שיעור על מציאת המועדון הגיאומטרי של נקודות ששוות מרחק משני ישרים לא מקבילים, באמצעות שוויון מרחקי נקודה מהישרים והבנת חוצי הזווית ביניהם.
להבין את מושג מקום גיאומטרי בהקשר של מרחקים מישרים
לחשב מרחק של נקודה מישר במשוואה כללית
לפתור משוואה שמבוססת על שוויון מרחקים מנקודה לשני ישרים
להבין את הקשר בין חוצה זווית ושני ישרים ניצבים
הצגת הבעיה: ניתן שני ישרים לא מקבילים, ויש למצוא את קבוצת הנקודות השוות במרחקן משני הישרים.
חישוב המרחק מנקודה לישר: זכירת נוסחת המרחק מנקודה לישר במישור דרך משוואת ישר בצורה עצמאית.
כתיבת משוואה למרחק שווה: הצגת המשוואה שבה המרחק מנקודה לשני הישרים שווה.
פישוט המשוואה: הסרת ערכי מוחלט ופתרון המשוואה לשתי אופציות בהתאם.
מסקנות גיאומטריות: המסקנה היא שמקום הגיאומטרי הוא שני ישרים, שהם חוצי זווית בין הישרים הנתונים, והם ניצבים.

תרגול קצר

מצא את מקום הגיאומטרי לנקודות ששוות מרחק משני ישרים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים הישרים 3x + 4y = 10 ו-4x + 3y = 15. מצא את קבוצת כל הנקודות שמרחקן מהישר הראשון שווה למרחקן מהישר השני.

הנדסה אנליטיתמקומות גיאומטרייםמרחק מנקודה לישרחישוב מרחקפישוט משוואות

רמז: השתמש בנוסחה למרחק מנקודה לישר, וכתוב משוואה שבה המרחקים שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: המקום הגיאומטרי הוא שני ישרים: t - k = 2 ו- t + k = 27/7.

נסמן את הנקודה (t,k). המרחק מהישר 4t + 3k - 12 שווה לערך מוחלט של הביטוי, חלקי שורש (4^2 + 3^2). המרחק מהישר 3t + 4k -10 שווה לערך מוחלט של הביטוי, חלקי שורש (3^2 + 4^2). שוויון המרחקים ייתן משוואה ליניארית עם שני פתרונות אפשריים. לפתור משוואה זו תקבל שני ישרים: t - k = 2 ו- 7t + 7k = 27.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: מקום גיאומטרי של נקודות שוות מרחק משני ישרים

מקום כל הנקודות שהמרחק שלהן מ-3x+4y=10 שווה למרחק מ-4x+3y=15

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את המקום הגיאומטרי של הנקודות (x,y) שמרחקן מהישר הראשון שווה למרחקן מהישר השני.
נתון 1
נתון 1
ישר ראשון: 3x + 4y = 10
נתון 2
נתון 2
ישר שני: 4x + 3y = 15
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את המרחק מנקודה לכל ישר ולכתוב את שוויון המרחקים, לפשט ולקבל משוואות ישרים.
נוסחה
לכתוב שהמרחק מהישר הראשון שווה למרחק מהישר השני.
absolute value of (3t+ 4k- 10)= absolute value of (4t+ 3k
משוואה
לפרק את שוויון הערכים המוחלטים לשתי משוואות אפשריות.
לפרק את שוויון הערכים המוחלטים לשתי משוואות אפשריות.
פישוט
לפשט ולקבל את שני הישרים שמייצגים את המקום הגיאומטרי.
לפשט ולקבל את שני הישרים שמייצגים את המקום הגיאומטרי.
תוצאה
מסיימים בתשובה
המקום הגיאומטרי הוא האיחוד של שני הישרים שהתקבלו.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים של הישרים הניתנים

מה עושים

ישר ראשון: 3x + 4y = 10; ישר שני: 4x + 3y = 15

למה

לזהות את שני הישרים שמהם נמדד המרחק.

נגדיר נקודה כללית (t,k) במישור.

בחירת שיטה

שוויון מרחק מנקודה לישר

מה עושים

לחשב את המרחק מנקודה לישר דרך הנוסחה.

למה

כי מרחק מנקודה לישר מנוסח בצורה של ערך מוחלט חלקי שורש סכום ריבועים.

נשתמש בנוסחה D = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2).

נוסחה / הצבה

D1 = absolute value of (3t + 4k - 10) / 5D2 = absolute value of (4t + 3k - 15) / 5נסמן את הנקודה (t,k). המרחק מהישר הראשון הוא |3t+ 4k- 10|/5. המרחק מהישר השני הוא |4t

בניית משוואה

כתיבת משוואת שוויון המרחקים

מה עושים

לכתוב שהמרחק מהישר הראשון שווה למרחק מהישר השני.

למה

כי מקום גיאומטרי הוא כל הנקודות שמקיימות את השוויון בין המרחקים.

|3t + 4k - 10|/5 = |4t + 3k - 15|/5

נוסחה / הצבה

absolute value of (3t+ 4k- 10)= absolute value of (4t+ 3k

פתרון

פתירת המשוואה עם ערכי מוחלט

מה עושים

לפרק את שוויון הערכים המוחלטים לשתי משוואות אפשריות.

למה

ערך מוחלט שווה משמעותו שתי אפשרויות: הפנים שווים או הפנים הפוכים בסימן.

המשוואות הן 3t + 4k - 10 = 4t + 3k - 15 או 3t + 4k - 10 = -(4t + 3k - 15).

פתרון

פישוט וקבלת ישרים

מה עושים

לפשט ולקבל את שני הישרים שמייצגים את המקום הגיאומטרי.

למה

כל אופציה מייצגת ישר שנמצא במיקום המתאים.

מהמשוואה הראשונה נקבל t - k = 5; מהשנייה 7t + 7k = 25

תשובה

מקום גיאומטרי הכולל שני ישרים

מה עושים

המקום הגיאומטרי הוא האיחוד של שני הישרים שהתקבלו.

למה

נקודות המקיימות את שוויון המרחק הן על שני הישרים האלה.

שני הישרים הם t - k = 5 ו-t + k = 25/7 (פישוט יחסית לערכים).

פתרונות כלליים

מצא את מקום הגיאומטרי לנקודות ששוות מרחק משני ישרים: נסמן את הנקודה (t,k). המרחק מהישר 4t + 3k - 12 שווה לערך מוחלט של הביטוי, חלקי שורש (4^2 + 3^2). המרחק מהישר 3t + 4k -10 שווה לערך מוחלט של הביטוי, חלקי שורש (3^2 + 4^2). שוויון המרחקים ייתן משוואה ליניארית עם שני פתרונות אפשריים. לפתור משוואה זו תקבל שני ישרים: t - k = 2 ו- 7t + 7k = 27.

הפריט הקודם הפריט הבא

ח2. מקומות גיאומטריים

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את המקום הגיאומטרי של הנקודות (x,y) שמרחקן מהישר הראשון שווה למרחקן מהישר השני.

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

לכתוב שהמרחק מהישר הראשון שווה למרחק מהישר השני.

לפרק את שוויון הערכים המוחלטים לשתי משוואות אפשריות.

לפשט ולקבל את שני הישרים שמייצגים את המקום הגיאומטרי.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתונים של הישרים הניתנים

שוויון מרחק מנקודה לישר

כתיבת משוואת שוויון המרחקים

פתירת המשוואה עם ערכי מוחלט

פישוט וקבלת ישרים

מקום גיאומטרי הכולל שני ישרים

פתרונות כלליים