MMATH
התחברות

וידאו · הנדסה אנליטית

ו11. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
32 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ו7. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו8. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו9. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו10. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו11. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו12. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ז1. אנליטית הפרבולה

וידאו

ז2. אנליטית התנך של הפרבולה

וידאו

ז3. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז4. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז5. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז6. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז7. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז8. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • הסבר מפורט לפתרון תרגיל באליפסה באנליטית: המרת משוואת אליפסה לצורה סטנדרטית, חישוב פרמטרים בסיסיים, והוכחה שלא קיימת נקודה בה זווית המוקדים היא 90 מעלות.
  • לזהות ולהמיר משוואת אליפסה לצורה סטנדרטית
  • לחבר ולהסביר פרמטרים של אליפסה: a, b, c, מוקדים
  • להוכיח באמצעות אנליזה וקטורית ואלגברית תכונה גאומטרית של האליפסה
  • להשתמש במשוואת האליפסה ובוקטור DOT לפתרון בעיות גאומטריות
  • צורה סטנדרטית של האליפסה: המרת המשוואה לסדר ולפישוט כדי לזהות פרמטרים של האליפסה.
  • חישוב מוקדי האליפסה: חישוב c והגדרת המוקדים לפי a וגם החלים עבור אליפסה אופקית.
  • הוכחה שזווית בין המוקדים אינה 90 מעלות: הראייה שהזווית שנוצרת מנקודה על האליפסה בין שני המוקדים לעולם אינה זווית ישרה.

תרגול קצר

המרת משוואת אליפסה לצורה סטנדרטית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה האליפסה: 9x² + 16y² = 144, המר אותה לצורה x²/a² + y²/b² = 1 וחשב את a ו-b.

המרת משוואותאליפסהגאומטריה אנליטית

רמז: חלקו את כל המשוואה ב-144 כדי לקבל 1 בצד ימין.

פתרון מלא

תשובה סופית: x²/16 + y²/9 = 1, a=4, b=3

חלקו את המשוואה ב-144: (9x²)/144 + (16y²)/144 = 1 פשטו: x²/16 + y²/9 = 1 a²=16 ואז a=4 b²=9 ואז b=3

חישוב מוקדי אליפסה

רמת קושי: בינוני

ממתין

לאליפסה x²/16 + y²/9 = 1, חשב את ערך c והצביע על מיקומי המוקדים.

מוקדיםאליפסהחישובים

רמז: השתמש בנוסחה c² = a² - b², תוך בחירת a כגדול מבין 4 ו-3.

פתרון מלא

תשובה סופית: c = sqrt(7), מוקדים: (√7,0), (-√7,0)

a²=16, b²=9 c² = 16 - 9 = 7 c = sqrt(7) המוקדים הם בנקודות (sqrt(7),0) ו(-sqrt(7),0)

הוכחה שאין זווית 90 מעלות בנקודות אליפסה בין המוקדים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח בנקודה t,k על האליפסה כי הזווית בין הקטעים אל המוקדים אינה 90 מעלות.

הוכחה מתמטיתוקטוריםאליפסהזוויות

רמז: חשב את מכפלת השיפועים בין שני המוקדים לנקודה ובדוק אם היא שווה ל- -1.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין נקודה על האליפסה בה הזווית בין המוקדים 90 מעלות

המשוואה: t²/16 + k²/9=1 מוקדים: (√7,0) ו(-√7,0) שיפוע בין נקודה D1: (t - √7), k שיפוע בין נקודה D2: (t + √7), k מכפלת שיפועים היא (k/(t - √7))*(k/(t + √7)) = k²*(1/(t² -7)) לפי המשוואה האליפטית k² = 9(1 - t²/16) מכפלת השיפועים לעולם לא תשתווה -1, כלומר אין זווית ישרה

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אליפסה ומוקדים

הוכחה שאין זווית ישרה בין המוקדים מנקודה על האליפסה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכחה שזווית בין המוקדים מנקודה כלשהי על האליפסה אינה 90°

  2. נתון 1

    נתון 1

    משוואת האליפסה x²/16 + y²/9 = 1
  3. נתון 2

    נתון 2

    a=4, b=3
  4. נתון 3

    מוקדים בנקודות (√7,0) ו(-√7,0)

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחשב שיפועי הקטעים מנקודה כלשהי לנקודות המוקדים, להראות שמכפלת השיפועים אינה -1, ולכן הזווית

  6. נוסחה

    מכפלת השיפועים היא k²/(t² - 7).

    s1 = k / (t - root7)s2 = k / (t + root7)s1 * s2 = k^2 / (t^2 - 7)
  7. משוואה

    יש לנו את המשוואה x²/16 + y²/9 = 1 ואת המוקדים (√7,0) ו(-√7,0).

    יש לנו את המשוואה x²/16 + y²/9 = 1 ואת המוקדים (√7,0) ו(-√7,0).

  8. פישוט

    נבדוק האם k²/(t² -7) = -1 מתקיים כשהנקודה על האליפסה.

    נבדוק האם k²/(t² -7) = -1 מתקיים כשהנקודה על האליפסה.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

משוואת האליפסה והמוקדים

מה עושים

יש לנו את המשוואה x²/16 + y²/9 = 1 ואת המוקדים (√7,0) ו(-√7,0).

למה

האליפסה מוגדרת במערכת הצירים עם מוקדים אלה.

אנו מתבססים על משוואת האליפסה הסטנדרטית וערכי a,b,c.

2

בחירת שיטה

חישוב שיפועים מהנקודה למוקדים

מה עושים

נסמן נקודה על האליפסה (t,k), ונחשב שיפועי הקטעים ל-(√7,0) ול-(-√7,0).

למה

שיפועי הקטעים מאפשרים לבדוק אם הזווית ביניהם 90 מעלות.

שיפוע בין שתי נקודות הוא שינוי y חלקי שינוי x.

3

בניית משוואה

מכפלת שיפועים בין הוקטורים

מה עושים

מכפלת השיפועים היא k²/(t² - 7).

למה

זו המכפלה בין שיפועי הקטעים לבדיקה אם היא שווה ל- -1.

מכפלת השיפועים (s1 * s2) = k² / (t² - 7).

נוסחה / הצבה

s1 = k / (t - root7)s2 = k / (t + root7)s1 * s2 = k^2 / (t^2 - 7)

כדי שהזווית תהיה 90 מעלות, המוצר צריך להיות -1.

4

פתרון

בדיקת תנאי זווית ישרה

מה עושים

נבדוק האם k²/(t² -7) = -1 מתקיים כשהנקודה על האליפסה.

למה

אם התנאי מתקיים, תהיה זווית 90 מעלות, אחרת אין כזו.

משני תנאי האליפסה והזווית מגלים שאי אפשר לקבל שוויון זה.

5

תשובה

סיום ההוכחה

מה עושים

מכיוון שלא מתקיים התנאי, לא קיימת נקודה על האליפסה עם זווית 90 מעלות בין המוקדים.

למה

המשמעות הגאומטרית היא שאין זווית ישרה כזו.

הראינו אלגברית כי הזווית בין הקטעים מהנקודה למוקדים אינה 90 מעלות.

פתרונות כלליים

  • המרת משוואת אליפסה לצורה סטנדרטית: חלקו את המשוואה ב-144: (9x²)/144 + (16y²)/144 = 1 פשטו: x²/16 + y²/9 = 1 a²=16 ואז a=4 b²=9 ואז b=3
  • חישוב מוקדי אליפסה: a²=16, b²=9 c² = 16 - 9 = 7 c = sqrt(7) המוקדים הם בנקודות (sqrt(7),0) ו(-sqrt(7),0)
  • הוכחה שאין זווית 90 מעלות בנקודות אליפסה בין המוקדים: המשוואה: t²/16 + k²/9=1 מוקדים: (√7,0) ו(-√7,0) שיפוע בין נקודה D1: (t - √7), k שיפוע בין נקודה D2: (t + √7), k מכפלת שיפועים היא (k/(t - √7))*(k/(t + √7)) = k²*(1/(t² -7)) לפי המשוואה האליפטית k² = 9(1 - t²/16) מכפלת השיפועים לעולם לא תשתווה -1, כלומר אין זווית ישרה
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.