MMATH
התחברות

וידאו · הנדסה אנליטית

ו8. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
29 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ו4. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו5. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו6. אנליטית האליפסה רדיוסי וקטור

וידאו

ו7. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו8. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו9. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו10. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו11. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ו12. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

וידאו

ז1. אנליטית הפרבולה

וידאו

ז2. אנליטית התנך של הפרבולה

וידאו

ז3. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז4. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז5. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • שיעור זה מתמקד בפתרון תרגיל באליפסה במסגרת ההנדסה האנליטית. התרגיל מבוסס על נתוני נקודה על האליפסה ועל מכפלת המרחקים למוקדים, בתהליך פתרון הכולל פירוק וחיבור ביטויים אלגבריים ובנייה של משוואת האליפסה בסופו של דבר.
  • להבין את הגדרות האליפסה במונחים של מרחקים מהמוקדים
  • ליישם נוסחאות בסיסיות של האליפסה והקשרים בין פרמטריה
  • לפתור משוואות אלגבריות מורכבות כהכנה לבניית משוואת האליפסה
  • לנתח נתוני נקודה על האליפסה למציאת יחס בין פרמטרים
  • ללמוד לנהל פתרון בשלבים תוך שימוש בשיטות אלגבריות ומחשבתית
  • הגדרת הבעיה ונתוני היסוד: מתחילים בהגדרת האליפסה ובקביעת נקודה עליה, וכן נתון מכפלת המרחקים למוקדים.
  • חישוב ושלב האלגברה: מגדירים מרחקים d1 ו-d2 במונחים של c וכיווני נקודה, מפעילים נוסחאות אלגבריות, מפרקים לנוסחת כפל מקוצרת ומתקדמים לפישוט המשוואות.
  • פתרון עבור c ועליית במשוואה: מציאת ערך c בריבוע מפתרון המשוואה, הצבה במידע הנוסף, קבלת משוואה שלמה לאליפסה עם פרמטרים a,b.
  • סיכום המשוואה הסופית: הצגת המשוואה הסופית של האליפסה לאחר כל הפישוטים והחישובים, תוך שימת דגש על רמת הקושי האלגברית שנדרשה.

תרגול קצר

הכרת מושגי אליפסה - מרחקים למוקדים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה נקודה (3,2) על אליפסה שכפלת המרחקים שלה מהמוקדים היא 12. מה סכום המרחקים של נקודה זו מהמוקדים?

אליפסהמרחקיםמושגי יסוד

רמז: הסכום שווה 12

פתרון מלא

תשובה סופית: 12

כפי שניתן מהנתונים, סכום המרחקים D1+D2 שווה 12.

מצא את c בריבוע מהנתונים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון שמכפלת המרחקים ל-12 וסכומם ל-12, ומקום נקודה (3,2) על האליפסה. מצא c בריבוע.

אליפסהמרחקיםמשוואות ממוצעות

רמז: השתמש בנוסחת הכפל המקוצר ובפישוט אלגבראי שפותר ל-c בריבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: 25

הגדרת המרחקים d1 ו-d2 ואז שימוש בנוסחת הכפל המקוצר הוביל למשוואה: 169 - 10c^2 = 144. מכאן מתקבל c^2=25.

בניית משוואת האליפסה מהנקודה ומהפרמטרים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן נקודה על אליפסה ומידע על c ובריבוע, מצא את משוואת האליפסה המלאה במשתנים a ו-b.

אליפסהמשוואה כלליתפתרון בגרות

רמז: השתמש בקשר a^2-b^2=c^2 ובנתוני הנקודה כדי לנסח מערכת משוואות.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת האליפסה במשתנים a ו-b עם הפרמטרים לאחר פתרון האלגברה

הצבה של c^2=25 בביטוי a^2-b^2=25, וכמו כן משתמשים במשוואת הנקודה 9/(a^2) + 4/(b^2) = 1. הפתרון האלגברי מוביל למשוואה הסופית.

תרגיל מתוך שאלון 582 - אליפסה אנליטית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה אליפסה עם נקודה (3,2) ומכפלת המרחקים מהמוקדים השווה ל-12, סכום המרחקים שווה ל-12. מצא את ערך c בריבוע ואת משוואת האליפסה.

אליפסההנדסה אנליטיתפתרון בגרות

רמז: נתח את הנתונים, ספר את המרחקים, השתמש בנוסחת הכפל המקוצר, אל תשכח את הקשר בין a,b ו-c.

פתרון מלא

תשובה סופית: c^2=25. משוואת האליפסה בצורה המפורשת לאחר חישובים אלגבריים.

קודם כל מגדירים d1 ו-d2 במונחים של c ואז משתמשים בנתון למכפלה וסכום המרחקים. לאחר פתרון אלגברי מקבלים c^2=25. בהמשך מוצאים יחס בין a ו-b ומשוואות המשך המובילות לקבלת משוואת האליפסה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון תרגיל אליפסה – חישוב c ומשוואת האליפסה

שלבים לפתרון תרגיל המבוסס על נתוני נקודה ומרחקים למוקדים באליפסה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא c בריבוע (c²) / משוואת האליפסה במשתנים a,b

  2. נתון 1

    נקודה P(3,2) על האליפסה

  3. נתון 2

    נתון 2

    D1 * D2 = 12 (מכפלת המרחקים למוקדים)
  4. נתון 3

    נתון 3

    D1 + D2 = 12 (סכום המרחקים למוקדים)
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הגדרת המרחקים לנקודה, בניית משוואה בעזרת נוסחת הכפל המקוצר, פתרון אלגברי למציאת c², והצבה לקבלת

  6. נוסחה

    מכפילים תחת השורש ומוסרים השורשים כדי לקבל משוואת ריבועית ב-c².

    (13 - 6c + c^2) * (13 + 6c + c^2) = 144(13 - 6c + c^2)(13 + 6c + c^2) = 144
  7. משוואה

    מגדירים נקודה (3,2) על האליפסה ומנתחים את מכפלת וסכום המרחקים למוקדים.

    מגדירים נקודה (3,2) על האליפסה ומנתחים את מכפלת וסכום המרחקים למוקדים.

  8. פישוט

    פותחים את הביטוי לקבלת משוואה ברורה ומבודדים c².

    פותחים את הביטוי לקבלת משוואה ברורה ומבודדים c².

    (13 + c^2)^2 - (6c)^2 = 144

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נתונים ראשוניים

מה עושים

מגדירים נקודה (3,2) על האליפסה ומנתחים את מכפלת וסכום המרחקים למוקדים.

למה

זהו הבסיס שנדרש לפתור את המשוואה.

נקודת P ונתוני המרחקים הם נקודות המוצא לפתרון.

להיזכר בהגדרות האליפסה.

2

בחירת שיטה

הגדרת מרחקים d1 ו-d2

מה עושים

מחשבים d1 ו-d2 כמרחקים ממוקדי האליפסה לנקודה (3,2), משתמשים ב-c במרחקים.

למה

כדי ליצור מערכת משוואות עם c כמשתנה ולאפשר פתרון.

d1 שווה לשורש מ ((3 - c)^2 + 2^2), d2 שווה לשורש מ ((3 + c)^2 + 2^2).

לשמור על סמליות נכונה של c.

3

בניית משוואה

הכפלת המרחקים וכתיבת המשוואה

מה עושים

משתמשים בנתון D1*D2=12 ומרכיבים ביטוי למשוואה עם c.

למה

כדי לקבל משוואה מבודדת שתאפשר למצוא את ערך c.

(שורש(13 - 6c + c^2)) * (שורש(13 + 6c + c^2)) = 12

להיזהר בטיפול בשורשים וכפל.

4

פתרון

פישוט באמצעות נוסחת הכפל המקוצר

מה עושים

מכפילים תחת השורש ומוסרים השורשים כדי לקבל משוואת ריבועית ב-c².

למה

פישוט למשוואה שניתן לפתור אלגברית בקלות יחסית.

(13 - 6c + c^2) * (13 + 6c + c^2) = 144

נוסחה / הצבה

(13 - 6c + c^2) * (13 + 6c + c^2) = 144(13 - 6c + c^2)(13 + 6c + c^2) = 144

שימוש בנוסחת הכפל המקוצר ל (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.

5

פתרון

יישום נוסחת הכפל המקוצר

מה עושים

פותחים את הביטוי לקבלת משוואה ברורה ומבודדים c².

למה

מציאת ערך מדויק ל-c² המאפשר בניית משוואת האליפסה.

(13 + c^2)^2 - (6c)^2 = 144, פישוט מוביל ל-c^2 = 25.

נוסחה / הצבה

(13 + c^2)^2 - (6c)^2 = 144

הקפדה על סימני פעולות והחלפה נכון.

6

תשובה

הצבת c² ומשוואת האליפסה

מה עושים

מחליפים את c²=25 בקשר a² - b² = c² ומציבים במשוואה

למה

מתקבלת משוואת האליפסה לאחר מציאת הפרמטרים הנכונים.

a² - b² = 25 ו- המשוואה הכוללת על titik (3,2) נפתרת לקבלת משוואת האליפסה.

נוסחה / הצבה

a^2 - b^2 = 25

המשוואה הסופית מתארת את האליפסה המבוקשת.

פתרונות כלליים

  • הכרת מושגי אליפסה - מרחקים למוקדים: כפי שניתן מהנתונים, סכום המרחקים D1+D2 שווה 12.
  • מצא את c בריבוע מהנתונים: הגדרת המרחקים d1 ו-d2 ואז שימוש בנוסחת הכפל המקוצר הוביל למשוואה: 169 - 10c^2 = 144. מכאן מתקבל c^2=25.
  • בניית משוואת האליפסה מהנקודה ומהפרמטרים: הצבה של c^2=25 בביטוי a^2-b^2=25, וכמו כן משתמשים במשוואת הנקודה 9/(a^2) + 4/(b^2) = 1. הפתרון האלגברי מוביל למשוואה הסופית.
  • תרגיל מתוך שאלון 582 - אליפסה אנליטית: קודם כל מגדירים d1 ו-d2 במונחים של c ואז משתמשים בנתון למכפלה וסכום המרחקים. לאחר פתרון אלגברי מקבלים c^2=25. בהמשך מוצאים יחס בין a ו-b ומשוואות המשך המובילות לקבלת משוואת האליפסה.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.