וידאו · הנדסה אנליטית
ח16. מקומות גיאומטריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה סוקר נושא של מקומות גיאומטריים בפרבולה, כולל חישוב מוקד, משוואות משיקים ועבודה עם ישרים מקבילים, ומגיע לפיתוח משוואת מקום גיאומטרי המעגל.
- הבנת מושג פרמטר ופרמטר של פרבולה.
- כתיבת משוואת משיק לפרבולה.
- יצירת ישרים מקבילים במישור.
- חישוב מקומות גיאומטריים והסקת משוואות מתמטיות מהם.
- הבנת תהליך הסקת משוואות במקום גיאומטרי מורכב.
- הקדמה לפרבולה ומוקד: הצגת פרבולה y בריבוע=12, חישוב הפרמטר והמוקד שלה.
- משיק לפרבולה וכתיבת ישרים מקבילים: כתיבת משוואת המשיק ל-parabola ושליחת ישרים מקבילים דרך נקודה ראשית.
- חיתוך הישרים ומציאת מקום גיאומטרי: חישוב נקודת החיתוך בין הישרים ליצירת משוואת קשר בין x ל-y שמייצגת מעגל.
תרגול קצר
למצוא את מוקד הפרבולה y²=12
רמת קושי: קל
יש לחשב את מיקום המוקד של הפרבולה y בריבוע שווה 12.
רמז: הפרמטר הוא 2 כפול עומק הפוקוס p בפרבולה.
פתרון מלא
תשובה סופית: מוקד הפרבולה הוא בנקודה (3,0).
הפרמטר p מחושב לפי y²=4px לכן 4p=12 ומכאן p=3. המוקד נמצא ב (p,0) כלומר (3,0).
כתיבת משוואת המשיק בנקודה t בפרבולה y²=12
רמת קושי: בינוני
לכתוב את משוואת המשיק לפרבולה y²=12 בנקודה המשתנה t על הפרבולה.
רמז: משוואת המשיק היא y y1 = p(x + x1) כאשר (x1,y1) נקודה על הפרבולה.
פתרון מלא
תשובה סופית: משוואת המשיק היא y t = 6(x - t²/12).
נקודת המשיק היא (t²/12, t). משוואת המשיק היא y t = 6(x - t²/12).
הסקת משוואת המעגל מהמקום הגיאומטרי
רמת קושי: מאתגר
נתונים שני ישרים המבוססים על משיקים לפרבולה y²=12 וקו ראשית מקביל. להסיק את משוואת המקום הגיאומטרי (מעגל) המתאר את נקודת החיתוך שלהם.
רמז: יש למצוא את נקודת החיתוך בנוסחאות הישרים, לבודד את המשתנה t ולהציב כדי לקבל משוואה ב-x ו-y בלבד.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשוואה הסופית היא (x - 3)^2 + y^2 = 9.
בעזרת ניתוח משוואות הישרים וגיבוש שיפועים שווים, מבודדים את t ומציבים במשוואה. פשטו והגיעו למשוואת מעגל: (x - 3)² + y² = 9.
מקום גיאומטרי לחיתוך שני ישרים בפרבולה
רמת קושי: בגרות
פרבולה y²=12. על פי המשוואות של המסור המשיק והקו המקביל דרך הראשית, למצוא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך של שני הישרים האלה.
רמז: לחשב משוואות הישרים, למצוא את נקודת החיתוך, לבטא את t ולהסיר את t מהמשוואה הסופית.
פתרון מלא
תשובה סופית: (x - 3)^2 + y^2 = 9
כתבנו את משוואות הישרים l1 ו-l2, איזנו את המשוואות והוצאנו ביטוי של t. לאחר הצבה ופישוט, הגענו למשוואת המעגל (x - 3)² + y² = 9.
דרך הפתרון
מקום גיאומטרי של נקודת החיתוך בין שני ישרים בפרבולה
הסקת משוואת המעגל ממערכת ישרים ביחס לפרבולה y²=12
מפת פתרון
- מטרה
למצוא משוואת המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך בין l1 ל-l2 ב-x ו-y ללא t
- נתון 1
נתון 1
פרבולה: y² = 12 - נתון 2
נקודה על הפרבולה: (t²/12, t)
- נתון 3
נתון 3
משוואת המשיק: y - y1 = m(x - x1) - רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא משוואות ל-l1 ול-l2, לבדוק שיפועים, לחשב נקודת חיתוך ולבודד את המשתנה t כדי למצוא את הקשר
- נוסחה
נחשב m=6/t לפי הנגזרות והתמלול.
m = 6 / tm = (6)/(t) - משוואה
הפרבולה נתונה במשוואה y²=12, והנקודה עליה היא (t²/12, t).
הפרבולה נתונה במשוואה y²=12, והנקודה עליה היא (t²/12, t).
- פישוט
נמצא חיתוך של l1 ול2, נציב y מל2 במשוואת l1 ונבודד את t.
נמצא חיתוך של l1 ול2, נציב y מל2 במשוואת l1 ונבודד את t.
(6 / t) * x - t = (6 / t) * (x - t^2 / 12)(6/t) x - t = (6/t)(x - t²/12)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון פרבולה ונקודה על הפרבולה
זיהוי נתונים
נתון פרבולה ונקודה על הפרבולה
מה עושים
הפרבולה נתונה במשוואה y²=12, והנקודה עליה היא (t²/12, t).
למה
כדי לכתוב את משוואת המשיק ולהגדיר ישרים בהתאם.
הנקודה t היא משתנה פרמטרי המניע את השינויים על הפרבולה.
2בחירת שיטה
כתיבת משוואת המשיק
בחירת שיטה
כתיבת משוואת המשיק
מה עושים
נוסח משוואת המשיק y - t = m(x - t²/12) כאשר m הוא שיפוע המשיק.
למה
השיפוע נדרש על מנת לכתוב את ישר המשיק.
המשוואה מאפשרת לבטא את הישר התומך בנקודת t על הפרבולה.
3בניית משוואה
מציאת שיפוע המשיק
בניית משוואה
מציאת שיפוע המשיק
מה עושים
נחשב m=6/t לפי הנגזרות והתמלול.
למה
המשיק y y1 = p(x + x1) מניב m שווה ל-6 חלקי t.
השיפוע ישמש לקביעת ישר מקביל l2.
נוסחה / הצבה
m = 6 / tm = (6)/(t)שימו לב ששיפוע המשיק תלוי ב-t.
4בניית משוואה
כתיבת משוואות הישרים l1 ו-l2
בניית משוואה
כתיבת משוואות הישרים l1 ו-l2
מה עושים
l1: y - t = (6/t)(x - t²/12); l2: y = (6/t) x
למה
l2 מקביל ל-l1 ועובר בראשית.
המשוואות מתארות את שני הישרים המקבילים במישור.
5פתרון
חישוב נקודת החיתוך בין הישרים
פתרון
חישוב נקודת החיתוך בין הישרים
מה עושים
נמצא חיתוך של l1 ול2, נציב y מל2 במשוואת l1 ונבודד את t.
למה
למצוא קשר ישיר בין x ל-y ללא תלות ב-t.
נציב y = (6/t) x במשוואת l1 ונארגן מחדש.
נוסחה / הצבה
(6 / t) * x - t = (6 / t) * (x - t^2 / 12)(6/t) x - t = (6/t)(x - t²/12)(6)/(t) x - t = (6)/(t) (x - (t^(2))/(12))6פתרון
פישוט והגעה למשוואת המעגל
פתרון
פישוט והגעה למשוואת המעגל
מה עושים
נכפיל בתוצאת המכנה והכפילויות, נסדר את המשוואה ונקבל x² - 6x + y² = 0,משמעותית (x - 3)² + y² = 9.
למה
זו משוואת המעגל המתארת את המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך.
המסקנה היא שהמקום הוא מעגל במרכז (3,0) ורדיוס 3.
נוסחה / הצבה
(x - 3)^2 + y^2 = 9ניתן לזהות זאת כמשוואת מעגל עם מרכז ורדיוס.
פתרונות כלליים
- למצוא את מוקד הפרבולה y²=12: הפרמטר p מחושב לפי y²=4px לכן 4p=12 ומכאן p=3. המוקד נמצא ב (p,0) כלומר (3,0).
- כתיבת משוואת המשיק בנקודה t בפרבולה y²=12: נקודת המשיק היא (t²/12, t). משוואת המשיק היא y t = 6(x - t²/12).
- הסקת משוואת המעגל מהמקום הגיאומטרי: בעזרת ניתוח משוואות הישרים וגיבוש שיפועים שווים, מבודדים את t ומציבים במשוואה. פשטו והגיעו למשוואת מעגל: (x - 3)² + y² = 9.
- מקום גיאומטרי לחיתוך שני ישרים בפרבולה: כתבנו את משוואות הישרים l1 ו-l2, איזנו את המשוואות והוצאנו ביטוי של t. לאחר הצבה ופישוט, הגענו למשוואת המעגל (x - 3)² + y² = 9.