שיעור זה מלמד כיצד לעבוד עם משוואת המעגל בצורה מעשית, על-ידי השלמת ריבועים לקבלת מרכז ורדיוס המעגל, ומחשב מרחקים בין נקודות מבלי למצוא את כל נקודות המבנה.
לזהות משוואת מעגל רגילה וצורתה המוכללת
ללמוד שיטת השלמת ריבועים למעבר מצורת משוואה כללית לצורת מרכז-רדיוס
לחסוך בזמן ע״י חישוב מרחקים ישירות ללא מציאת נקודות ביניים
להבין ולהימנע מטעות נפוצה של ניסיון למצוא נקודות מיותרות
הצגת הבעיה והטעות הנפוצה: הרצון המיידי למצוא נקודות וקטורי במרחב עלול לסבך פתרונות בהנדסה אנליטית. חשוב ללמוד לעקוף רצון זה ולפתור בעיות ישירות.
שיטת השלמת ריבועים: פירוק משוואת המעגל על ידי השלמת ריבועים מאפשר לזהות את מרכז המעגל ואת הרדיוס בקלות.
חישוב מרחק בין נקודות מרכז לנתון: מרחק בין נקודות מחושב באופן ישיר דרך נוסחת המרחק מבלי למצוא נקודות נוספות.

תרגול קצר

מציאת מרכז ורדיוס משוואת המעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה המשוואה x² - 22x + y² - 14y - 145 = 0. מצא את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

השלמת ריבועיםמשוואת מעגלמרכז ורדיוס

רמז: השלם ריבועים עבור x ו-y והצב את המשוואה לצורת מרכז ורדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: המרכז (11,7), הרדיוס שווה לשורש של 315 (כ-17.75)

נכתוב את חלקי x ו-y בסגנון השלמת ריבועים: x²-22x + y² -14y = 145. מחלקים את מקדמי x ו-y ב-2 ומרביעים: (-22/2)²=121, (-14/2)²=49. מוסיפים 121 ו-49 לשני הצדדים: x²-22x+121 + y²-14y+49 = 145+121+49. מסדרים: (x-11)² + (y-7)² = 315. לכן, המרכז (11,7) והרדיוס sqrt(315) שמקובל לעגל את זה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד למצוא מרכז ורדיוס של מעגל

שלבים פשוטים לניתוח משוואת מעגל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא קואורדינטות מרכז המעגל / אורך הרדיוס
נתון 1
נתון 1
משוואת מעגל בצורת כללית: x² - 22x + y² - 14y - 145 = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
השלם ריבועים עבור ביטויים ב-x ו-y כדי להביא למשוואת מעגל בצורת מרכז-רדיוס.
נוסחה
הבעת המשוואה כסכום ריבועים
(x-11)^2 + (y-7)^2 = 315(x-11)^2+(y-7)^2=315
משוואה
התחל עם המשוואה המקורית כפי שהיא
התחל עם המשוואה המקורית כפי שהיא
פישוט
חלק את מקדמי x ו-y ב-2 ורבע את התוצאה
חלק את מקדמי x ו-y ב-2 ורבע את התוצאה
תוצאה
מסיימים בתשובה
הוצא שורש ריבועי של 315
r = sqrt(315)r = 315
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם השלמת נכון את הריבועים?
- האם העברת את המקדמים הנכונים לצד השני?
- זהירות: שכחה להוסיף את הערכים שהושלמו לשני צידי המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

קח את המשוואה הנתונה

מה עושים

התחל עם המשוואה המקורית כפי שהיא

למה

צריך את המשוואה כדי לעבוד איתה ולמצוא מרכז ורדיוס

x² - 22x + y² - 14y - 145 = 0

בחירת שיטה

הפרד ביטויים ל-x ו-y

מה עושים

העבר את המונח הקבוע לצד השני

למה

כדי להיערך להשלים ריבועים

x² - 22x + y² - 14y = 145

פתרון

השלם ריבועים בנפרד ל-x ול-y

מה עושים

חלק את מקדמי x ו-y ב-2 ורבע את התוצאה

למה

שיטה שמאפשרת הצגה בצורת ריבוע מושלם

(-22/2)² = 121; (-14/2)²=49

הקפד להוסיף ולהחסיר אותם כדי לשמור על שוויון

פתרון

הוסף והחסר ערכים במשוואה

מה עושים

הוסף 121 ו-49 לצד השמאלי והימני

למה

על מנת לאזן את המשוואה לאחר השלמת הריבועים

x² -22x +121 + y² -14y +49 = 145 +121 +49

בניית משוואה

כתוב בצורה של ריבועים מושלמים

מה עושים

הבעת המשוואה כסכום ריבועים

למה

מגדיר מרכז המעגל והרדיוס

(x - 11)² + (y - 7)² = 315

נוסחה / הצבה

(x-11)^2 + (y-7)^2 = 315(x-11)^2+(y-7)^2=315

פתרון

חשב את הרדיוס

מה עושים

הוצא שורש ריבועי של 315

למה

רדיוס המעגל הוא השורש של הצד הימני

r = sqrt(315) ≈ 17.75

נוסחה / הצבה

r = sqrt(315)r = 315

פתרונות כלליים

מציאת מרכז ורדיוס משוואת המעגל: נכתוב את חלקי x ו-y בסגנון השלמת ריבועים: x²-22x + y² -14y = 145. מחלקים את מקדמי x ו-y ב-2 ומרביעים: (-22/2)²=121, (-14/2)²=49. מוסיפים 121 ו-49 לשני הצדדים: x²-22x+121 + y²-14y+49 = 145+121+49. מסדרים: (x-11)² + (y-7)² = 315. לכן, המרכז (11,7) והרדיוס sqrt(315) שמקובל לעגל את זה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה10. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא קואורדינטות מרכז המעגל / אורך הרדיוס

נתון 1

הרעיון המרכזי

הבעת המשוואה כסכום ריבועים

התחל עם המשוואה המקורית כפי שהיא

חלק את מקדמי x ו-y ב-2 ורבע את התוצאה

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

קח את המשוואה הנתונה

הפרד ביטויים ל-x ו-y

השלם ריבועים בנפרד ל-x ול-y

הוסף והחסר ערכים במשוואה

כתוב בצורה של ריבועים מושלמים

חשב את הרדיוס

פתרונות כלליים