלקי 16 ועוד y בריבוע חלקי 7 שווה 1

למה

זו הצורה הסטנדרטית של המשוואה עם הנתונים המסופקים

x^2/16 + y^2/7 = 1

פתרונות כלליים

  • משוואת אליפסה עם פרמטרים נתונים: a=4, b=3. משוואת האליפסה היא x בריבוע חלקי 16 ועוד y בריבוע חלקי 9 שווה 1.
  • חשב את c ואת מיקום המוקדים: c בריבוע = 25 - 9 =16, אז c=4. המוקדים הם (4,0) ו(-4,0).
  • הוכחת קשר בין a,b,c: מוכחים באמצעות ניתוח גאומטרי ושימוש במשוואת המרחקים שיוצרות את האליפסה, שקשר זה חייב להתקיים כדי לשמור על סכום המרחקים הקבוע 2a.
  • פתרון אליפסה עם נתונים חלקיים: a=4, c=3, b=\sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}. המשוואה: x^2/16 + y^2/7 = 1.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.