השיעור עוסק בסדרות הנסיגה ההנדסיות, מציג סדרה מקושרת לצורך פתרון, והוכחת תכונות סדרה הנדסית באמצעות אלגברה כללית. מוצגות שיטות למציאת איברים ומסכומים של סדרות לא פשוטות באמצעות סדרה מקשרת.
להבין כיצד להגדיר סדרה מקשרת ולזהות סדרה הנדסית
ליישם נוסחאות רקורסיביות למציאת איברים בסדרה
להוכיח סדרה הנדסית בעזרת חלוקת דו-איברים
לעבוד עם סדרות שנבנות מסדרות אחרות (סדרות מקשרות)
לחשב סכום איברים בסדרה הנדסית
הגדרת הסדרה והחישוב הראשוני: נתונה סדרה עם כלל נסיגה ועלינו למצוא את חמשת האיברים הראשונים של הסדרה.
יצירת סדרה מקשרת B והגדרתה: סדרת B מוגדרת כתוספת 2 לאיברי סדרת A. מוצגים חישובי האיברים הראשונים של B והנחה ש-B היא סדרה הנדסית.
הוכחת הנדסיות סדרת B: מבצעים הוכחה כללית לסדרה B שהיא הנדסית, ומוצאים את המנה הקבועה שיש בסדרה.
חקירת נוסחה כללית ל-B ול-A: נוסחה כללית ל-Bⁿ נמצאת באמצעות הנדסית, ומה-N מקבלים נוסחה ל-Aⁿ באמצעות סדרה מקשרת.

תרגול קצר

מציאת חמשת האיברים הראשונים בסדרה A

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הסדרה A שמוגדרת על ידי הכלל: A_{n+1} = 5 * A_n + 8, כאשר A_1 = 2. חשב את חמשת האיברים הראשונים בסדרה.

סדרהנסיגהאיברים ראשונים

רמז: השתמש בכלל הנסיגה כדי למצוא כל איבר, החל מהאיבר הראשון.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2, 18, 98, 498, 2498

A1 = 2 A2 = 5*2 + 8 = 18 A3 = 5*18 + 8 = 98 A4 = 5*98 + 8 = 498 A5 = 5*498 + 8 = 2498

הגדרת סדרה מקשרת וחישוב איבר ראשון

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם נגדיר סדרה B כך ש-B_n = A_n + 2 כאשר A_n היא הסדרה מהתרגיל הקודם, מה יהיה ערכו של B_1?

סדרה מקשרתהגדרהאיבר ראשון

רמז: חשב תחילה את A_1 ואז הוסף 2.

פתרון מלא

תשובה סופית: 4

A1 = 2 לכן B1 = 2 + 2 = 4

הוכחת שהסדרה B היא הנדסית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראה כי הסדרה B מוגדרת על ידי B_n = A_n + 2 היא סדרה הנדסית והמצא את המנה שלה.

הוכחהסדרה הנדסיתסדרה מקשרת

רמז: חשב את היחס B_{n+1} / B_n והראה שהוא קבוע לכל n.

פתרון מלא

תשובה סופית: הסדרה הנדסית עם מנה q = 5

נחשב B_{n+1} / B_n B_{n+1} = A_{n+1} + 2 = 5*A_n + 8 + 2 = 5*A_n + 10 B_n = A_n + 2 לכן נקבל: (B_{n+1}) / (B_n) = (5*A_n + 10) / (A_n + 2) = 5 (כיוון ש-10 = 5*2) כלומר, המנה היא 5 והסדרה היא הנדסית.

נוסחה לאיבר הכללי בסדרה B

רמת קושי: בגרות

ממתין

מצא נוסחה לאיבר הכללי B_n עם נתונים: B_1 = 4 ו-q = 5.

נוסחה כלליתסדרה הנדסיתאיבר כללי

רמז: השתמש בנוסחת האיבר הכללי לסדרה הנדסית.

פתרון מלא

תשובה סופית: B_n = 4 * 5^{n-1}

B_n = B_1 * q^{n-1} = 4 * 5^{n-1}

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב חמשת האיברים הראשונים בסדרה A

סדרה עם כלל נסיגה A_{n+1} = 5 × A_n + 8 ו-A_1 = 2

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא A_1, A_2, A_3, A_4, A_5
נתון 1
נתון 1
A_n+1 = 5 * A_n + 8
נתון 2
נתון 2
A_1 = 2
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב כל איבר לפי הכלל על בסיס האיבר הקודם, החל מהאיבר הראשון.
נוסחה
A_2 = 5 * A_1 + 8 = 5 * 2 + 8
A2 = 5 * 2 + 8
משוואה
A_3 = 5 * A_2 + 8 = 5 * 18 + 8
A_3 = 5 * A_2 + 8 = 5 * 18 + 8
A3 = 5 * 18 + 8
פישוט
נתון כי A_1 = 2
נתון כי A_1 = 2
תוצאה
מסיימים בתשובה
A_2 = 18

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

ערך האיבר הראשון

מה עושים

נתון כי A_1 = 2

למה

הוא הנקודה שממנה נחשב את שאר האיברים

אנו מתחילים בחישוב מהערך ההתחלתי שניתן.

זיהוי נתונים

כלל הנסיגה להגדרת הסדרה

מה עושים

A_{n+1} = 5 * A_n + 8

למה

כלל זה מאפשר לחשב איבר הבא לפי האיבר הקודם

הגדרה רקורסיבית המגדירה את כל הסדרה.

בחירת שיטה

חישוב סדרתי

מה עושים

להציב ולחשב כל איבר בהתאם לכלל הנסיגה

למה

כך נוכל להגיע לאיברים הראשונים לפי הסדר

מחשבים החל מ-A2 ועד A5 בעזרת הנוסחה והרצף

שימו לב שמחשבים כל איבר בהתבסס על האיבר הקודם.

בניית משוואה

חישוב A2

מה עושים

A_2 = 5 * A_1 + 8 = 5 * 2 + 8

למה

כדי להשתמש בכלל הנסיגה עם ערך מתחיל

מחליפים את A_1 ב-2 ומבצעים את החישוב

נוסחה / הצבה

A2 = 5 * 2 + 8

פתרון

תוצאה עבור A2

מה עושים

A_2 = 18

למה

חישוב פשוט של הערך החדש

סיימנו לחשב את האיבר השני בסדרה

בניית משוואה

חישוב A3

מה עושים

A_3 = 5 * A_2 + 8 = 5 * 18 + 8

למה

השתמש ב-A2 שחושב קודם

מחליפים את A_2 בערכו ומבצעים חישוב

נוסחה / הצבה

A3 = 5 * 18 + 8

פתרונות כלליים

מציאת חמשת האיברים הראשונים בסדרה A: A1 = 2 A2 = 5*2 + 8 = 18 A3 = 5*18 + 8 = 98 A4 = 5*98 + 8 = 498 A5 = 5*498 + 8 = 2498
הגדרת סדרה מקשרת וחישוב איבר ראשון: A1 = 2 לכן B1 = 2 + 2 = 4
הוכחת שהסדרה B היא הנדסית: נחשב B_{n+1} / B_n B_{n+1} = A_{n+1} + 2 = 5*A_n + 8 + 2 = 5*A_n + 10 B_n = A_n + 2 לכן נקבל: (B_{n+1}) / (B_n) = (5*A_n + 10) / (A_n + 2) = 5 (כיוון ש-10 = 5*2) כלומר, המנה היא 5 והסדרה היא הנדסית.
נוסחה לאיבר הכללי בסדרה B: B_n = B_1 * q^{n-1} = 4 * 5^{n-1}

הפריט הקודם הפריט הבא

ג9. סדרת נסיגה

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא A_1, A_2, A_3, A_4, A_5

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

A_2 = 5 * A_1 + 8 = 5 * 2 + 8

A_3 = 5 * A_2 + 8 = 5 * 18 + 8

נתון כי A_1 = 2

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

ערך האיבר הראשון

כלל הנסיגה להגדרת הסדרה

חישוב סדרתי

חישוב A2

תוצאה עבור A2

חישוב A3

פתרונות כלליים