MMATH
התחברות

וידאו · הנדסה אנליטית

ח5. מקומות גיאומטריים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
49 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ח1. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח2. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח3. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח4. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח5. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח6. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח7. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח8. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח9. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח11. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח12. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח13. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח14. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח15. מקומות גיאומטריים

סיכום שיעור

  • הدرس עוסק במציאת המקום הגיאומטרי של נקודות עבורן אורך המשיק למעגל שווה למרחק מהנקודה, תוך שימוש במשוואות מרחק ובפישוט אלגברי.
  • להבין את תנאי המקום הגיאומטרי במעגל ובנקודה חיצונית
  • לייצג את התנאי באמצעות משוואות מרחק
  • לפתור משוואות שמכילות שורש ומבצעים פישוט אלגברי
  • לזהות קשרים בין ביטויים גאומטריים לאלגבריים
  • לתרגל ייצוג והבנה של תנאי שוויון מרחק במישור
  • הצגת הבעיה: מציאת נקודות שמקיימות את התנאי שאורך המשיק מהן למעגל שווה למרחקן מנקודה נתונה.
  • יצירת ביטוי לתנאי: הגדרת מרחקים מהנקודות למעגל ולנקודה והשוואתם.
  • פישוט אלגברי: פתרון המשוואה על ידי פישוט והסרה של השורש

תרגול קצר

תנאי מקום גיאומטרי עבור משיק למעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מעגל במשוואה (X+1)^2+(Y+2)^2=25 ונקודה P(-1,-2). מצא את המקום הגיאומטרי של נקודות M(T,K) כך שאורך המשיק מהמקום לגבול המעגל שווה למרחקה של M מהנקודה P.

הנדסה אנליטיתמרחקמשוואת מעגלמשיקמקום גיאומטרי

רמז: השתמש במשוואת המרחק בין נקודות ובין נקודה למעגל, וכי אפשר לרבע את שני הצדדים כדי לפשט את הביטוי.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5T + 4K = 10

נסמן נקודה כללית M(T,K). המרחק מהמעגל הוא אורך המשיק שמתחלק לפי המרחק למרכז המעגל והרדיוס. המרחק מנקודה לנקודה הוא sqrt((T+1)^2+(K+2)^2). המשוואה למרחק שווה למרחק מנקודה היא: sqrt((T+1)^2+(K+2)^2) - 5 = sqrt((T+1+2)^2 + (K+2+4)^2) לא ישים פה את זה מפורש, אלא משווים בין שני מרחקים לפי השיעור. בריבוע מתקבלת משוואה פשוטה שחוסכת שורש ואז מפשטים ומקבלים משוואה לינארית: 5T + 4K = 10.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מיקום נקודות עם מחירוג שווה למרחק לנקודה

פתרון תנאי המקום הגיאומטרי בעזרת מרחקים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מקום כל הנקודות M(T,K) המקיימות שרדיוס המשיק למעגל שווה למרחק מח P

  2. נתון 1

    נתון 1

    מעגל: (X+1)^2 + (Y+2)^2 = 25
  3. נתון 2

    נקודה P(-1, -2)

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השווה בין שני המרחקים והבן את התוצאה באמצעות משוואה אלגברית.

  5. נוסחה

    הגדר נקודה כללית M(T,K) את נקודת המרכז והמעגל

    מעגל עם מרכז (-1, -2) ורדיוס 5(X+1)^2 + (Y+2)^2 = 25
  6. משוואה

    הגדר מרחקים בין נקודות בשורשים לפי הנוסחה

    הגדר מרחקים בין נקודות בשורשים לפי הנוסחה

    D1 = שורש (T+1)^2 + (K+2)^2 פחות 5D2 = שורש (T+3)^2 + (K+6)^2D1 = sqrt((T+1)^2 + (K+2)^2) - 5D2 = sqrt((T+3)^2 + (K+6)^2)D_1 = (T+1)^2 + (K+2)^2 - 5
  7. פישוט

    פתח סוגריים, בטל ביטויים משותפים ופשט

    פתח סוגריים, בטל ביטויים משותפים ופשט

    5T + 4K = 10
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    רבע את שני הצדדים להיפטר מהשורש

    D1 בריבוע = D2 בריבוע(D1)^2 = (D2)^2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נקודות והמעגל

מה עושים

הגדר נקודה כללית M(T,K) את נקודת המרכז והמעגל

למה

צריך להציג את המשתנים והמרחקים במשוואה פשוטה

המעגל נתון על ידי המשוואה (X+1)^2 + (Y+2)^2 = 25 ונקודה P(-1,-2).

נוסחה / הצבה

מעגל עם מרכז (-1, -2) ורדיוס 5(X+1)^2 + (Y+2)^2 = 25

ודא שאתה מכיר את מיקום המרכז והרדיוס

2

בחירת שיטה

שוויון מרחקים

מה עושים

נשים שהמרחק מהנקודה M למעגל שווה למרחק בין M לנקודה P

למה

זו הגדרת המקום הגיאומטרי המבוקש

אורך המשיק מהנקודה M למעגל שווה למרחק מ-M לנקודה P

נוסחה / הצבה

מרחק מהמקום למעגל = מרחק מהמקום לנקודה PD1 = D2D_1 = D_2

מרחק מהמקום למעגל הוא רדיוס המשיק

3

בניית משוואה

נוסחאות המרחקים

מה עושים

הגדר מרחקים בין נקודות בשורשים לפי הנוסחה

למה

להשוות ביניהם יש צורך בייצוג מפורש

D1 = שורש((T+1)^2+(K+2)^2) - 5, D2 = שורש((T+1+2)^2 + (K+2+4)^2)

נוסחה / הצבה

D1 = שורש (T+1)^2 + (K+2)^2 פחות 5D2 = שורש (T+3)^2 + (K+6)^2D1 = sqrt((T+1)^2 + (K+2)^2) - 5D2 = sqrt((T+3)^2 + (K+6)^2)D_1 = (T+1)^2 + (K+2)^2 - 5

שים לב לציון של כל נקודה ורדיוס המעגל

4

בניית משוואה

השוואת המרחקים והריבוע

מה עושים

רבע את שני הצדדים להיפטר מהשורש

למה

פישוט נדרש לפתרון קל יותר

ריבוע של (D1) שווה לריבוע של (D2) מפשט ביטויים ומבטל שורשים

נוסחה / הצבה

D1 בריבוע = D2 בריבוע(D1)^2 = (D2)^2(D_1)^2 = (D_2)^2

ריבוע שני צידי המשוואה הופך אותה למשוואה אלגברית בלבד

5

פתרון

פישוט וקבלת משוואה לינארית

מה עושים

פתח סוגריים, בטל ביטויים משותפים ופשט

למה

לקבל משוואה פשוטה שמייצגת את המקום הגיאומטרי

המסקנה היא המשוואה 5T + 4K = 10 שמייצגת את המקום המבוקש

נוסחה / הצבה

5T + 4K = 10

זוהי משוואת הישר המייצג את המקום הגיאומטרי

פתרונות כלליים

  • תנאי מקום גיאומטרי עבור משיק למעגל: נסמן נקודה כללית M(T,K). המרחק מהמעגל הוא אורך המשיק שמתחלק לפי המרחק למרכז המעגל והרדיוס. המרחק מנקודה לנקודה הוא sqrt((T+1)^2+(K+2)^2). המשוואה למרחק שווה למרחק מנקודה היא: sqrt((T+1)^2+(K+2)^2) - 5 = sqrt((T+1+2)^2 + (K+2+4)^2) לא ישים פה את זה מפורש, אלא משווים בין שני מרחקים לפי השיעור. בריבוע מתקבלת משוואה פשוטה שחוסכת שורש ואז מפשטים ומקבלים משוואה לינארית: 5T + 4K = 10.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.