וידאו · הנדסה אנליטית
ח18. מקומות גיאומטריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מסביר כיצד למצוא את המקום הגיאומטרי בניתוח אליפסה ויצירת קווים אופקיים ואנכיים מנקודה על האליפסה. מוצג תהליך בניית משוואות ומציאת אליפסה חדשה כמקום הגיאומטרי של נקודות החיתוך.
- להבין את הקונספט של מקום גיאומטרי בהקשר של אליפסה
- לדעת לסמן נקודות ולבנות קווים אופקיים ואנכיים בהתאם לנקודה על האליפסה
- לנסח משוואות של קווים ואליפסה
- לפתור משוואות לשם מציאת נקודות חיתוך ולהבין כיצד מתקבל מקום גיאומטרי חדש
- הגדרת המקום הגיאומטרי: מסמנים נקודה P על האליפסה ומעבירים ממנה קווים אופקי ואנכי היוצרים נקודת חיתוך T - המקום הגיאומטרי המבוקש.
- פיתוח המשוואות: נסמן את הקווים המתקבלים כ-L1 (קו אופקי) ו-L2 (קו אנכי עם שיפוע), ננסח משוואות ונמצא קשר בין X ל-Y כדי להגיע למקום הגיאומטרי הרצוי.
- תוצאה וסיכום: מחשבים את נקודת החיתוך T בעזרת הפתרון של המשוואות ומסיקים שמקום הגיאומטרי הוא אליפסה חדשה עם ציר גדול כפול, כלומר אותה אליפסה מוגדלת בכיוון האורך.
תרגול קצר
קביעת נקודת החיתוך T של הקווים מנקודה P
רמת קושי: קל
נתונה אליפסה במשוואה x²/a² + y²/b²=1 ונקודה P עליה. סמן את קווי L1 ו-L2 וחשב את נקודת החיתוך T בין הקווים הללו.
רמז: ייצג את L1 כקו אופקי y=K מתוך נקודת P ואת L2 כקו עם שיפוע המתאים וחשב את T מהמשוואות.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת T היא (x/2, y) כאשר x ו-y הם הרכיבים של נקודת P
קו L1 מוגדר על ידי y = k, כאשר k הוא ערך y של נקודת P. קו L2 מוגדר במשוואה y - y1 = m(x - x1), כאשר (x1,y1) הוא נקודת P. נקודת החיתוך T מתקבלת מהשוואת המשוואות ומציאת x ו-y המתאימים.
דרך הפתרון
מיקום גיאומטרי מנקודה על אליפסה
מציאת נקודת חיתוך T וקביעת המקום הגיאומטרי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נקודת החיתוך T של הקווים L1 ו-L2 / מקום גיאומטרי – משוואת האליפסה החדשה
- נתון 1
נתון 1
נקודה P על האליפסה x²/a² + y²/b² = 1 - נתון 2
נתון 2
קו אופקי מ-P: y = k - נתון 3
קו L2 שמשיק ונמצא עם שיפוע
- רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואות של שני הקווים ולהשוות ביניהם למציאת החיתוך T, ואז להציב במשוואת האליפסה כדי לקבל
- נוסחה
מכניסים את הטווחים ליצירת משוואה חדשה למקום הגיאומטרי
x squared over 4 a squared plus y squared over b squared equals 1x²/(4a²) + y²/(b²) = 1(x^2)/(4a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 - משוואה
מסמנים נקודה P על האליפסה עם המשוואה המוכרת
מסמנים נקודה P על האליפסה עם המשוואה המוכרת
- פישוט
משווים בין משוואות L1 ו-L2 ומוצאים את נקודת החיתוך T
משווים בין משוואות L1 ו-L2 ומוצאים את נקודת החיתוך T
2 T = X2T = X
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון נקודה P ואליפסה
זיהוי נתונים
נתון נקודה P ואליפסה
מה עושים
מסמנים נקודה P על האליפסה עם המשוואה המוכרת
למה
כיוון שנקודה זו מזיזה את המקום הגיאומטרי והבסיס לכל ההמשך
אליפסה x²/a² + y²/b² = 1 עם נקודה P (x,y) על האליפסה
2בחירת שיטה
נסמן קו אופקי L1 מ-P
בחירת שיטה
נסמן קו אופקי L1 מ-P
מה עושים
נכנס למשוואה של קו L1: y = k מהנקודה P
למה
קו אופקי עובר דרך נקודה P במישור
ישירות מ-P יוצא קו אופקי בנקודת y=k
3בחירת שיטה
נגדיר משוואת הקו L2
בחירת שיטה
נגדיר משוואת הקו L2
מה עושים
נרשום משוואה של קו L2 עם שיפוע ותחנה למשל: y-y1 = m(x-x1)
למה
קו L2 חייב להיות אנכי או עם שיפוע מתאים לנקודות
משוואת קו L2 עוברת דרך נקודה T וקשורה ל-P
4פתרון
מציאת נקודת החיתוך T
פתרון
מציאת נקודת החיתוך T
מה עושים
משווים בין משוואות L1 ו-L2 ומוצאים את נקודת החיתוך T
למה
נקודת החיתוך היא נקודת המזיז את המקום הגיאומטרי
פותרי את המערכת: y = k ו-y-y1 = m(x-x1) לקבלת T
נוסחה / הצבה
2 T = X2T = Xהשוואת המשוואות נותנת T = X / 2
5פתרון
הכנסת T למשוואת האליפסה
פתרון
הכנסת T למשוואת האליפסה
מה עושים
מכניסים את הטווחים ליצירת משוואה חדשה למקום הגיאומטרי
למה
לתאר את המקום הגיאומטרי החדש כריבוע אחר של x ו-y
משוואה חדשה x²/4a² + y²/b² = 1 מייצגת את המקום הגיאומטרי
נוסחה / הצבה
x squared over 4 a squared plus y squared over b squared equals 1x²/(4a²) + y²/(b²) = 1(x^2)/(4a^2) + (y^2)/(b^2) = 1כפילות הציר הגדול משקפת את המקום הגיאומטרי
פתרונות כלליים
- קביעת נקודת החיתוך T של הקווים מנקודה P: קו L1 מוגדר על ידי y = k, כאשר k הוא ערך y של נקודת P. קו L2 מוגדר במשוואה y - y1 = m(x - x1), כאשר (x1,y1) הוא נקודת P. נקודת החיתוך T מתקבלת מהשוואת המשוואות ומציאת x ו-y המתאימים.