שיעור בנושא פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית המתמקד בפרבולה, בשימוש בסימטריה ובמשולש ישר זווית שווה שוקיים לניתוח נקודות על הפרבולה וחישוב שיפועים.
להבין את סימטריית הנקודות על פרבולה בהקשר של מרחקים שווים מהראשית
לזהות ולהשתמש במשולש ישר זווית שווה שוקיים ככלי לפתירת תרגילי פרבולה
להכיר את הקשר בין טאנגנס זווית לשיפוע הישר
ללמוד לכתוב ולהשתמש במשוואות מתמטיות לתיאור נקודות על פרבולה
הקדמה והצגת הבעיה: המשימה היא לנתח פרבולה שעליה משולש ישר זווית שווה שוקיים, תוך התמקדות בנקודות סימטריות ויישום תכונות של סימטריה ומשולשים ישרי זווית.
זיהוי נקודות על הפרבולה ושימוש בשיפוע: נקודת ה-T מוגדרת בערכים מסוימים על ציר ה-Y, עם חישוב שיפועים באמצעות טנגנס הזווית, וכיצד להשתמש בתיכון להשוואות בין אורך הצלעות.

תרגול קצר

מציאת נקודות סימטריות על פרבולה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פרבולה y = x^2 / 5. מצא שתי נקודות על הפרבולה שהן סימטריות ביחס לציר ה-Y, כאשר ה-X שלהם הם T ושלילי T, בהתחשב בתכונות סימטריה של הפרבולה.

פרבולהסימטריהנקודות

רמז: זכור שהפרבולה סימטרית לגבי ציר ה-Y, ולכן ערכי ה-y יהיו זהים עבור x ו-(-x).

פתרון מלא

תשובה סופית: (T, T^2 / 5) ו-(-T, T^2 / 5)

נציב x = T ו-x = -T במשוואת הפרבולה y = x^2 / 5 ונמצא y для שתי הנקודות, הן יהיו y = T^2 / 5. לכן הנקודות הן (T, T^2/5) ו(-T, T^2/5).

חישוב שיפוע של ישר המחבר בין נקודות פרבולה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונות שתי נקודות על הפרבולה: A = (T, T^2 / 5) ו-B = (0, 0). חשב את השיפוע של הישר המחבר ביניהן עבור ערך כלשהו של T.

שיפועפרבולהנקודות

רמז: השיפוע מחושב על ידי (y2 - y1) חלקי (x2 - x1).

פתרון מלא

תשובה סופית: m = T / 5

m = (T^2 / 5 - 0) / (T - 0) = (T^2 / 5) / T = T / 5.

מציאת ערך T בהתחשב בשיפוע ועל ידי זווית של 30 מעלות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון כי הטאנגנס של הזווית בין הישר המחבר בין שתי נקודות על הפרבולה וציר ה-X הוא tan(30°) = שורש 3 חלקי 3. מצא את ערך T המתאים לכך.

שיפועטאנגנסהנדסה אנליטית

רמז: השתמש בנוסחה לשיפוע וחשב שווה לטאנגנס 30°.

פתרון מלא

תשובה סופית: T = 5√3 / 3

טאנגנס 30° = √3 / 3. שיפוע הישר הוא m = T / 5 לפי התרגיל הקודם. לכן: T / 5 = √3 / 3. לכן T = 5 * (√3 / 3).

פתרון תרגיל פרבולה ומשולש ישר זווית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פרבולה y = x^2 / 5. עליה נקודות T = (t, t^2 / 5) ו-T' = (-t, t^2 / 5). א. הוכח שהמשולש T, T', ו-(0,0) הוא שווה שוקיים ושהזווית בין הצלעות היא 45 מעלות. ב. מצא את הערך t כך שהשיפוע של הישר OT יהיה tan 30°.

בגרותפרבולהמשולש ישר זוויתשיפועטאנגנס

רמז: א. נסה להשוות אורכי הצלעות ולהשתמש בטענה לגבי זוויות במשולש. ב. חשב את השיפוע והציב בשוויון עם tan 30°.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. המשולש שווה שוקיים והזווית 45 מעלות. ב. t = 5√3 / 3

א. משולש T,T',(0,0) שווה שוקיים כי T ו-T' סימטריות לגבי ציר ה-Y ולכן הבסיס שווה, והזוויות חישוביות כ-45 מעלות לפי משולש ישר זווית שווה שוקיים. ב. השיפוע m = t / 5. לפי tan 30° = √3 / 3, נקבל t = 5√3 / 3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל פרבולה ומשולש שווה שוקיים

חישוב נקודת T וערך t בהתחשב בזווית

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מצא את ערך t כך שהשיפוע של הישר OT יהיה tan(30°)
נתון 1
נתון 1
פרבולה y = x² / 5
נתון 2
נתון 2
נקודות T = (t, t²/5) ו-T' = (-t, t²/5)
נתון 3
נתון 3
tan(30°) = √3 / 3
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את השיפוע בין הנקודה T לראשית (0,0) ונשווה לטאנגנס של 30 מעלות כדי לקבל משוואה לפתרון t.
נוסחה
m = (t²/5 - 0) / (t - 0) = t / 5.
m = t / 5m = (t)/(5)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מכיוון m = tan(30°), נקבל t / 5 = √3 / 3 ולכן t = 5 * √3 / 3.
מכיוון m = tan(30°), נקבל t / 5 = √3 / 3 ולכן t = 5 * √3 / 3.
t = 5 * sqrt(3) / 3t = (53)/(3)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פרבולה ונקודות על הפרבולה

מה עושים

הפרבולה נתונה y = x² / 5 והנקודות T ו-T' הן (t, t²/5) ו(-t, t²/5) בהתאמה.

למה

הנקודות הן סימטריות לגבי ציר ה-Y והנוסחה מתארת את הפרבולה.

בחירת שיטה

חישוב שיפוע OT

מה עושים

נחשב שיפוע הישר העובר דרך (0,0) ו-(t, t²/5).

למה

השיפוע מייצג את הטאנגנס של הזווית בין הישר לציר ה-X.

בניית משוואה

נוסחה לשיפוע

מה עושים

m = (t²/5 - 0) / (t - 0) = t / 5.

למה

מוגדר שיפוע כירידה חלקי שינוי במאונך והאופקי.

שיפוע m

נוסחה / הצבה

m = t / 5m = (t)/(5)

פתרון

השוואת השיפוע לטאנגנס 30°

מה עושים

מכיוון m = tan(30°), נקבל t / 5 = √3 / 3 ולכן t = 5 * √3 / 3.

למה

כדי למצוא את הערך t התואם את הזווית הנתונה.

נוסחה / הצבה

t = 5 * sqrt(3) / 3t = (53)/(3)

תשובה

ערך t המבוקש

מה עושים

t = 5√3 / 3.

למה

זה הערך satisfying את תנאי הזווית וטאנגנס שלה.

פתרונות כלליים

מציאת נקודות סימטריות על פרבולה: נציב x = T ו-x = -T במשוואת הפרבולה y = x^2 / 5 ונמצא y для שתי הנקודות, הן יהיו y = T^2 / 5. לכן הנקודות הן (T, T^2/5) ו(-T, T^2/5).
חישוב שיפוע של ישר המחבר בין נקודות פרבולה: m = (T^2 / 5 - 0) / (T - 0) = (T^2 / 5) / T = T / 5.
מציאת ערך T בהתחשב בשיפוע ועל ידי זווית של 30 מעלות: טאנגנס 30° = √3 / 3. שיפוע הישר הוא m = T / 5 לפי התרגיל הקודם. לכן: T / 5 = √3 / 3. לכן T = 5 * (√3 / 3).
פתרון תרגיל פרבולה ומשולש ישר זווית: א. משולש T,T',(0,0) שווה שוקיים כי T ו-T' סימטריות לגבי ציר ה-Y ולכן הבסיס שווה, והזוויות חישוביות כ-45 מעלות לפי משולש ישר זווית שווה שוקיים. ב. השיפוע m = t / 5. לפי tan 30° = √3 / 3, נקבל t = 5√3 / 3.

הפריט הקודם הפריט הבא

ז5. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מצא את ערך t כך שהשיפוע של הישר OT יהיה tan(30°)

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

m = (t²/5 - 0) / (t - 0) = t / 5.

נבנה משוואה

מכיוון m = tan(30°), נקבל t / 5 = √3 / 3 ולכן t = 5 * √3 / 3.

פתרון מפורט

פרבולה ונקודות על הפרבולה

חישוב שיפוע OT

נוסחה לשיפוע

השוואת השיפוע לטאנגנס 30°

ערך t המבוקש

פתרונות כלליים