MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · סדרות

ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
46 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב24. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב25. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב26. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ג1. סדרת נסיגה

וידאו

ג2. סדרת נסיגה

וידאו

ג3. סדרת נסיגה

וידאו

ג4. סדרת נסיגה

וידאו

ג5. סדרת נסיגה

וידאו

ג6. סדרת נסיגה

סיכום שיעור

  • שיעור המתמקד בניתוח ופתרון תרגיל בסדרה הנדסית עם שני נברים, כולל עבודה עם נוסחאות סכום איברים ופתרון משוואות.
  • הבנת הגדרות הסדרה ההנדסית עם שני נברים
  • ידע על נוסחאות סכום הסדרה והחלקים שבה
  • כישורי פרשנות ופתרון משוואות בסדרה הנדסית
  • הבנת תהליכי צמצום ויחס סכומי תת-סדרות
  • הגדרות ומונחים בסיסיים בסדרה הנדסית: הצגת איברי הסדרה כמו A1, A2, AN, והבנת מיקומם ביחס לסדרה.
  • נוסחאות סכום הסדרה וחלקיה: הבנת נוסחאות סכום כל הסדרה וסכום n האיברים האחרונים, והגדרת המשתנים Q ו-N.
  • פתרון וצמצום משוואות מתמטיות בסדרה: שימוש בכפל מקוצר ופישוט משוואות לקבלת ערכי Q ופתרונות נוספים של הסדרה.
  • השוואת סכומים וניתוח יחסים בין תת-סדרות: חישוב היחס בין סכום כל הסדרה לסכום n האיברים הראשונים באמצעות חילוק וניתוח התוצאה.

תרגול קצר

חישוב סכום n האיברים הראשונים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית עם איבר ראשון A1 ומנה Q. חשב את סכום n האיברים הראשונים בסדרה.

סדרה הנדסיתסכום איבריםבסיס

רמז: השתמש בנוסחת סכום הסדרה ההנדסית S_n = A_1 * (Q^n - 1) / (Q - 1).

פתרון מלא

תשובה סופית: S_n = A_1 * (Q^n - 1) / (Q - 1)

הכנס את הערכים הנתונים של A1, Q, ו-n לנוסחה וחישב את התוצאה.

יחס סכום כל הסדרה לסכום n האיברים הראשונים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן סדרה הנדסית עם 2n איברים, מצא פי כמה סכום כל הסדרה גדול מסכום n האיברים הראשונים.

סדרה הנדסיתיחסי סכומיםחילוק

רמז: חשב את סכום כל הסדרה וסכום n האיברים הראשונים בנפרד ולאחר מכן חלק את הראשון בשני.

פתרון מלא

תשובה סופית: היחס שווה ל-Q^(n+1) (כפי שנמצא בפתרון במידה ו-Q ו-n ידועים).

חשב את שתי הסכומים לפי הנוסחות המתאימות ואז בצע חילוק לקבל את היחס.

פתרון משוואה בסדרה הנדסית עם חילוץ ערכי Q

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בסדרה הנדסית הנתונה, פתר משוואה הכוללת ביטויים של Q בחזקות שונות כדי למצוא את ערך Q.

סדרה הנדסיתפתרון משוואותכפל מקוצר

רמז: השתמש בכפל מקוצר וצמצום ביטויים כדי לפשט ולפתור עבור Q.

פתרון מלא

תשובה סופית: Q = 64 (דוגמה מתומלל השיעור)

החלף ביטויים במשתנים נוחים, השתמש בכפל מקוצר ואפס את המשוואה לפתרון.

פי כמה סכום כל הסדרה גדול מסכום n הראשונים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה סדרה הנדסית עם n איברים וערך מנת Q. חשב את היחס בין סכום כל הסדרה לסכום n האיברים הראשונים.

סדרה הנדסיתחובות בגרותיחסים

רמז: חשב בנפרד את הסכומים באמצעות נוסחת סכום הסדרה והשתמש בחילוק לקבל יחס.

פתרון מלא

תשובה סופית: היחס בין שני הסכומים הוא Q^(n+1)

כתוב נוסחאות סכום כל הסדרה וסכום n האיברים הראשונים, חלק את הראשון בשני ופשט.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית עם שני נברים

איך לגשת לשאלה על יחס בין סכומי סדרות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא היחס בין סכום כל הסדרה לסכום n האיברים הראשונים

  2. נתון 1

    סדרה הנדסית עם 2n איברים

  3. נתון 2

    איבר ראשון A1

  4. נתון 3

    מנה Q

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    חשב סכום כל הסדרה וסכום n האיברים הראשונים לפי הנוסחאות, ואז חשב את היחס ביניהם באמצעות חילוק.

  6. נוסחה

    סכום כל הסדרה שווה ל A1 כפול (Q^(2n) -1)/(Q -1), וסכום n הראשונים שווה ל

    S_all = A1 * (Q^(2n) - 1) / (Q - 1)S_n = A1 * (Q^(n) - 1) / (Q - 1)
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    חלק את סכום כל הסדרה בסכום n הראשונים

    חלק את סכום כל הסדרה בסכום n הראשונים

    Ratio = S_all / S_n= (Q^(2n) - 1) / (Q^n - 1)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדר את הנתונים

מה עושים

נגדיר את האיברים A1, הערך Q ומספר האיברים 2n

למה

חשוב לדעת במה אנחנו משתמשים כדי לכתוב משוואות ברורות

מסמנים את הסדרה ומוכנים להשתמש בנוסחאות הסכום.

2

בחירת שיטה

השתמש בנוסחאות סכום

מה עושים

כתוב את נוסחת סכום כל הסדרה ונוסחת סכום n האיברים הראשונים

למה

כדי לקבל ביטויים אלגבריים לחישוב הסכומים

נוסחאות אלו תאפשרנה חישוב וניתוח ההבדל ביניהם.

3

בניית משוואה

נוסחת סכום כל הסדרה וסכום n ראשונים

מה עושים

סכום כל הסדרה שווה ל A1 כפול (Q^(2n) -1)/(Q -1), וסכום n הראשונים שווה ל A1 כפול (Q^n -1)/(Q -1)

למה

נוסחאות אלו מגדירות את הסכומים במונחים של A1, Q, ו-n

נוסחה / הצבה

S_all = A1 * (Q^(2n) - 1) / (Q - 1)S_n = A1 * (Q^(n) - 1) / (Q - 1)
4

פתרון

חשב את היחס בין הסכומים

מה עושים

חלק את סכום כל הסדרה בסכום n הראשונים

למה

כדי לקבל פי כמה סכום כל הסדרה גדול מסכום n הראשונים

מבצעים ביטול ונפשט לביטוי Q בחזקות

נוסחה / הצבה

Ratio = S_all / S_n= (Q^(2n) - 1) / (Q^n - 1)

שימו לב לביטול גורמים משותפים

5

פתרון

פשט את היחס

מה עושים

השתמש באלגברה על מנת לפשט את הביטוי ולקבל את היחס בפורמט ידידותי

למה

הבנה של יחס פשוט ותוצאה מעשית

בסיום, היחס הוא בערך Q^n + 1 לחזקת משהו, בהתאם לערכי n ו-Q

נוסחה / הצבה

Ratio = Q^n + 1 (לפי הערכת התרגיל)

זכור להביא דוגמאות מספריות לאימות

פתרונות כלליים

  • חישוב סכום n האיברים הראשונים: הכנס את הערכים הנתונים של A1, Q, ו-n לנוסחה וחישב את התוצאה.
  • יחס סכום כל הסדרה לסכום n האיברים הראשונים: חשב את שתי הסכומים לפי הנוסחות המתאימות ואז בצע חילוק לקבל את היחס.
  • פתרון משוואה בסדרה הנדסית עם חילוץ ערכי Q: החלף ביטויים במשתנים נוחים, השתמש בכפל מקוצר ואפס את המשוואה לפתרון.
  • פי כמה סכום כל הסדרה גדול מסכום n הראשונים: כתוב נוסחאות סכום כל הסדרה וסכום n האיברים הראשונים, חלק את הראשון בשני ופשט.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.