וידאו · סדרות
ד7. שאלות שונות בסדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בסדרות הנדסיות, עם דגש על הוכחה שסדרה הופכית היא סדרה הנדסית, מציאת איברים בסדרה ושימוש בנוסחאות סכום סדרה הנדסית.
- להבין מהי סדרה הנדסית
- להוכיח שסדרה של הופכים היא סדרה הנדסית
- לחפש ולהשתמש בנוסחת איבר בסדרה הנדסית
- לבצע סיכום איברים ולהוכיח קשרים בין סכומי סדרות
- לפתור בעיות כמותיות של סדרות עם מספרים ממשיים
- הוכחה שסדרה של הופכים היא סדרה הנדסית: מראים כי לכל שני איברים סמוכים בסדרה של הופכים היחס בין האיברים הוא קבוע, ולכן הסדרה היא הנדסית.
- חישוב איבר בסדרה הנדסית עם שורשים: חישובים של איבר תשיעי בסדרה הנדסית שהאיבר הראשון והיחס בנויים משורשים.
- הוכחת סכום סדרה הנדסית ואישור קשרים: הוכחה של טענה כי סכום של תשעה איברים בסדרה הנדסית הוא שווה לביטוי של a חלקי 32, תוך שימוש בנוסחאות וביחסים בין האיברים.
תרגול קצר
בדיקת היות סדרה הנדסית
רמת קושי: קל
הוכח שסדרה המוגדרת כך שהאיבר ה-n הוא ההופכי של איבר בסדרה הנדסית היא סדרה הנדסית.
רמז: חשב את היחס בין איבר n לאיבר n-1 וראה אם הוא קבוע.
פתרון מלא
תשובה סופית: סדרת ההופכיים היא סדרה הנדסית עם יחס q הפוך מהסדרה המקורית.
נסמן את הסדרה המקורית a_n וסדרה ההופכים בהתאם 1/a_n. היחס q בסדרה ההנדסית המקורית הוא a_n חלקי a_(n-1). לכן, היחס בסדרת ההופכיים הוא (1/a_n) חלקי (1/a_(n-1)) = a_(n-1)/a_n = 1/q, שהוא קבוע. לכן גם סדרת ההופכיים היא סדרה הנדסית עם יחס 1/q.
חישוב איבר תשיעי בסדרה הנדסית
רמת קושי: בינוני
נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון בה שווה לשורש 2 והיחס q שווה לשורש 2 בחזקת מינוס אחד חלקי שמונה. חשב את a9.
רמז: השתמש בנוסחה a_n = a_1 כפול q בחזקת n-1 וחישוב בשורשים.
פתרון מלא
תשובה סופית: a_9 = 1
a_9 = a_1 * q^{8} = שורש 2 * (שורש 2)^{8/(-8)} = שורש 2 * (שורש 2)^{-1} = שורש 2 חלקי שורש 2 = 1.
הוכחת סכום סדרה הנדסית עם איברים הופכיים
רמת קושי: מאתגר
הוכח כי סכום תשעה איברים בסדרה הנדסית כזו שווה לביטוי a חלקי 32, כאשר a הוא סכום האיברים הנתון.
רמז: השתמש בהוכחה שסכום האיברים חלקי סכום ההופכיים שווה למכפלת a_1 ב-a_9 והצג זאת בנוסחה.
פתרון מלא
תשובה סופית: S_9 = a/32
חשבנו שכאשר מחלקים את סכום האיברים בסכום ההופכיים מתקבל a_1 כפול a_9. לפי התרגיל a_9 = 16 שורש 2, ו-a_1 = שורש 2. לכן המכפלה היא 32. לכן הסכום שווה ל-a חלקי 32 כפי שהוכחנו.
שאלת בגרות בנושא סדרות הנדסיות והופכיים
רמת קושי: בגרות
נתונה סדרה הנדסית בה a1 = שורש 2 והיחס q = שורש 2 בחזקת מינוס אחד חלקי שמונה. הוכח כי סכום תשעה האיברים הראשונים הוא a, והראה שסכום זה שווה ל-a חלקי 32.
רמז: מצא את a9 בעזרת הנוסחה, השתמש ביחסים בין סכום איברים לבין סכום איברי הופכיים ובנוסחת סכום סדרה הנדסית.
פתרון מלא
תשובה סופית: S_9 = a / 32
חישבנו ש-a9 = 16 שורש 2. הראינו שמכפלת a1 * a9 = 32. לפי ההוכחה, היחס בין סכום האיברים לסכום ההופכיים הוא a1 * a9 = 32 ואז הסכום מבוטא כ-a חלקי 32.
דרך הפתרון
פתרון בעיה: חישוב סכום סדרה הנדסית והוכחת יחס
הבנת סכום סדרה הנדסית עם איברים הופכיים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הוכחת שסכום S9 = a/32
- נתון 1
נתון 1
a1 = שורש 2 - נתון 2
נתון 2
q = שורש 2 בחזקת מינוס 1 חלקי שמונה - נתון 3
נתון 3
מספר איברים n = 9 - רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את a9 לפי הנוסחה, נצא מנוסחת סכום סדרה הנדסית ונסיק יחס בין סכום האיברים וסכום ההופכים.
- נוסחה
השתמש ביחסים המוכחים בין סכום האיברים לסכום ההופכים
S_n / sum 1/an = a1 * a9S_n / (סכום הופכיים) = a_1 * a_9(S_n)/( 1/a_n) = a_1 * a_9 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חשב את המכפלה a1 כפול a9 והראה שהיא שווה 32
חשב את המכפלה a1 כפול a9 והראה שהיא שווה 32
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים בסיסיים
זיהוי נתונים
נתונים בסיסיים
מה עושים
מקבלים את a1, q, n, והגדרת סכום a
למה
יש למיין ולהבין את הנתונים לפני תחילת הפתרון
a1 שווה שורש 2, q שורש 2 בחזקת מינוס 1 חלקי שמונה, n=9, סכום האיברים S9 = a.
שים לב ליחידות ולחזקה השלילית.
2בחירת שיטה
חישוב a9
בחירת שיטה
חישוב a9
מה עושים
חשב את האיבר התשיעי בסדרה באמצעות a9 = a1 כפול q בחזקת 8
למה
מסייע בקבלת יחס בין איברים שמשתמשים בו בהמשך ההוכחה
a9 = שורש 2 כפול (שורש 2)^(8* ( -1/8)) = שורש 2 כפול (שורש 2)^(-1) = 1 * 16 שורש 2 וכו'.
נוסחה / הצבה
a9 = a1 * q^8a_9 = a_1 * q^(8)חשוב לבצע חישוב מדויק של החזקות והשורשים.
3בניית משוואה
הגדרת יחס סכום האיברים
בניית משוואה
הגדרת יחס סכום האיברים
מה עושים
השתמש ביחסים המוכחים בין סכום האיברים לסכום ההופכים
למה
להציג טענה מרכזית לפתרון הבעיה
הסכום חלקי סכום ההופכים שווה למכפלת a1 ב-a9.
נוסחה / הצבה
S_n / sum 1/an = a1 * a9S_n / (סכום הופכיים) = a_1 * a_9(S_n)/( 1/a_n) = a_1 * a_9זכור שהוכחה זו מבוססת על תהליך צמצום שהוצג בוידאו.
4פתרון
סיכום הערכים
פתרון
סיכום הערכים
מה עושים
חשב את המכפלה a1 כפול a9 והראה שהיא שווה 32
למה
קישור מרכזי להוכחת הטענה שסכום האיברים שווה ל-a חלקי 32
a1 = שורש 2, a9 = 16 שורש 2, מכפלה = 32.
חשוב לא להסתבך בחישובי שורשים.
5תשובה
תוצאה סופית
תשובה
תוצאה סופית
מה עושים
נוסח הטענה לפי מה שהוכח: סכום האיברים שווה ל-a חלקי 32
למה
פתרון הבעיה ומסקנה מתוך הניתוח השיטתי
S9 = a / 32.
נוסחה / הצבה
S9 = a / 32S_9 = a / 32S_9 = (a)/(32)ודא שהבנת תהליך הפתרון וההקשר
פתרונות כלליים
- בדיקת היות סדרה הנדסית: נסמן את הסדרה המקורית a_n וסדרה ההופכים בהתאם 1/a_n. היחס q בסדרה ההנדסית המקורית הוא a_n חלקי a_(n-1). לכן, היחס בסדרת ההופכיים הוא (1/a_n) חלקי (1/a_(n-1)) = a_(n-1)/a_n = 1/q, שהוא קבוע. לכן גם סדרת ההופכיים היא סדרה הנדסית עם יחס 1/q.
- חישוב איבר תשיעי בסדרה הנדסית: a_9 = a_1 * q^{8} = שורש 2 * (שורש 2)^{8/(-8)} = שורש 2 * (שורש 2)^{-1} = שורש 2 חלקי שורש 2 = 1.
- הוכחת סכום סדרה הנדסית עם איברים הופכיים: חשבנו שכאשר מחלקים את סכום האיברים בסכום ההופכיים מתקבל a_1 כפול a_9. לפי התרגיל a_9 = 16 שורש 2, ו-a_1 = שורש 2. לכן המכפלה היא 32. לכן הסכום שווה ל-a חלקי 32 כפי שהוכחנו.
- שאלת בגרות בנושא סדרות הנדסיות והופכיים: חישבנו ש-a9 = 16 שורש 2. הראינו שמכפלת a1 * a9 = 32. לפי ההוכחה, היחס בין סכום האיברים לסכום ההופכיים הוא a1 * a9 = 32 ואז הסכום מבוטא כ-a חלקי 32.