וידאו · הנדסה אנליטית
ח15. מקומות גיאומטריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא מציאת המקום הגיאומטרי של נקודות במישור לאחר חישוב סכום ריבועי מרחקיהן משני נקודות נתונות, המוביל למשוואת מעגל.
- להבין ולזהות ביטויים של סכום ריבועי מרחקים מנקודות נתונות
- לפתח משוואה המתארת את המקום הגיאומטרי בצורה אלגברית
- לזהות את סוג המקום הגיאומטרי מתוך המשוואה המתקבלת (כגון מעגל)
- לתרגם ביטויי מרחק בין נקודות לריבועים ולהסיק מסקנות גיאומטריות
- הכנת ביטויי המרחק והריבועים: רישום המרחקים בריבוע מנקודות נתונות וכתיבתם בצורה אלגברית לחיבורם לסכום נתון.
- פישוט המשוואה ואיחודם: סידור, פישוט וחיבור מונחים לכדי משוואה אלגברית שבסופו מעגל.
- זיהוי מקומו הגיאומטרי כמעגל: המשוואה הסופית מייצגת מעגל במישור עם מרכז ורדיוס ידועים.
תרגול קצר
מציאת משוואת המקום הגיאומטרי
רמת קושי: קל
נתונה נקודה כללית P עם קואורדינטות (T,K). מצא את המשוואה של המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהסכום של ריבועי המרחקים שלהן מנקודות M( -4, 5) ו-N( 2, 3) הוא 70.
רמז: חשוב לכתוב תחילה ביטוי למרחק הריבועי מכל נקודה ולסכם ביניהם, אחר כך לסדר ולפשט.
פתרון מלא
תשובה סופית: (T + 1)^2 + (K - 4)^2 = 25
1. רשום את המרחקים בריבוע מנקודות M ו-N לנקודה P: (T + 4)^2 + (K - 5)^2 ו-(T - 2)^2 + (K - 3)^2. 2. סכום המרחקים בריבוע שווה 70: (T + 4)^2 + (K - 5)^2 + (T - 2)^2 + (K - 3)^2 = 70. 3. פתח את הסוגריים וסכם מונחים דומים. 4. ארגן את המשוואה בצורה של מעגל על ידי השלמת ריבועים. 5. כתוב משוואת המעגל, זיהוי המרכז והרדיוס.
דרך הפתרון
פתרון: משוואת מקום גיאומטרי עם סכום ריבועי מרחקים
מעגל מרכזו ידוע ורדיוסו מחושב
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואה שמתארת את המקום הגיאומטרי של הנקודות P
- נתון 1
נקודות M ( -4, 5) ו-N (2, 3)
- נתון 2
כל נקודה כללית P (T, K) במישור
- נתון 3
הסכום של ריבועי המרחקים מ-M ומ-N שווה ל-70
- רעיון
הרעיון המרכזי
רושמים וחישובים אלגבריים של סכום ריבועי המרחק של נקודה P מנקודות M ו-N, מבצעים פישוטים והשלמת
- נוסחה
פתח את הריבועים וסכם מונחים דומים בצד השמאלי של המשוואה והשווה ל-70
T בריבוע+ 8T+ 16+ K בריבוע- 10K - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
סכם את כל מונחי T, K, קבועים ולמד להשלם ריבועים כדי לקבל (T+1)^2 +
סכם את כל מונחי T, K, קבועים ולמד להשלם ריבועים כדי לקבל (T+1)^2 + (K-4)^2 = 25
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדר נקודות ונתון סכום
זיהוי נתונים
הגדר נקודות ונתון סכום
מה עושים
הכנס נקודות M(-4,5) ו-N(2,3) ואת נקודת המשתנה P(T,K)
למה
צריך לקשר בין נקודת המשתנה לנקודות הקבועות כדי להגדיר מרחקים ושוויון סכום מרחקים.
מכיוון שקיים סכום ריבועי מרחקים קבוע, נשתמש בנוסחאות ריבועי המרחק.
2בחירת שיטה
כתוב את הביטוי לסכום ריבועי המרחקים
בחירת שיטה
כתוב את הביטוי לסכום ריבועי המרחקים
מה עושים
ביטוי סכום ריבוע המרחקים מנקודות M ו-N לנקודה P הוא (T+4)^2 + (K-5)^2 + (T-2)^2 + (K-3)^2
למה
כדי למצוא משוואה המתארת את המקום, יש לרשום את סכום המרחקים בריבוע ולהשוות ל-70.
3בניית משוואה
כתוב את המשוואה ונפתח ביטויים
בניית משוואה
כתוב את המשוואה ונפתח ביטויים
מה עושים
פתח את הריבועים וסכם מונחים דומים בצד השמאלי של המשוואה והשווה ל-70
למה
פישוט מפשט את המשוואה ומאפשר זיהוי עקיף של צורת המקום
נוסחה / הצבה
T בריבוע+ 8T+ 16+ K בריבוע- 10Kפתח ריבועים בזהירות וודא שכל המונחים נכונים.
4פתרון
פשט לאפיק מעגל על ידי השלמת ריבועים
פתרון
פשט לאפיק מעגל על ידי השלמת ריבועים
מה עושים
סכם את כל מונחי T, K, קבועים ולמד להשלם ריבועים כדי לקבל (T+1)^2 + (K-4)^2 = 25
למה
השלמת ריבועים עושה את המעגל גלוי במשוואה בצורה סטנדרטית
דאג להוסיף ולהחסיר את אותם הערכים לצורך השלמת ריבועים.
5תשובה
כתוב את משוואת המעגל הסופית
תשובה
כתוב את משוואת המעגל הסופית
מה עושים
כתוב את משוואת המעגל (T + 1)^2 + (K - 4)^2 = 25
למה
משוואה זו מייצגת את המקום הגיאומטרי הדרוש, מעגל עם מרכז ורדיוס ידועים
המרכז הוא (-1,4) והרדיוס הוא 5.
פתרונות כלליים
- מציאת משוואת המקום הגיאומטרי: 1. רשום את המרחקים בריבוע מנקודות M ו-N לנקודה P: (T + 4)^2 + (K - 5)^2 ו-(T - 2)^2 + (K - 3)^2. 2. סכום המרחקים בריבוע שווה 70: (T + 4)^2 + (K - 5)^2 + (T - 2)^2 + (K - 3)^2 = 70. 3. פתח את הסוגריים וסכם מונחים דומים. 4. ארגן את המשוואה בצורה של מעגל על ידי השלמת ריבועים. 5. כתוב משוואת המעגל, זיהוי המרכז והרדיוס.