MMATH
התחברות

וידאו · הנדסה אנליטית

ח6. מקומות גיאומטריים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
50 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ח2. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח3. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח4. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח5. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח6. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח7. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח8. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח9. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח11. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח12. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח13. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח14. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח15. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח16. מקומות גיאומטריים

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נדון כיצד למצוא את המקום הגיאומטרי של נקודות שמרחקן מנקודה אחת גדול פי שניים מהמרחק שלהן מנקודה אחרת, ונראה שזו משוואת מעגל - מעגל אפולוניוס.
  • להבין מהו מקום גיאומטרי המתקבל מיחס מרחקים בין נקודות
  • לתרגם הגדרת מרחקים למשוואה אלגברית בגורמים t ו-k
  • לפתור משוואה ריבועית בזוג משתנים ולקבל משוואת מעגל
  • להכיר ולזהות את מעגל אפולוניוס כמקום גיאומטרי
  • הגדרת הבעיה: נמצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות שמרחקן מנקודה A (9,4) הוא כפול פי 2 מהמרחק שלהן מנקודה B (3,1).
  • יצירת המשוואה האלגברית: הכפלת המרחק השני פי 2 ויצירת משוואה ריבועית
  • פישוט והגעה למשוואת המעגל: פישוט המשוואה וקבלת משוואת המעגל במרכזה (1,0) ורדיוס מתאים

תרגול קצר

מצא משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות עם יחס מרחק 2:1

רמת קושי: קל

ממתין

נמצא את המקום הגיאומטרי של נקודות (t,k) שמרחקן מנקודה (9,4) הוא כפול פי 2 מהמרחק שלהן מנקודה (3,1).

מקום גיאומטרימרחקמעגלהנדסה אנליטית

רמז: הגדר את המרחקים באמצעות נוסחאות המרחק, הכפל את השני ב-2, העלה בריבוע, ופשט את המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: (t - 1)^2 + (k)^2 = 20

1. הגדר מרחקים: d1 = sqrt((t-9)^2 + (k-4)^2), d2 = sqrt((t-3)^2 + (k-1)^2) 2. הכפל d2 ב-2: d1 = 2*d2 3. העלה בריבוע: (t-9)^2 + (k-4)^2 = 4((t-3)^2 + (k-1)^2) 4. פתח סוגריים ופשט ביטויים 5. ארגן למשוואת מעגל אחת (t-1)^2 + (k-0)^2 = 20

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתירת משוואת המקום הגיאומטרי עם יחס מרחק 2:1

מעגל אפולוניוס - צעדים לפתרון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא משוואת המקום הגיאומטרי

  2. נתון 1

    נקודה A: (9,4)

  3. נתון 2

    נקודה B: (3,1)

  4. נתון 3

    נתון 3

    יחס מרחקים: מרחק מ-A = 2 × מרחק מ-B
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הכנס את הגדרת המרחקים, העלה בריבוע לפישוט, ופשט לקבל משוואת מעגל.

  6. נוסחה

    הרם בריבוע את שני האגפים להסרת שורש, ופתח את הביטויים.

    (t-9)^2 + (k-4)^2 = 4 ((t-3)^2 + (k-1)^2)(t-9)^2 + (k-4)^2 = 4((t-3)^2 + (k-1)^2)
  7. משוואה

    כתוב שוויון בין המרחק d1 למכפלת d2 ב-2.

    כתוב שוויון בין המרחק d1 למכפלת d2 ב-2.

  8. פישוט

    פתח סוגריים, הסר אגפים דומים, וחבר מונחים לפי הסוגרים בקידומת.

    פתח סוגריים, הסר אגפים דומים, וחבר מונחים לפי הסוגרים בקידומת.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נקודות ויחס המרחקים

מה עושים

הגדר את נקודות A ו-B ואת יחס המרחק בין הנקודות.

למה

זה הבסיס להקמת המשוואות.

נקודות A= (9,4), B=(3,1), היחס בין המרחקים הוא פי 2.

2

בחירת שיטה

הגדרת מרחקים וניסוח שוויון

מה עושים

הגדר מרחקים מנקודות A ו-B לנקודה כללית (t,k) באמצעות נוסחת המרחק.

למה

כך נקבל ביטוי אלגברי של היחס בין המרחקים.

d1 = sqrt((t-9)^2 + (k-4)^2), d2 = sqrt((t-3)^2 + (k-1)^2)

3

בניית משוואה

הכפלת המרחק השני ועיתוד שוויון

מה עושים

כתוב שוויון בין המרחק d1 למכפלת d2 ב-2.

למה

כדי לנצל את הנתון שהמרחק הראשון הוא פי שניים מהשני.

d1 = 2 * d2

4

פתרון

העלאה בריבוע ופישוט המשוואה

מה עושים

הרם בריבוע את שני האגפים להסרת שורש, ופתח את הביטויים.

למה

כך נמנע שורשים וניתן לפשט ביטויים ריבועיים.

(t-9)^2 + (k-4)^2 = 4((t-3)^2 + (k-1)^2)

נוסחה / הצבה

(t-9)^2 + (k-4)^2 = 4 ((t-3)^2 + (k-1)^2)(t-9)^2 + (k-4)^2 = 4((t-3)^2 + (k-1)^2)

שימו לב לפתיחת סוגריים נכונה ולהעברת אגפים.

5

פתרון

פיתוח וחיבור מונחים

מה עושים

פתח סוגריים, הסר אגפים דומים, וחבר מונחים לפי הסוגרים בקידומת.

למה

כדי לקבל משוואה פשוטה ב-t ו-k

4 t^2 - t^2 + 4 k^2 - k^2 ועוד חיבורים נוספים

בדקו כל שלב עם חישוב מחדש למניעת טעויות.

6

פתרון

פישוט סופי וקבלת משוואת המעגל

מה עושים

ארגן למשוואת מעגל, מצא מרכז ורדיוס, השווה למשוואה סטנדרטית.

למה

תוצאה סופית המתארת את המקום הגיאומטרי.

(t-1)^2 + k^2 = 20

נוסחה / הצבה

(t-1)^2 + k^2 = 20

זוהי משוואת מעגל עם מרכז (1,0) ורדיוס שורש 20.

פתרונות כלליים

  • מצא משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות עם יחס מרחק 2:1: 1. הגדר מרחקים: d1 = sqrt((t-9)^2 + (k-4)^2), d2 = sqrt((t-3)^2 + (k-1)^2) 2. הכפל d2 ב-2: d1 = 2*d2 3. העלה בריבוע: (t-9)^2 + (k-4)^2 = 4((t-3)^2 + (k-1)^2) 4. פתח סוגריים ופשט ביטויים 5. ארגן למשוואת מעגל אחת (t-1)^2 + (k-0)^2 = 20
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.