וידאו · סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ג2. סדרת נסיגה
ג3. סדרת נסיגה
ג4. סדרת נסיגה
ג5. סדרת נסיגה
ג6. סדרת נסיגה
ג7. סדרת נסיגה
ג8. סדרת נסיגה
ג9. סדרת נסיגה
ג10. סדרת נסיגה
ג11. סדרת נסיגה
ג12. סדרת נסיגה
ד1. שאלות שונות בסדרות
ד2. שאלות שונות בסדרות
ד3. שאלות שונות בסדרות
חישוב חמשת האיברים הראשונים של סדרת a
רמת קושי: קל
בהינתן a1 = 1/3 והכלל a_{n+1} = a_n חלקי (3a_n + 1), מצא את חמשת האיברים הראשונים של הסדרה a.
רמז: הציב n=1 כדי לחשב a2, השתמש בתוצאות כדי לחשב את a3, המשך כך.
תשובה סופית: 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15
a1 = 1/3 a2 = a1 / (3 * a1 + 1) = (1/3) / (3 * (1/3) + 1) = (1/3) / (1 + 1) = (1/3) / 2 = 1/6 a3 = a2 / (3 * a2 + 1) = (1/6) / (3 * (1/6) + 1) = (1/6) / (0.5 + 1) = (1/6) / 1.5 = 1/9 a4 = a3 / (3 * a3 + 1) = (1/9) / (3 * (1/9) + 1) = (1/9) / (1/3 + 1) = (1/9) / (4/3) = 1/12 a5 = a4 / (3 * a4 + 1) = (1/12) / (3 * (1/12) + 1) = (1/12) / (0.25 + 1) = (1/12) / 1.25 = 1/15
הוכחת הסדרה b היא חשבונית
רמת קושי: בינוני
הגדר b_n = 1 חלקי a_n פחות 1. הראה שההפרש b_{n+1} - b_n הוא קבוע.
רמז: חשב את b_{n+1} והחלף בכל מקום n ב-n+1, השתמש בכלל הנסיגה כדי להחליף את הביטוי של 1 חלקי a_{n+1}.
תשובה סופית: b_{n+1} - b_n = 3 (קבוע)
בהגדרה: b_n = 1 / a_n - 1 b_{n+1} = 1 / a_{n+1} - 1 מהכלל: a_{n+1} = a_n / (3a_n + 1) לכן: 1 / a_{n+1} = (3a_n + 1)/ a_n = 3 + 1 / a_n נציב: b_{n+1} = 3 + 1 / a_n - 1 = 2 + 1 / a_n אז ההפרש: b_{n+1} - b_n = (2 + 1 / a_n) - (1 / a_n -1) = 2 + 1 / a_n - 1 / a_n +1 = 3 סך הכל, ההפרש הוא תמיד 3, ולכן b היא סדרה חשבונית.
מציאת נוסחת האיבר הכללי עבור a_n
רמת קושי: מאתגר
בהינתן שהסדרה b היא חשבונית עם b_n = 3n - 1, והיחס שבין a_n ל-b_n הוא b_n = 1 חלקי a_n פחות 1, מצא בנוסחה מפורשת את a_n.
רמז: הציב b_n בביטוי a_n = 1 חלקי (b_n + 1).
תשובה סופית: a_n = 1 חלקי 3n
מכיוון b_n = 3n - 1 אז b_n + 1 = 3n - 1 + 1 = 3n לכן: a_n = 1 / (b_n + 1) = 1 / (3n)
הוכחת סדרת b כסדרה חשבונית ומציאת האיבר ה-13 בסדרה a
רמת קושי: בגרות
בהינתן סדרת a עם a1=1/3 וכלל נסיגה a_{n+1} = a_n חלקי (3a_n +1), וסדרה b המוגדרת על ידי b_n = 1 חלקי a_n פחות 1, הוכח שסדרה b חשבונית, מצא את נוסחת bn והשתמש בה כדי לחשב a_{13}.
רמז: הראה שההפרש של b קבוע, חשב b1, השתמש בנוסחת סדרה חשבונית, ולאחר מכן הביע את an בעזרת bn.
תשובה סופית: א) b_n = 3n -1 ב) a_{13} = 1/39
הוכחנו ש-b היא סדרה חשבונית עם הפרש d=3. חשבנו ש-b1 = 1 / a1 - 1 = 1 / (1/3) -1 = 3 -1 = 2. אז: bn = b1 + (n-1)d = 2 + (n-1)*3 = 3n -1. מכאן: a_n = 1 / (b_n +1) = 1 / (3n -1 +1) = 1 / 3n. לכן: a_{13} = 1 / (3*13) = 1 / 39.
מפת פתרון לתרגיל הוכחת הסדרה b כסדרה חשבונית ומציאת איברים בסדרה a
a1 = 1/3a_n+1 = a_n / (3a_n + 1)b_n = 1 / a_n - 1נשתמש בהגדרת b_n לחישוב ההפרש b_{n+1} - b_n ונראה שהוא קבוע, ואז נשתמש בנוסחת סדרה חשבונית כדי
a_n = 1 / (b_n + 1)a_n = (1)/(b_n +1)חשב b_{n+1} - b_n והשתמש בכלל לשם ביטול וחיבור מינוסים
d = b_n+1 - b_n = 3חשב את b_n = b_1 + (n-1)d
b_n = b_1 + (n-1) * db_n = b_1 + (n-1) dהשלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
רשום את a1, כלל הנסיגה, והגדרת b_n
למה
הגדרת היסודות לפתרון הבעיה
בחירת שיטה
מה עושים
כתוב את הביטוי לביטוי b_{n+1} על בסיס b_n והכלל
למה
צריך להציג את ההפרש בין איברים עוקבים
בניית משוואה
מה עושים
חשב b_{n+1} - b_n והשתמש בכלל לשם ביטול וחיבור מינוסים
למה
לגלות אם ההפרש קבוע או לא
נוסחה / הצבה
d = b_n+1 - b_n = 3היזהר בסימני המינוס
פתרון
מה עושים
חשב את b_n = b_1 + (n-1)d
למה
כיוון ש-b חשבונית עם הפרש קבוע d
נוסחה / הצבה
b_n = b_1 + (n-1) * db_n = b_1 + (n-1) dפתרון
מה עושים
השתמש בנוסחה an = 1 / (b_n + 1)
למה
כדי לקבל נוסחה מפורשת לסדרה a
נוסחה / הצבה
a_n = 1 / (b_n + 1)a_n = (1)/(b_n +1)תשובה
מה עושים
חשב a_{13} באמצעות הנוסחאות שמצאת
למה
לבדוק התאמה ונכונות הפתרון
נוסחה / הצבה
a_13 = 1 / (3 * 13) = 1 / 39a_13 = (1)/(3 x 13) = (1)/(39)