וידאו · סדרות
ד6. שאלות שונות בסדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור העוסק בטיפול בביטויים וחישוב יחס בין סכומים בתוך סדרות, עם דגש על פירוק הסכומים לסכומי איברים מקומות זוגיים ואי-זוגיים ושימוש בלוגיקה אלגברית לפישוט יחס בין חלקי הסדרה.
- להבין כיצד לפרק סכום סדרה לסכום איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים
- לכתוב ולהבין ביטוי של יחס בין סכומי תת-סדרות במשוואה
- להשתמש בלוגיקה אלגברית לפישוט ולהשוואת ביטויים מסוג S1/S2
- לזהות ולטפל בשימוש במשתנים סימבוליים כמו K ו-S בהקשר של סדרות
- פירוק סכום הסדרה לסכומי מקומות זוגיים ואי-זוגיים: הצגה של סכום הסדרה כשילוב של סכום האיברים במקומות זוגיים ובמקומות אי-זוגיים.
- יחס בין הסכומים וניסוח משוואה: כתיבת יחס בין הסכום במקומות אי-זוגיים למקומות זוגיים והכנסתו למשוואה עם משתנה K.
- שימוש בלוגיקה ואלגברה לפישוט הביטוי: ניתוח אלגברי ושימוש בלוגיקה כדי להבין ולפשט את המשוואות, תוך פתרון השוויונות שהוגדרו.
תרגול קצר
חישוב יחס סכום איברים בסדרה
רמת קושי: קל
נתונה סדרה שבה סכום האיברים במקומות אי-זוגיים חלקי סכום האיברים במקומות זוגיים שווה ל-K פחות 1. אם סכום האיברים במקומות זוגיים הוא 10, ו-K=3, כמה סכום האיברים במקומות אי-זוגיים?
רמז: השתמש במשוואה: יחס = K - 1 והכנס את הערכים הנתונים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 20
המשוואה היא S אי-זוגיים / 10 = 3 - 1 כלומר S אי-זוגיים / 10 = 2. לכן S אי-זוגיים = 20.
פישוט משוואה בסדרה בשימוש בסכומי המקומות
רמת קושי: בינוני
נתון כי (S אי-זוגיים + S זוגיים) חלקי S זוגיים שווה ל-K, ו-known K=4. הוכח כי S אי-זוגיים / S זוגיים שווה ל-K פחות 1 ופשט את הביטוי.
רמז: השתמש בשוויון המוגדר ובפשט את הביטוי על ידי חיסור 1
פתרון מלא
תשובה סופית: S אי-זוגיים / S זוגיים = 3
התחל מהמשוואה (S אי-זוגיים + S זוגיים)/ S זוגיים = 4. פתח לסכום S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = 4. חיסר 1 משני הצדדים: S אי-זוגיים / S זוגיים = 3 = K - 1.
הוכחה של יחס בין תתי סכומים בסדרה עם אלגברה מופשטת
רמת קושי: מאתגר
בהינתן S = S זוגיים + S אי-זוגיים ו-(S אי-זוגיים + S זוגיים)/ S זוגיים = K, הוכח כי 1 + S זוגיים / S אי-זוגיים = K, והסבר מדוע ההופכי של S אי-זוגיים / S זוגיים מופיע במשוואה.
רמז: התחל מהגדרה ונסה להחליף בין משתנים על ידי השקילה בין איברי המשוואה
פתרון מלא
תשובה סופית: 1 + S זוגיים / S אי-זוגיים = K
נתון (S אי-זוגיים + S זוגיים)/ S זוגיים = K, לכן S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = K. לשם כך ניתן לכתוב 1 + S זוגיים / S אי-זוגיים = K גם משום שהמשוואה מתארת יחס ויחס הופכי, ויש לה זהות בין גילוי הסדר.
תרגיל בגרות: יחס סכומים בסדרה עם משתנה K
רמת קושי: בגרות
ידוע כי סכום האיברים במקומות אי-זוגיים חלקי סכום האיברים במקומות זוגיים ועוד 1 שווה ל-K. חשב את הערך של היחס אם K = 5 וידוע שסכום האיברים במקומות זוגיים הוא 12.
רמז: השתמש במשוואה S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = K והכנס את הערכים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 48
S אי-זוגיים / 12 + 1 = 5 כלומר S אי-זוגיים / 12 = 4, לכן S אי-זוגיים = 48.
דרך הפתרון
פתרון חישוב יחס סכומים בסדרה
פירוק והבנה אלגברית של יחס בין תתי סכומים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא S אי-זוגיים / S זוגיים
- נתון 1
נתון 1
S = S זוגיים + S אי-זוגיים - נתון 2
נתון 2
(S אי-זוגיים + S זוגיים) / S זוגיים = K - רעיון
הרעיון המרכזי
פשט את היחס הנתון למשוואה פשוטה שמבטאת את הערך המלא של היחס המבוקש.
- נוסחה
הבנת ההגדרה של S כסיכום וסימון יחס לפי K
S = S זוגיים + S אי-זוגייםS = S_זוגיים + S_אי-זוגיים - משוואה
פירוק למונחים נפרדים והכנסת 1 לצד השני
פירוק למונחים נפרדים והכנסת 1 לצד השני
S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = K(S_אי-זוגיים)/(S_זוגיים) + 1 = K - פישוט
חיסור 1 משני אגפי המשוואה
חיסור 1 משני אגפי המשוואה
S אי-זוגיים / S זוגיים = K - 1(S_אי-זוגיים)/(S_זוגיים) = K - 1 - תוצאה
מסיימים בתשובה
מציבים את מה שמצאנו ומנסחים תשובה סופית.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
כתיבת הנתונים הבסיסיים
זיהוי נתונים
כתיבת הנתונים הבסיסיים
מה עושים
הבנת ההגדרה של S כסיכום וסימון יחס לפי K
למה
חשוב להגדיר את החלקים לפני הפישוט
סך הסדרה S מורכב מסכום מקומות זוגיים ואי-זוגיים, והיחס הנתון מקשר בין חלקים אלו.
נוסחה / הצבה
S = S זוגיים + S אי-זוגייםS = S_זוגיים + S_אי-זוגייםסימון מדויק מקל על הבנת המשוואות
2בחירת שיטה
ביטוי היחס באמצעות K
בחירת שיטה
ביטוי היחס באמצעות K
מה עושים
כיתוב משוואת היחס (S אי-זוגיים + S זוגיים) חלקי S זוגיים שווה ל-K
למה
כדי לקשר את הערכים בתמונה אלגברית פשוטה
שימוש במשתנה K לביטוי היחס בין הסכומים הכוללים לסכום זוגי
נוסחה / הצבה
(S אי-זוגיים + S זוגיים) / S זוגיים = K(S_אי-זוגיים + S_זוגיים)/(S_זוגיים) = Kלזכור לפרק כל ביטוי לחלקיו
3בניית משוואה
פירוק המשוואה
בניית משוואה
פירוק המשוואה
מה עושים
פירוק למונחים נפרדים והכנסת 1 לצד השני
למה
לאפשר הפשטה ופישוט משוואה
הביטוי ניתן לכתיבה כשברים נפרדים על מנת לזהות שהיחס של הסכומים המבוקשים הוא
נוסחה / הצבה
S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = K(S_אי-זוגיים)/(S_זוגיים) + 1 = Kחשוב לדעת להוסיף ולחסר בביטויים אלגבריים
4פתרון
חישוב הערך המבוקש
פתרון
חישוב הערך המבוקש
מה עושים
חיסור 1 משני אגפי המשוואה
למה
כדי להשיג את היחס הסופי בין הסכומים
מסירים 1 משני הצדדים לקבלת התוצאה של היחס בין סכומי האיברים
נוסחה / הצבה
S אי-זוגיים / S זוגיים = K - 1(S_אי-זוגיים)/(S_זוגיים) = K - 1להיזהר בסימנים בעת חישוב
פתרונות כלליים
- חישוב יחס סכום איברים בסדרה: המשוואה היא S אי-זוגיים / 10 = 3 - 1 כלומר S אי-זוגיים / 10 = 2. לכן S אי-זוגיים = 20.
- פישוט משוואה בסדרה בשימוש בסכומי המקומות: התחל מהמשוואה (S אי-זוגיים + S זוגיים)/ S זוגיים = 4. פתח לסכום S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = 4. חיסר 1 משני הצדדים: S אי-זוגיים / S זוגיים = 3 = K - 1.
- הוכחה של יחס בין תתי סכומים בסדרה עם אלגברה מופשטת: נתון (S אי-זוגיים + S זוגיים)/ S זוגיים = K, לכן S אי-זוגיים / S זוגיים + 1 = K. לשם כך ניתן לכתוב 1 + S זוגיים / S אי-זוגיים = K גם משום שהמשוואה מתארת יחס ויחס הופכי, ויש לה זהות בין גילוי הסדר.
- תרגיל בגרות: יחס סכומים בסדרה עם משתנה K: S אי-זוגיים / 12 + 1 = 5 כלומר S אי-זוגיים / 12 = 4, לכן S אי-זוגיים = 48.