MMATH
התחברות

וידאו · הנדסה אנליטית

ז2. אנליטית התנך של הפרבולה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
35 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ו10. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו11. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו12. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ז1. אנליטית הפרבולה

וידאו

ז2. אנליטית התנך של הפרבולה

וידאו

ז3. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז4. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז5. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז6. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז7. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז8. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז9. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

וידאו

ז10. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

וידאו

ז11. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

סיכום שיעור

  • לומדים על הגדרת הפרבולה באמצעות מקום גיאומטרי, היחס בין המרחק מהמוקד למדריך, ותכונות נוספות של הפרבולה עם ייצוגים אנליטיים.
  • להבין את מושג מקום גיאומטרי בפרבולה
  • להבין ולנסח את המשוואה הסטנדרטית של הפרבולה y בריבוע = 2p x
  • לזהות את המרחק מהמוקד ומהמדריך ולהבדיל ביניהם
  • ליישם נוסחאות למרחקים ולמציאת משוואות הישר והפרבולה
  • לזהות סימטריה של הפרבולה ביחס לציר ה-X
  • לנצל ייצוג פרמטרי של נקודות על הפרבולה
  • הגדרת ממ"ג בפרבולה: הפרבולה מוגדרת כמקום גיאומטרי של נקודות השוות במרחקן בין נקודה קבועה (מוקד) וישר קבוע (מדריך). מראים כיצד לתרגם הגדרה זו למשוואה אלגברית.
  • בחירת ייצוגי מרחק – יפה מול מכוער: מרחקים ניתנים לייצוג בשתי דרכים: המרחק עם שורש (מכוער) והמרחק בריבוע בלי שורש (יפה). בשיטות פתרון מומלץ להשתמש בייצוג 'יפה' ללא שורש להפשטת החישובים.
  • פיתוח משוואת הפרבולה: עוברים על השלבים לפיתוח משוואת הפרבולה y בריבוע = 2px על בסיס השוואת המרחקים ופעולות אלגבריות כגון העלאת בריבוע, הצמצום והפישוט.

תרגול קצר

הוכחת משוואת הפרבולה הבסיסית

רמת קושי: קל

ממתין

הוכח כי כל נקודה (x,y) על הפרבולה מקיימת y בריבוע = 2p x, כאשר המרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך.

פרבולהמקום גיאומטרימשוואות

רמז: השתמש בהגדרת הפרבולה כמקום גיאומטרי, השווה בין המרחק מהמוקד והמרחק מהמדריך, העלה בריבוע כדי להסיר שורשים ופשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: y^2 = 2 p x

1. נמק את המרחק מהמוקד: sqrt((x - p/2)^2 + y^2) 2. המרחק מהמדריך: |x + p/2| 3. שוויון המרחקים: המרחק מהמוקד = המרחק מהמדריך 4. העלאה בריבוע להסרת שורש ולהשוואת ביטויים 5. סילוק אגפים וקבלת y^2 = 2px

ייצוג פרמטרי של נקודות בפרבולה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפרבולה y בריבוע = 2 p x. סימן את נקודה כללית על הפרבולה בעזרת פרמטר T, והבע את x ו-y כฟונקציה של T .

פרבולהייצוג פרמטרינקודה כללית

רמז: השתמש בשיטה שהזכרנו לייצוג פרמטרי: y = T ומצא x בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודה כללית: (T^2/(2p), T)

ניקח y = T ואז נקבל x = T^2 / (2p)

מציאת משוואת המשיק לפרבולה בנקודה נתונה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה נקודה על הפרבולה y בריבוע = 2px עם קואורדינטות (T^2/(2p), T). מצא את משוואת המשיק בנקודה זו.

משיקנגזרתפרבולה

רמז: משוואת המשיק נוצרת מהנגזרת של הפרבולה בנקודה הנתונה. זכר את השיפוע ו השתמש בנקודה ו-שיפוע להבאת המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = (p/T)x + T/2

נגזור y^2 = 2px 2y (dy/dx) = 2p dy/dx = p/y בשביל נקודה (T^2/(2p), T): שיפוע = p / T משוואת המשיק: y - T = (p/T)(x - T^2/(2p))

הוכחת משוואת פרבולה - שאלון 582 בנושא 4

רמת קושי: בגרות

ממתין

באמצעות הגדרת הפרבולה כמקום גיאומטרי שבו המרחק למוקד P שווה למרחק למדריך, הוכח את המשוואה y בריבוע = 2px.

פרבולהממגהוכחה

רמז: חשוב לבחור את התייחסות המרחק מהמוקד (עם שורש) וממרחק מהמדריך (ללא שורש). השווה, העלה בריבוע, וצמצם.

פתרון מלא

תשובה סופית: y^2 = 2px

1. נסמן את נקודת המוקד (p/2, 0) 2. המרחק מהנקודה (x,y) למוקד: sqrt((x - p/2)^2 + y^2) 3. המרחק מהנקודה (x,y) למדריך: |x + p/2| 4. שוויון המרחקים: sqrt((x - p/2)^2 + y^2) = |x + p/2| 5. העלאה בריבוע והפשטת המכנים 6. קבלת המשוואה y^2 = 2px

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת משוואת הפרבולה y² = 2px על בסיס הגדרת המקום הגיאומטרי

מהו הקשר בין נקודה לפרבולה שמרחקה למוקד שווה למרחקה למדריך

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא משוואת הפרבולה שמייצגת את מקום כל הנקודות (x,y)

  2. נתון 1

    מוקד הפרבולה בנקודה (p/2, 0)

  3. נתון 2

    נתון 2

    מדריך הפרבולה הישר x = -p/2
  4. נתון 3

    נקודה כללית (x, y) על הפרבולה שהמרחקים שווים

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השווה בין המרחק מהמוקד למרחק מהמדריך, העלה לשני וחישב פישוטים אלגבריים להגעה למשוואה מבוקשת.

  6. נוסחה

    נגדיר את המרחק מהמוקד ומהמדריך עבור נקודה (x,y)

    D1 = sqrt((x - p/2)^2 + y^2)D2 = absolute_value(x + p/2)D1 = sqrt((x - p/2)^2 + y^2) D2 = |x + p/2|D_1 = (x - (p)/(2))^2 + y^2, D_2 = |x + (p)/(2)|
  7. משוואה

    בטל איברים דומים והפשט המשוואה

    בטל איברים דומים והפשט המשוואה

    y^2 = 2 p xy^2 = 2px
  8. פישוט

    פתח ריבועים, העלה, הצמצם והעבר אגפים

    פתח ריבועים, העלה, הצמצם והעבר אגפים

    x^2 - x p + p^2/4 + y^2 = x^2 + x p + p^2/4x^2 - xp + p^2/4 + y^2 = x^2 + xp + p^2/4

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת המרחקים למוקד ולמדריך

מה עושים

נגדיר את המרחק מהמוקד ומהמדריך עבור נקודה (x,y)

למה

כדי להפוך את הגדרת המקום הגיאומטרי לביטויים אנליטיים

המרחק מהמוקד הוא השורש של ריבוע המרחק בין נקודות המרחק מהמדריך הוא הערך המוחלט של הפרש ה-x והמשוואה של הישר

נוסחה / הצבה

D1 = sqrt((x - p/2)^2 + y^2)D2 = absolute_value(x + p/2)D1 = sqrt((x - p/2)^2 + y^2) D2 = |x + p/2|D_1 = (x - (p)/(2))^2 + y^2, D_2 = |x + (p)/(2)|

המרחק מהמוקד כולל שורש, בעוד המרחק מהמדריך הוא בערך מוחלט

2

בחירת שיטה

השוואת המרחקים והעלאה בריבוע

מה עושים

שווה בין D1 ו-D2 ונהל העלאה בריבוע להסרת השורש

למה

כדי לבטל את השורש כדי לפשט את המשוואה

D1 = D2 אז D1 בריבוע = D2 בריבוע

נוסחה / הצבה

(x - p/2)^2 + y^2 = (x + p/2)^2(x - (p)/(2))^2 + y^2 = (x + (p)/(2))^2

הזכר לתלמידים שהעלאה בריבוע מותרת רק לאחר שמוסיפים תנאי זהירות על סימני משתנים במידה ודרוש

3

פתרון

פישוט משוואות וקיצוץ איברים

מה עושים

פתח ריבועים, העלה, הצמצם והעבר אגפים

למה

להביא את המשוואה לצורה פשוטה יותר שניתן להבין

פתח ונצמצם פגיע בחשבון את הריבועים של ביטוי סכום והפרש

נוסחה / הצבה

x^2 - x p + p^2/4 + y^2 = x^2 + x p + p^2/4x^2 - xp + p^2/4 + y^2 = x^2 + xp + p^2/4x^2 - x p + (p^2)/(4) + y^2 = x^2 + x p + (p^2)/(4)

יש לשים לב לביטול איברים זהים בשני האגפים

4

פתרון

קבלת משוואת הפרבולה

מה עושים

בטל איברים דומים והפשט המשוואה

למה

להשיג את הצורה הסטנדרטית y^2 = 2px

העבר אגפים לקבלת y^2 = 2px

נוסחה / הצבה

y^2 = 2 p xy^2 = 2px

זוהי משוואת הפרבולה הסטנדרטית עם קודקוד ב-Origin

פתרונות כלליים

  • הוכחת משוואת הפרבולה הבסיסית: 1. נמק את המרחק מהמוקד: sqrt((x - p/2)^2 + y^2) 2. המרחק מהמדריך: |x + p/2| 3. שוויון המרחקים: המרחק מהמוקד = המרחק מהמדריך 4. העלאה בריבוע להסרת שורש ולהשוואת ביטויים 5. סילוק אגפים וקבלת y^2 = 2px
  • ייצוג פרמטרי של נקודות בפרבולה: ניקח y = T ואז נקבל x = T^2 / (2p)
  • מציאת משוואת המשיק לפרבולה בנקודה נתונה: נגזור y^2 = 2px 2y (dy/dx) = 2p dy/dx = p/y בשביל נקודה (T^2/(2p), T): שיפוע = p / T משוואת המשיק: y - T = (p/T)(x - T^2/(2p))
  • הוכחת משוואת פרבולה - שאלון 582 בנושא 4: 1. נסמן את נקודת המוקד (p/2, 0) 2. המרחק מהנקודה (x,y) למוקד: sqrt((x - p/2)^2 + y^2) 3. המרחק מהנקודה (x,y) למדריך: |x + p/2| 4. שוויון המרחקים: sqrt((x - p/2)^2 + y^2) = |x + p/2| 5. העלאה בריבוע והפשטת המכנים 6. קבלת המשוואה y^2 = 2px
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.