וידאו · סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ג10. סדרת נסיגה
ג11. סדרת נסיגה
ג12. סדרת נסיגה
ד1. שאלות שונות בסדרות
ד2. שאלות שונות בסדרות
ד3. שאלות שונות בסדרות
ד4. שאלות שונות בסדרות
ד5. שאלות שונות בסדרות
ד6. שאלות שונות בסדרות
ד7. שאלות שונות בסדרות
ד8. שאלות שונות בסדרות
ד9. שאלות שונות בסדרות
מציאת איבר כללי מסכומים חלקיים
רמת קושי: קל
נתונה סדרה שבה סכום n האיברים נתון על ידי S_n = n³ - n. מצא את האיבר a_n של הסדרה.
רמז: חישב את a_n כהפרש בין S_n ל- S_{n-1}.
תשובה סופית: a_n = 3n² - 3n + 1
a_n = S_n - S_{n-1} = (n³ - n) - ((n-1)³ - (n-1)) = נפתח סוגריים ונפשט.
חישוב ערכים באיבר כללי
רמת קושי: בינוני
בהינתן a_n = 3n² - 3n + 1, חשב את הערכים a_1, a_2, a_3, a_4.
רמז: הציבו את הערך המתאים של n בנוסחה וחישבו.
תשובה סופית: a_1=1; a_2=7; a_3=19; a_4=37
a_1 = 1, a_2 = 7, a_3 = 19, a_4 = 37
מציאת כלל נסיגה
רמת קושי: מאתגר
נתונה הסדרה עם a_n = 3n² - 3n + 1. מצא את יחס הכלל בין a_{n+1} ל-a_n, והבע את ההפרש a_{n+1} - a_n כמונום הפשוט ביותר.
רמז: חשב תחילה את a_{n+1} על ידי הצבת n+1 ונקח את ההפרש מה-a_n.
תשובה סופית: a_{n+1} - a_n = 6n
a_{n+1} = 3(n+1)² - 3(n+1) + 1 = 3n² + 6n + 3 - 3n - 3 + 1 = 3n² + 3n + 1; נוציא הפרש: a_{n+1} - a_n = (3n² + 3n +1) - (3n² - 3n +1) = 6n
חישוב מתי ההפרש יגיע לערך מסוים
רמת קושי: בגרות
נתונה סדרה עם כלל נסיגה a_{n+1} - a_n = 6n. באיזה ערך של n ההפרש יהיה שווה ל-54?
רמז: השווה 6n ל-54 ופתור עבור n.
תשובה סופית: n = 9
6n = 54 n = 9
שימוש בנוסחת הפרש בסכומים כדי לחשב את a_n
S_n = n³ - nהגדרה: a_n = S_n - S_n-1נחשב את a_n כהפרש בין סכום n איברים לסכום n-1 איברים, ונפשט כדי לקבל נוסחה מפורשת לאיבר הכללי.
a_n = n^3 - n- ( (n - 1)^3 - (n - 1) )S_n = n³ - n
פתח סוגריים וחשב: n³ - n - n³ + 3n² - 3n + 1 + n - 1
a_n = 3n^2 - 3n + 1a_n = 3n^(2) - 3n + 1a_n = 3n² - 3n + 1
a_n = 3n^2 - 3n + 1a_n = 3n^(2) - 3n + 1השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
S_n = n³ - n
למה
קיבלנו נוסחת סכום ידועה המאפשרת חישובים עתידיים
הסכום של n האיברים נקבע על פי נוסחה זו.
יש להכיר את נוסחאות סכום סדרות.
בחירת שיטה
מה עושים
a_n = S_n - S_{n-1}
למה
האיבר n הוא ההפרש בין סכום n איברים לסכום n-1 איברים
משתמשים בהגדרה של סכום החלקי כדי לבודד את האיבר המבוקש.
זהו המפתח במעבר מסכום לאיבר.
בניית משוואה
מה עושים
a_n = (n³ - n) - ((n-1)³ - (n-1))
למה
צריך להציב את הביטויים המתאימים לחשב את ההפרש.
הכנה לפישוט על ידי פתיחת הסוגריים.
נוסחה / הצבה
a_n = n^3 - n- ( (n - 1)^3 - (n - 1) )יש להקפיד לשים סוגריים נכונים.
פתרון
מה עושים
פתח סוגריים וחשב: n³ - n - n³ + 3n² - 3n + 1 + n - 1
למה
פישוט הנוסחה לקבלת ביטוי פשוט יותר של a_n
פתיחת סוגריים והסדרת איברים זה על פי זה.
נוסחה / הצבה
a_n = 3n^2 - 3n + 1a_n = 3n^(2) - 3n + 1חשוב לשים לב לסימנים במהלך הפישוט.
תשובה
מה עושים
a_n = 3n² - 3n + 1
למה
זוהי צורת הביטוי הפשוטה שמייצגת את האיבר הכללי בסדרה זו
כעת ניתן לחשב כל איבר בסדרה לפי המספר n.
נוסחה / הצבה
a_n = 3n^2 - 3n + 1a_n = 3n^(2) - 3n + 1לוודא חישוב נכון גם עבור ערכי n קטנים לבקרה.