וידאו · סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ג11. סדרת נסיגה
ג12. סדרת נסיגה
ד1. שאלות שונות בסדרות
ד2. שאלות שונות בסדרות
ד3. שאלות שונות בסדרות
ד4. שאלות שונות בסדרות
ד5. שאלות שונות בסדרות
ד6. שאלות שונות בסדרות
ד7. שאלות שונות בסדרות
ד8. שאלות שונות בסדרות
ד9. שאלות שונות בסדרות
חישוב איבר בסדרה הנדסית
רמת קושי: קל
נתונה סדרה הנדסית בה A1 = 2 ו-Q = 3. חשב את האיבר ה-5 בסדרה.
רמז: השתמש בנוסחה An = A1 * Q^(n-1)
תשובה סופית: 162
לפי הנוסחה, A5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162
חישוב מכפלת איברים בסדרה הנדסית
רמת קושי: בינוני
סדרה הנדסית עם A1 = 4 ו-Q = 2. חשב את המכפלה של 4 האיברים הראשונים.
רמז: השתמש בנוסחה P = A1^n * Q^(n(n-1)/2)
תשובה סופית: 16384
נכפיל לפי הנוסחה: P = 4^4 * 2^(4*3/2) = 256 * 2^6 = 256 * 64 = 16384
הוכחת נוסחה למכפלת סדרה הנדסית
רמת קושי: מאתגר
בהינתן סדרה הנדסית עם איבר ראשון A1 ויחס Q, הוכח שהמכפלה של n איברים ראשונים היא A1 בחזקת n כפול Q בחזקת n(n-1)/2.
רמז: המירו את המכפלה לסכום חזקה בסדרה חשבונית והשתמשו בנוסחאות מתמטיות
תשובה סופית: P = A1^n * Q^{n(n-1)/2}
תחילה כתוב את המכפלה כ: P = A1 * A1 Q * A1 Q^2 * ... * A1 Q^(n-1) = A1^n * Q^{0 + 1 + 2 + ... + (n-1)}. סכום החזקות הוא סכום סדרה חשבונית שניתן לכתוב כסכום = n(n-1)/2. לכן, P = A1^n * Q^{n(n-1)/2}.
כפל איברים בסדרה הנדסית - שאלת בגרות
רמת קושי: בגרות
בסדרה הנדסית עם A1 = 3 ו-Q = 5, מהו הערך של המכפלה של 3 האיברים הראשונים? הרא את החישוב המלא.
רמז: השתמש בנוסחת המכפלה P = A1^n * Q^{n(n-1)/2}
תשובה סופית: 3375
נחשב: P = 3^3 * 5^{3*2/2} = 27 * 5^3 = 27 * 125 = 3375.
מדריך פשוט לפתרון בעיית מכפלת n איברים בסדרה הנדסית
כמות האיברים nנזהה את המכפלה כנוסחה שמכילה חזקה בסכום סדרה חשבונית, ונשתמש בנוסחת סכום סדרה חשבונית כדי להגיע
sum = n*(n-1)/2sum = n(n-1)/2_k=0^(n-1) k = (n(n-1))/(2)החלף את סכום החזקות בנוסחה ותכתוב את נוסחת המכפלה
P = A1^nQ^(n*(n-1)/2)P = A1 ^ n * Q^(n(n-1)/2)P = A_1 ^ n x Q^((n(n-1))/(2))מפשטים כדי להגיע לנעלם.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
קבל את A1, Q, ו-n כסביבה למכפלה
למה
כדי להשתמש בנוסחאות יש לדעת את פרטי הסדרה והמספר איברים להכללה
A1=איבר ראשון, Q=נפש ולבסוף n=מספר האיברים למכפלה.
בחירת שיטה
מה עושים
נכתוב את המכפלה כפלט של חזקה סכום האינדקסים
למה
החזקה מצטברת כמכפלה ולכן נוכל להמיר לחיבור חזקות
המכפלה של האיברים היא A1^n כפול Q בחזקה סכום 0 עד n-1.
נוסחה / הצבה
P = A1^nQ^(0+1+2+...+(n-1))P = A1 ^ n * Q ^ (sum 0 to n-1)P = A_1 ^ n x Q ^ _k=0^(n-1) kחיבור החזקות הוא חשבון של סדרה חשבונית.
בניית משוואה
מה עושים
חשב את סכום 0 עד n-1 באמצעות נוסחה לסכום סדרה חשבונית
למה
להחליף את הסכום בנוסחה מפורשת לפישוט
סכום 0 עד n-1 הוא (n-1)*n/2
נוסחה / הצבה
sum = n*(n-1)/2sum = n(n-1)/2_k=0^(n-1) k = (n(n-1))/(2)נוסחה ידועה בסדרה חשבונית.
פתרון
מה עושים
החלף את סכום החזקות בנוסחה ותכתוב את נוסחת המכפלה
למה
כדי לקבל נוסחה סופית שניתן להשתמש בה ישירות
P = A1^n כפול Q בחזקת n(n-1)/2
נוסחה / הצבה
P = A1^nQ^(n*(n-1)/2)P = A1 ^ n * Q^(n(n-1)/2)P = A_1 ^ n x Q^((n(n-1))/(2))הנוסחה מאפשרת חישוב מהיר של מכפלת איברי הסדרה.