שיעור בנושא מציאת קטרים של אליפסה באמצעות גאומטריה אנליטית ווקטורים, כולל חישוב שיפועים, זוויות בזמן קירוב והצגת שיטות המתאימות לפתרון תרגיל בשיטת וקטורים.
להבין כיצד מייצגים ישרים במישור באמצעות שיפועים ווקטורים
לחשב את מערכת המשוואות המתארת קווים ישרים במישור כהקטרים של אליפסה
להשתמש בקשר בין שיפועים של ישרים במישור ובזווית ביניהם
ליישם חישובי זוויות באמצעות מכפלת סקלרית בין וקטורים
לפתור משוואות ריבועיות המתארות את השיפועים המתאימים
לפענח תוצאות ולבחור מהתוצאות את הפתרונות המתאימים לפי ההקשר הגאומטרי
מבוא לאליפסה ולקטרים: הגדרה בסיסית של קטרים כסימונים גאומטריים המסמנים נקודות על האליפסה שממנו נלמד כיצד למצוא אותם
ייצוג ישרים ווקטורים: שיפוע מתואר כוקטור אחד עם רכיבי 1 ו-m למעלה על מנת להיעזר במכפלה סקלרית לחישוב זוויות
משוואות מרכזיות ויחסים בין שיפועים: חישוב המכפלה בין שני השיפועים והקשר למושג מינוס ריבועי של b חלקי ריבועי של a

תרגול קצר

מיצוי שיפועים מקטרים של אליפסה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה אליפסה עם חצי ציר a ו-b. מצא את השיפועים m1 ו-m2 של שני הקטרים, כאשר המכפלה m1*m2 שווה להפוך המינוס של (b^2)/(a^2), והזווית ביניהם היא 45 מעלות.

אליפסהשיפועיםוקטוריםכיתה י-יב

רמז: השתמש במכפלה סקלרית של וקטורים (1, m1) ו-(1, m2) לחישוב הקוסינוס של הזווית ביניהם, ועבור בקשר בין m1 ו-m2 דרך פישוט משוואה דיגונלית.

פתרון מלא

תשובה סופית: m1 יכול להיות חצי או שליש, ו-m2 בהתאמה מינוס שליש או מינוס חצי.

נגדיר וקטורים v1 = (1, m1) ו-v2 = (1, m2). הקשר: m1 * m2 = - b^2 / a^2. הזווית 45 => cos(45) = שורש 2 חלקי 2. מכפלה סקלרית: |v1•v2| / (|v1| |v2|) = cos(45). הצבת ביטויים, המשוואה מתפשטת למעלה מעלה במונחים של m1 וצמצום, בחירת m2 כפונקציה של m1. פתרון המשוואה הרביעית ובחירת הפתרונות הגיאומטריים סבירים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון תרגיל קטרי האליפסה

איתור שיפועי הקטרים במישור

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שיפועי הקטרים m1 ו-m2
נתון 1
a - חצי ציר גדול באליפסה
נתון 2
b - חצי ציר קטן באליפסה
נתון 3
הקטרים עוברים בראשית הצירים
רעיון
הרעיון המרכזי
לייצג את הקטרים כוקטורים (1,m), ולהשתמש במכפלה סקלרית לחישוב הזווית ולאתר את m1 ו-m2 בתנאים
נוסחה
הצב m1*m2 = - (b^2)/(a^2)
m1 כפול m2 שווה למינוס b בריבוע חלקי a בריבועm1 * m2 = - b^2 / a^2m_1 m_2 = - (b^2)/(a^2)
משוואה
חישוב המכפלה |v1•v2| / (|v1| |v2|) = cos 45
חישוב המכפלה |v1•v2| / (|v1| |v2|) = cos 45
ערך מוחלט של סכום המכפלות חלקי מכפלת אורכי הוקטורים שווה לשורש 2 חלקי 2abs(1*m1+ 1*m2) / (sqrt(1+ m1^2) * sqrt(1
פישוט
הובלת המשוואה לצורת ריבוע במשתנה m ופתרון משוואה רביעית
הובלת המשוואה לצורת ריבוע במשתנה m ופתרון משוואה רביעית
נליים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת יחס השיפועים

מה עושים

הצב m1*m2 = - (b^2)/(a^2)

למה

קשר חשוב המגדיר את יחס השיפועים בקטרי האליפסה

מכפלת השיפועים שווה למינוס היחס הריבועי בין b ל-a

נוסחה / הצבה

m1 כפול m2 שווה למינוס b בריבוע חלקי a בריבועm1 * m2 = - b^2 / a^2m_1 m_2 = - (b^2)/(a^2)

שמרו על סימני המינוס בביטוי

זיהוי נתונים

הזווית בין הקטרים

מה עושים

הזווית בין הקטרים היא 45 מעלות

למה

210 יגדירו מיתרים של שני ישרים במישור

משמעות הזווית היא שכפול המכפלה הסקלרית מעיד על cos45

נוסחה / הצבה

קוסינוס 45 מעלות שווה לשורש 2 חלקי 2cos 45 = שורש 2 חלקי 245^() = (2)/(2)

הקוסינוס הוא מדד לקירבה הבין הכיוונית

בחירת שיטה

ייצוג וקטורי של השיפועים

מה עושים

ייצג את הקטרים כוקטורים v1 = (1, m1) ו-v2 = (1, m2)

למה

וקטור מאפשר לחשב מכפלה סקלרית וקוסינוס זווית בקלות

שיפוע m מתורגם לוקטור (1,m) בכיוון הישר

נוסחה / הצבה

וקטור שיפוע הוא זוג הרכיבים 1 ו-mv = (1, m)

זכור שמכפלת וקטורים נותנת קוסינוס הזווית ביניהם

בניית משוואה

נוסחה למכפלה הסקלרית

מה עושים

חישוב המכפלה |v1•v2| / (|v1| |v2|) = cos 45

למה

זו הדרישה לזווית ספציפית בין הקטרים

המכפלה הסקלרית שווה לסכום מכפלת הרכיבים והרדיוס מחושב משורש ריבוע הרכיבים

נוסחה / הצבה

ערך מוחלט של סכום המכפלות חלקי מכפלת אורכי הוקטורים שווה לשורש 2 חלקי 2abs(1*m1+ 1*m2) / (sqrt(1+ m1^2) * sqrt(1

שימוש במכפלה סקלרית בשני הצדדים

פתרון

פישוט ופתרון משוואה לריבועי m

מה עושים

הובלת המשוואה לצורת ריבוע במשתנה m ופתרון משוואה רביעית

למה

שימוש במשוואות אלגבריות מאפשר לבודד את ערכי m1 ו-m2

החלפה של m2 כפונקציה של m1 ופתרון משוואה בשלב הבא

נוסחה / הצבה

פתרון למשוואה רביעית במונחי m1 וריכוז על מציאת שורשים רציונליים

השתמש בהחלפת משתנים ובפישוט סימטרי

תשובה

בחירת שיפועים סופיים

מה עושים

קבלת פתרונות m1 = חצי או שליש, ו-m2 = מינוס שליש או מינוס חצי

למה

בחירת הפתרונות המאפשרים לייצר קטרים אליפטיים לפי התנאים

יש לבדוק את התאמת הפתרונות במונחים גאומטריים ולבחור את הזוגות המתאימים

נוסחה / הצבה

m1 = 1/2 או 1/3, m2 = -1/3 או -1/2

נבחר את הפתרונות הריאליים המשתלבים עם הזווית 45 מעלות

פתרונות כלליים

מיצוי שיפועים מקטרים של אליפסה: נגדיר וקטורים v1 = (1, m1) ו-v2 = (1, m2). הקשר: m1 * m2 = - b^2 / a^2. הזווית 45 => cos(45) = שורש 2 חלקי 2. מכפלה סקלרית: |v1•v2| / (|v1| |v2|) = cos(45). הצבת ביטויים, המשוואה מתפשטת למעלה מעלה במונחים של m1 וצמצום, בחירת m2 כפונקציה של m1. פתרון המשוואה הרביעית ובחירת הפתרונות הגיאומטריים סבירים.

הפריט הקודם הפריט הבא

ו10. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שיפועי הקטרים m1 ו-m2

a - חצי ציר גדול באליפסה

b - חצי ציר קטן באליפסה

הקטרים עוברים בראשית הצירים

הרעיון המרכזי

הצב m1*m2 = - (b^2)/(a^2)

חישוב המכפלה |v1•v2| / (|v1| |v2|) = cos 45

הובלת המשוואה לצורת ריבוע במשתנה m ופתרון משוואה רביעית

פתרון מפורט

הגדרת יחס השיפועים

הזווית בין הקטרים

ייצוג וקטורי של השיפועים

נוסחה למכפלה הסקלרית

פישוט ופתרון משוואה לריבועי m

בחירת שיפועים סופיים

פתרונות כלליים