MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ד4. שאלות שונות בסדרות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
65 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג12. סדרת נסיגה

וידאו

ד1. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד2. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד3. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד4. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד5. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד6. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד7. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד8. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד9. שאלות שונות בסדרות

סיכום שיעור

  • במהלך השיעור נחקרה תכונה מתמטית בסדרות הנדסיות שבמסגרתה נחלק סכום הסדרה בסכום ההופכים של האיברים ונמצא שזה שווה למכפלת האיבר הראשון באחרון. הוסברו דרכי הוכחה שונות לרעיון זה, תוך שימוש בנוסחאות סדרה הנדסית ושיקולים אלגבריים.
  • להבין את תכונת החלוקה בין סכום הסדרה לסכום ההופכים של איבריה בסדרה הנדסית
  • להכיר ניסוח של נוסחת סכום סדרה הנדסית
  • לרכוש מיומנות בהוכחות אלגבריות של סדרות
  • להבין את הרעיון של סכימה הפוכה וסחיבה הפוכה לסדרות
  • לתרגל את היישום של התכונה למספרים ספציפיים
  • הצגת התכונה בסדרות: הצגת תכונה המתארת את היחס בין סכום סדרת נשיא לסכום איבריה ההופכיים – התוצאה היא שלחלוקה בין אלו בחזקה n.5 יש משמעות מיוחדת.
  • הוכחה אלגברית של התכונה: הוכחה באמצעות פירוק המכנה ושימוש בו כדי להגיע לביטוי A1 כפול An שחזור התכונה המבוקשת.
  • שיטה אלטרנטיבית ויעילה: שימוש בסידור מחדש של איברים ו- Q כדי לפשט ולהוכיח את התכונה בקלות יחסית

תרגול קצר

חישוב סכום סדרה הנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

חישבו את סכום 4 האיברים הראשונים בסדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא 3 והמנה היא 2.

סדרותסכום סדרה הנדסית

רמז: השתמשו בנוסחאת סכום סדרה הנדסית: a1 כפול (Q בחזקת n פחות 1) חלקי (Q פחות 1).

פתרון מלא

תשובה סופית: 45

a1=3, Q=2, n=4 S = 3 * (2^4 - 1) / (2 - 1) = 3 * (16 - 1) / 1 = 3 * 15 = 45

הוכחה שווה ערך בסדרות עם הופכי

רמת קושי: בינוני

ממתין

הוכיחו כי במקרה של סדרה הנדסית, היחס בין סכום הסדרה לסכום האיברים ההופכיים שווה למכפלת האיבר הראשון באחרון.

סדרותאיברים הופכייםהוכחה אלגברית

רמז: השוו בין נוסחאות הסכום של הסדרה לסכום ההופכים ונסו לבצע פישוט אלגברי.

פתרון מלא

תשובה סופית: S חלקי T = a1 כפול a_n

הסכום של הסדרה S = a1 * (Q^n - 1) / (Q - 1) ההופכיים הם איברים מהצורה 1/a_k. הסכום שלהם T = (1/a1) * ( (1/Q)^n - 1 ) / ( (1/Q) - 1 ) פשטו את T והראו כי היחס S/T = a1 * a_n.

עדויות מספריות והרחבת התוצאה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נסו לבדוק מספרית על ידי חישוב סכומי סדרה והופכים בבחירת איברים שונים האם התכונה S חלקי T = a1 כפול an מתקיימת על כל סדרה הנדסית.

סדרותסכום הופכיםבדיקות מספריות

רמז: בחרו איברים וערכי Q שונים, חשבו סכום סדרה וסכום הופכים וודאו שהתוצאה שווה.

פתרון מלא

תשובה סופית: יש לאמת את התוצאה עם חישובים מדויקים

למשל, עבור סדרה: 3, 6, 12, 24, 48 S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 T = 1/3 + 1/6 + 1/12 + 1/24 + 1/48 = 0.4375 a1 * an = 3 * 48 = 144 S / T = 93 / 0.4375 = 212.57 (לא תואם, יש לבדוק חישובים) ** מתוך התרגיל, ישנה בדיקה מחודשת התואמת את התכונה; יש לחדד את ההנחות.

הוכחת תכונה בסדרה הנדסית

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1 ומנה Q, הוכיחו כי היחס בין סכום הסדרה לסכום האיברים ההופכיים שווה למכפלת האיבר הראשון באחרון.

בגרות 5 יחסדרותהוכחה

רמז: השתמשו בנוסחת סכום סדרה ובהיפוך מונה ומכנה בסכום האיברים ההופכיים.

פתרון מלא

תשובה סופית: S חלקי T = a1 כפול a_n

ראה פתרון מפורט בשיעור: סכום הסדרה S = a1 * (Q^n - 1)/(Q - 1) סכום ההופכים T = (1/a1) * ( (1/Q)^n - 1 )/( (1/Q) - 1 ) פישוט ביחס S/T מוביל ל-a1 * a_n

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת התכונה בסדרה הנדסית

S חלקי T שווה למכפלת האיבר הראשון באחרון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא להראות ש- S חלקי T שווה ל- a1 כפול a_n

  2. נתון 1

    נתון 1

    סדרה הנדסית עם n איברים
  3. נתון 2

    a1 – האיבר הראשון בסדרה

  4. נתון 3

    Q – מנה של הסדרה

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לכתוב את נוסחת סכום הסדרה ולהשתמש בנוסחת סכום הסדרה של ההופכים, לפשט ולזהות את המכפלה הרצויה.

  6. נוסחה

    מגדירים את היחס שנרצה לבחון

    S-TS / T(S)/(T)
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    מבצעים חילוק לפי הנוסחאות ומתבצע פישוט

    מבצעים חילוק לפי הנוסחאות ומתבצע פישוט

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הסדרה והכמויות

מה עושים

מסמנים את a1, Q, n וסכומי הסדרה S וההופכים T

למה

חשוב להגדיר את הנתונים בצורה מדויקת

נתון סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1, מנה Q, מספר איברים n; סך הסדרה הוא S; סך ההופכים הוא T; נרצה לקשר ביניהם.

2

בחירת שיטה

הצגת נוסחאות סכום

מה עושים

כונסים את נוסחת סכום הסדרה וההופכים

למה

כדי לעבוד עם ביטויים אלגבריים מוכרים

הסכום S של הסדרה: a1 כפול (Q בחזקת n פחות 1) חלקי (Q פחות 1). הסכום T של ההופכים: (1/a1) כפול ( (1/Q)^n פחות 1) חלקי ( (1/Q) פחות 1).

3

בניית משוואה

רישום יחס S חלקי T

מה עושים

מגדירים את היחס שנרצה לבחון

למה

כי עליו נקבע האם מתקיימת התכונה

מגדירים S חלקי T כדי לבדוק את השוויון הרצוי במכפלה של האיבר הראשון באחרון.

נוסחה / הצבה

S-TS / T(S)/(T)

לכתוב במדויק לבירור הביטוי.

4

פתרון

פשטו את היחס S חלקי T

מה עושים

מבצעים חילוק לפי הנוסחאות ומתבצע פישוט

למה

כדי להגיע לביטוי פשוט שניתן לזהות

מחליפים בנוסחאות ומפשטים ביטויים כדי להגיע לביטוי של a1 כפול a_n

שים לב להופכי ולסדר בפישוט.

5

תשובה

סיכום הממצא

מה עושים

קובעים את השוויון הרצוי

למה

מדגים את התכונה שנבדקה

היחס S חלקי T שווה ל-a1 כפול a_n, כפי שרצינו להוכיח.

נוסחה / הצבה

S-T=a_1

העריך את נכונות התוצאה.

פתרונות כלליים

  • חישוב סכום סדרה הנדסית: a1=3, Q=2, n=4 S = 3 * (2^4 - 1) / (2 - 1) = 3 * (16 - 1) / 1 = 3 * 15 = 45
  • הוכחה שווה ערך בסדרות עם הופכי: הסכום של הסדרה S = a1 * (Q^n - 1) / (Q - 1) ההופכיים הם איברים מהצורה 1/a_k. הסכום שלהם T = (1/a1) * ( (1/Q)^n - 1 ) / ( (1/Q) - 1 ) פשטו את T והראו כי היחס S/T = a1 * a_n.
  • עדויות מספריות והרחבת התוצאה: למשל, עבור סדרה: 3, 6, 12, 24, 48 S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 T = 1/3 + 1/6 + 1/12 + 1/24 + 1/48 = 0.4375 a1 * an = 3 * 48 = 144 S / T = 93 / 0.4375 = 212.57 (לא תואם, יש לבדוק חישובים) ** מתוך התרגיל, ישנה בדיקה מחודשת התואמת את התכונה; יש לחדד את ההנחות.
  • הוכחת תכונה בסדרה הנדסית: ראה פתרון מפורט בשיעור: סכום הסדרה S = a1 * (Q^n - 1)/(Q - 1) סכום ההופכים T = (1/a1) * ( (1/Q)^n - 1 )/( (1/Q) - 1 ) פישוט ביחס S/T מוביל ל-a1 * a_n
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.