MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ג7. סדרת נסיגה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
56 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג3. סדרת נסיגה

וידאו

ג4. סדרת נסיגה

וידאו

ג5. סדרת נסיגה

וידאו

ג6. סדרת נסיגה

וידאו

ג7. סדרת נסיגה

וידאו

ג8. סדרת נסיגה

וידאו

ג9. סדרת נסיגה

וידאו

ג10. סדרת נסיגה

וידאו

ג11. סדרת נסיגה

וידאו

ג12. סדרת נסיגה

וידאו

ד1. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד2. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד3. שאלות שונות בסדרות

וידאו

ד4. שאלות שונות בסדרות

סיכום שיעור

  • שיעור על פתרון והבנת סדרות עם כלל נסיגה, חישוב איברים מסוימים, הפרדת סדרות לפי זוגיות ואי-זוגיות והוכחת טענות בסדרות לא חשבוניות.
  • להבין ולנתח סדרות עם כלל נסיגה
  • לחלץ איברים ראשוניים בסדרה על פי נתונים
  • להבחין בין סדרה חשבונית לסדרה לא חשבונית לפי מיקום האיברים
  • להוכיח נכונות טענה מתמטית על סדרה בהתבסס על כלל נסיגה
  • לחשב סכום איברים בסדרה תוך הפרדה לסדרות משנה
  • מבוא לכלל נסיגה: הסבר ראשוני על כלל הנסיגה והשימוש ברגרסיה להפחתת איבר קודם והצבת ערכים ספציפיים כדי לחשב את האיבר הראשון.
  • הוכחת כלל נסיגה: הסבר על הוכחה טכנית של הכלל וניסוח ההצבה המתאימה עבור a(n+2) להסבר ההפרש בין a(n+2) ל-a(n)
  • הבנת סדרה לא חשבונית: הבחנה שהסדרה הכוללת אינה חשבונית אולם האיברים במקומות הזוגיים והאי-זוגיים מהווים סדרות חשבוניות נפרדות.
  • חישוב איברים וסכומים בסדרה: טיפול בחישוב איברים מסוימים כמו A30 ו-A49 בהתייחס לזוגיות המיקום וסיכום איברים במספר שישים ואחד תוך הפרדה לסדרות משנה ולחישוב סכומם בנפרד.

תרגול קצר

חישוב a1 מתוך כלל נסיגה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרת a עם כלל הנסיגה a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1) ו-a2 = 3. חשב את a1.

הצבהחישוב איבר ראשוןכלל נסיגה

רמז: הציב n=1 בנוסחה, הצג משוואה עם a1 ופתור.

פתרון מלא

תשובה סופית: 6

a2 = 3 = 5*1 + 4 - a1 \Rightarrow 3 = 9 - a1 \Rightarrow a1 = 6.

הוכחת ההפרש בין איברים בסדרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

הוכח כי ההפרש a_(n+2) - a_n בסדרה הנתונה שווה ל-5.

הוכחההפרש סדרהכלל נסיגה

רמז: הציב n+1 במקום n בנוסחה והשווה ל-a_n.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5

a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1). הצב n+1 במקום n: a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1). הפרש: a_(n+2) - a_n = [5(n+1)+4 - a_(n+1)] - a_n = 5, על פי כלל הנתון.

חישוב A30 בסדרה לא חשבונית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן שהסדרה A אינה חשבונית, מצא את A30 בהתחשב בכך שמקומות הזוגיים מהווים סדרה חשבונית נפרדת.

איבר מסויםסדרה לא חשבוניתסדרת זוגייםנוסחה חשבונית

רמז: חשוב לחשב את מספר האיברים בסדרה הזוגית עד A30 ולהשתמש בנוסחת סדרה חשבונית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 73

A30 הוא האיבר ה־15 במיקום זוגי. האיבר הראשון במיקומים זוגיים הוא A2=3, ההפרש D=5, לכן: A30 = A2 + (15-1)*D = 3 + 14*5 = 3 + 70 = 73.

חישוב סכום 51 איברים בסדרה מחולקת

רמת קושי: בגרות

ממתין

חשב את סכום A1 + A2 + A3 + ... + A51 כאשר הסדרה A אינה חשבונית, והפרד בין האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.

סכום סדרהסדרה לא חשבוניתהפרדהסכום אברי זוגיים ואי זוגיים

רמז: חשב סכום נפרד לסדרה האי זוגית ולסדרה הזוגית וחבר בין התוצאות בסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3356

מספר איברים אי זוגיים עד A51 הוא 26, מספר איברים זוגיים 25. סכום האיברים האי זוגיים: S_א = 26/2 * (2*6 + (26-1)*5) = 13 * (12 + 125) = 13*137 = 1781. סכום האיברים הזוגיים: S_ז = 25/2 * (2*3 + (25-1)*5) = 12.5 * (6 + 120) = 12.5*126=1575. סכום כולל: 1781 + 1575 = 3356.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון חישוב a1 מתוך כלל נסיגה

חישוב איבר ראשון בסדרה עם כלל נסיגה נתון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא a1

  2. נתון 1

    נתון 1

    a2=3
  3. נתון 2

    נתון 2

    a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1)
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הציבו n=1 בנוסחת כלל הנסיגה ופתרו את המשוואה להתמצאות a1.

  5. נוסחה

    הנוסחה הכללית היא a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1)

    a_(n+2) = 5*(n+1) + 4 - a_(n+1)a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1)a_n+2 = 5(n+1) + 4 - a_n+1
  6. משוואה

    מחליפים a2 ב-3 במשוואה.

    מחליפים a2 ב-3 במשוואה.

    3 = 9 - a_1
  7. פישוט

    בודקים את ערך a1

    בודקים את ערך a1

    a_1 = 6
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בודקים שהערך מתאים לנתונים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת כלל הנסיגה

מה עושים

הנוסחה הכללית היא a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1)

למה

הנוסחה מציינת קשר בין איברי הסדרה במרווח של 2.

השורש להבנת הסדרה הוא שקשר בין איבר ל-a_(n+2) תלוי ב-a_(n+1) ו-n.

נוסחה / הצבה

a_(n+2) = 5*(n+1) + 4 - a_(n+1)a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1)a_n+2 = 5(n+1) + 4 - a_n+1

הבין שמדובר במידה כלשהי של סדרה עם תלות בעבר.

2

בחירת שיטה

הצבת n=1

מה עושים

נכין משוואה עם נתוני a2 ו-n=1.

למה

כי a2 זה a_(1+1) ולכן אפשר להציב n=1 לקבלת משוואה עם a1.

מחליפים n=1 בנוסחה כדי לקבל ביטוי שכולל את a1.

נוסחה / הצבה

a_2 = 5*1 + 4 - a_1a_2 = 5 * 1 + 4 - a_1

השתמש במידע הנתון כדי ליצור משוואה לפתרון.

3

בניית משוואה

שימוש בנתון a2=3

מה עושים

מחליפים a2 ב-3 במשוואה.

למה

ידוע ש-a2=3 לפי הנתונים, מטבע הדברים הדבר מאפשר פתרון.

משוואת החיבור היא 3 = 9 - a1.

נוסחה / הצבה

3 = 9 - a_1

התמקד בביטוי והפוך את המשוואה לפתירה.

4

פתרון

פתירת המשוואה

מה עושים

בודקים את ערך a1

למה

כדי למצוא את הערך המבוקש של האיבר הראשון בסדרה.

a1 = 9 - 3 = 6.

נוסחה / הצבה

a_1 = 6

נרשם הערך שמקבל פתרון למשוואה.

5

בדיקה

אימות התוצאה

מה עושים

בודקים שהערך מתאים לנתונים.

למה

כדי לוודא שאין טעות בפיתרון.

על ידי הצבה חוזרת של a1=6, מתקבל a2=3 – הנתון המקורי.

אל תשכח לבדוק תמיד את התוצאה.

פתרונות כלליים

  • חישוב a1 מתוך כלל נסיגה: a2 = 3 = 5*1 + 4 - a1 \Rightarrow 3 = 9 - a1 \Rightarrow a1 = 6.
  • הוכחת ההפרש בין איברים בסדרה: a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1). הצב n+1 במקום n: a_(n+2) = 5(n+1) + 4 - a_(n+1). הפרש: a_(n+2) - a_n = [5(n+1)+4 - a_(n+1)] - a_n = 5, על פי כלל הנתון.
  • חישוב A30 בסדרה לא חשבונית: A30 הוא האיבר ה־15 במיקום זוגי. האיבר הראשון במיקומים זוגיים הוא A2=3, ההפרש D=5, לכן: A30 = A2 + (15-1)*D = 3 + 14*5 = 3 + 70 = 73.
  • חישוב סכום 51 איברים בסדרה מחולקת: מספר איברים אי זוגיים עד A51 הוא 26, מספר איברים זוגיים 25. סכום האיברים האי זוגיים: S_א = 26/2 * (2*6 + (26-1)*5) = 13 * (12 + 125) = 13*137 = 1781. סכום האיברים הזוגיים: S_ז = 25/2 * (2*3 + (25-1)*5) = 12.5 * (6 + 120) = 12.5*126=1575. סכום כולל: 1781 + 1575 = 3356.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.