בשיעור זה למדנו על סדרת נסיגה וקשריה בין סדרות A ו-B, הראינו שסדרת B היא הנדסית ומצאנו נוסחאות כלליות עבור A ו-B לפי המיקום שלהן.
להבין מהי סדרת נסיגה ומאפייניה
להוכיח שסדרה מסוימת היא הנדסית
למצוא נוסחה כללית עבור סדרות A ו-B
לנתח סדרות ולהבחין בין סדרה חשבונית, הנדסית וכללית
הגדרת סדרות A ו-B: הוגדרו סדרת A וסדרת B כאשר Bn = An + n, ונבחנו ערכי האיברים הראשונים בסדרות.
הוכחה שסדרת B היא הנדסית: באמצעות ביטויים ויחסים בין איברי An ו-Bn הוכח שסדרת B היא סדרה הנדסית עם מנת 2 ואיבר ראשון 3.
נוסחאות כלליות לסדרות: מצאנו נוסחאות מפורטות עבור Bn ו-An לפי מיקום, תוך שימוש בביטויים של חזקה ומקדמים.
פירוק סכום הסדרה: פירקנו את הסדרה הכללית לסכומים של סדרה חשבונית וסדרה הנדסית כדי להסביר את מבנה הסדרה ולהראות את הקשרים שלה.

תרגול קצר

חשב את הערכים הראשונים של סדרות A ו-B

רמת קושי: קל

ממתין

נתון A1=2 והגדרת Bn=An + n. חשב את A2, A3, B1, B2, B3.

סדרותהגדרות בסיסיות

רמז: השתמש בהגדרה כדי למצוא Bn עבור כל n, חשב את An בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: A2=4, A3=9, B1=3, B2=6, B3=12

A2 = 2A1 + 2 - 1 = 4 A3 = 2A2 + 3 - 1 = 9 B1 = A1 + 1 = 3 B2 = A2 + 2 = 6 B3 = A3 + 3 = 12

הוכח שסדרת B היא הנדסית

רמת קושי: בינוני

ממתין

הראה שסדרת B הנגדרת כ-Bn=An + n היא סדרה הנדסית עם q=2 ו-B1=3.

הוכחותסדרות הנדסיות

רמז: חשב Bn+1/Bn והשתמש בהגדרות הסדרה A והקשר בין An+1 ל-An.

פתרון מלא

תשובה סופית: B היא סדרה הנדסית עם מופע ראשון 3 ומנת 2.

מתוך ההגדרה מתקבל Bn+1 = An+1 + n + 1 לפי הסדרה עבור An+1, משתמשים בנוסחה המתאימה ואז מוצאים יחס Bn+1/Bn = 2 כיוון ש-B1=3 מידי, concl

מציאת נוסחה כללית ל-An

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא נוסחה מפורשת עבור An לפי מיקום n, בהינתן Bn = 3 * 2^(n-1) ו-An = Bn - n.

נוסחאותסדרותביטוי מפורש

רמז: השתמש בנוסחה של Bn ועבור ל-An תוך חיסור n.

פתרון מלא

תשובה סופית: An = 3 * 2^(n-1) - n

Bn = 3 * 2^(n-1) לכן, An = Bn - n = 3 * 2^(n-1) - n

הוכח וקבע נוסחה עבור סדרת B

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן סידרת A ו- B שמוגדרת ב-Bn = An + n, כאשר A1=2 והגדרת נסיגה נתונה, הוכח שסדרת B היא הנדסית ומצא את נוסחתה המפורשת.

בגרותנסיגההוכחותסדרות

רמז: השתמש ביחס בין איברי B ונסה להסיק את המנה q; חישוב איברי A ו-B ראשונים יעזור לכך.

פתרון מלא

תשובה סופית: B היא סדרה הנדסית עם Bn=3*2^(n-1)

חישבנו את B1=3 ו-Bn+1/Bn=2 לכן B היא סדרה הנדסית עם q=2 ומופע ראשון 3 נוסחה מפורשת היא Bn=3*2^(n-1)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: הוכחת סדרת B כהנדסית ומציאת נוסחה

ניתוח והוכחה בסיסית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכחה שסדרת B היא סדרה הנדסית / נוסחה כללית ל-Bn לפי n
נתון 1
נתון 1
Bn = An + n
נתון 2
נתון 2
A1 = 2
נתון 3
An ו-Bn סדרות נסיגה משתנות לפי ההגדרות
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב יחסי איברים בסדרת B ונשתמש בקשר ל-An כדי להראות שמתיחסים לסדרה הנדסית עם מנת q=2.
נוסחה
מכיוון ש-B היא סדרה הנדסית עם B1=3 ו-q=2, הנוסחה היא Bn=3*2^(n-1)
Bn = 3 * 2^(n-1)B_n = 3 x 2^(n-1)
משוואה
נחשב Bn+1 / Bn כדי להבין אם הסדרה הנדסית
נחשב Bn+1 / Bn כדי להבין אם הסדרה הנדסית
פישוט
השתמש בנוסחאות ויחסים בין An כדי לפשט ביטוי עבור Bn+1 / Bn
השתמש בנוסחאות ויחסים בין An כדי לפשט ביטוי עבור Bn+1 / Bn

הוכחנו שבאופן כללי B היא סדרה הנדסית ומצאנו את נוסחתה המפורשת

נוסחה / הצבה

Bn = 3 * 2^(n-1)B_n = 3 x 2^(n-1)

להבטיח הבנת המשמעות של מונה ומהלך החזקה בסדרה הנדסית

פתרונות כלליים

חשב את הערכים הראשונים של סדרות A ו-B: A2 = 2A1 + 2 - 1 = 4 A3 = 2A2 + 3 - 1 = 9 B1 = A1 + 1 = 3 B2 = A2 + 2 = 6 B3 = A3 + 3 = 12
הוכח שסדרת B היא הנדסית: מתוך ההגדרה מתקבל Bn+1 = An+1 + n + 1 לפי הסדרה עבור An+1, משתמשים בנוסחה המתאימה ואז מוצאים יחס Bn+1/Bn = 2 כיוון ש-B1=3 מידי, concl
מציאת נוסחה כללית ל-An: Bn = 3 * 2^(n-1) לכן, An = Bn - n = 3 * 2^(n-1) - n
הוכח וקבע נוסחה עבור סדרת B: חישבנו את B1=3 ו-Bn+1/Bn=2 לכן B היא סדרה הנדסית עם q=2 ומופע ראשון 3 נוסחה מפורשת היא Bn=3*2^(n-1)

הפריט הקודם הפריט הבא

ג11. סדרת נסיגה

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכחה שסדרת B היא סדרה הנדסית / נוסחה כללית ל-Bn לפי n

נתון 1

נתון 2

An ו-Bn סדרות נסיגה משתנות לפי ההגדרות

הרעיון המרכזי

מכיוון ש-B היא סדרה הנדסית עם B1=3 ו-q=2, הנוסחה היא Bn=3*2^(n-1)

נחשב Bn+1 / Bn כדי להבין אם הסדרה הנדסית

השתמש בנוסחאות ויחסים בין An כדי לפשט ביטוי עבור Bn+1 / Bn

פתרון מפורט

הגדרות והנחות

חשב איברים ראשונים

חשב יחס בין איברי B

פשט את הביטויים

קביעת נוסחה וסיכום

פתרונות כלליים