MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · סדרות

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
45 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב24. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב25. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב26. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ג1. סדרת נסיגה

וידאו

ג2. סדרת נסיגה

וידאו

ג3. סדרת נסיגה

וידאו

ג4. סדרת נסיגה

וידאו

ג5. סדרת נסיגה

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד כיצד לפרש ולפתור תרגיל בסדרה הנדסית הכולל סכום של חלקים שונים בסדרה, תוך שימוש במשוואות מעריכיות וטרינומים.
  • להבין משמעות של סכומים של N איברים ראשונים ואחרונים בסדרה הנדסית.
  • לפתח יכולת להמיר ניסוחים מילוליים לשפה מתמטית בהקשר של סדרות הנדסיות.
  • לתרגל בנייה ופתרון של משוואות מעריכיות וטרינומיות בהתבסס על נתוני הסדרה.
  • להבין את הקשר בין איברי הסדרה לחזקות ומנה.
  • ליישם ידע בשימוש בנוסחאות סכום סדרות הנדסיות.
  • הבנת השאלה והניסוח: הסבר על משמעות המושגים 'N הראשונים' ו-'N האחרונים' בסדרה והמחשה עם דוגמאות מספריות כדי להבין את מיקום וקצה האיברים הרלוונטיים.
  • המרת המידע לשפה מתמטית: תהליך הפיכת ניסוח מילולי למערכת משוואות באמצעות הגדרת נתונים, כמו ערך האיבר הראשון, המנה ותנאי סכומים.
  • בניית המשוואות ופתרונן: השימוש בנוסחאות הסכום של סדרות הנדסיות לבניית משוואה מעריכית והמרה לטרינום לפתרון.

תרגול קצר

הכרת נתוני הסדרה ההנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

בסדרה הנדסית, נתון האיבר הראשון a1=5 והמנה q=2. חשבו את האיבר העשירי.

סדרה הנדסיתאיבר כללי

רמז: השתמשו בנוסחה לאיבר הכללי בסדרה הנדסית a_n = a_1 * q^(n-1).

פתרון מלא

תשובה סופית: 2560

a_10 = 5 * 2^(10-1) = 5 * 2^9 = 5 * 512 = 2560.

סכום איברים ראשונים בסדרה הנדסית

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה הנדסית עם a1=5 ו-q=2, חשבו את סכום 10 האיברים הראשונים.

סכום סדרה הנדסיתסכום N איברים

רמז: השתמשו בנוסחה לסכום סדרה הנדסית: S_n = a1 * (q^n - 1)/(q -1).

פתרון מלא

תשובה סופית: 5115

S_10 = 5 * (2^{10} - 1)/(2 - 1) = 5 * (1024 - 1)/1 = 5 * 1023 = 5115.

פתרון משוואה מעריכית בסדרה הנדסית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בסדרה הנדסית a1=5, q=2, סכום 17 האיברים הראשונים קטן בסכום 17 האיברים האחרונים ב-19845. מצאו את מספר האיברים הכולל N.

סדרה הנדסיתמשוואה מעריכיתפתרון משוואות

רמז: הגדירו t = 2^n, והשתמשו בנוסחאות סכום הסדרה כדי להקים משוואה ופתרו אותה כמשוואה ריבועית.

פתרון מלא

תשובה סופית: n=12 (כפי שהתקבל בפתרון המשוואה המעריכית).

נסמן t=2^n ואז נגיע למשוואה מסוג 5 t^2 - 5 t + 19845 = 0. פתרון המשוואה ייתן את t, ומשם n.

תרגיל בגרות בסדרה הנדסית - סכומים והפרשים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה הנדסית שבה האיבר הראשון 5 והמנה 2, סכום 17 האיברים הראשונים קטן בסכום 17 האיברים האחרונים ב-19845. מצאו את מספר האיברים הכולל בסדרה.

בגרותסדרה הנדסיתסכום איבריםמשוואה ריבועית

רמז: השתמשו בנוסחאות סכום סדרה והגדירו t=2^n כדי לקבל משוואה ריבועית לפתרון.

פתרון מלא

תשובה סופית: 12

נסמן t=2^n ונמצא משוואה ריבועית שתיפטר בפתרון t ואז נחזור ל-n. הפתרון המתאים הוא n=12.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית עם סכומי N ראשונים ואחרונים

תרגיל הכולל הבנת מיקום הסכומים ופתרון משוואה מעריכית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מספר האיברים הכולל N בסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    a1 = 5
  3. נתון 2

    נתון 2

    q = 2
  4. נתון 3

    נתון 3

    הפרש סכום 17 האיברים הראשונים והאחרונים = 19845
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להביע את סכומי האיברים הראשונים והאחרונים בעזרת נוסחאות סדרה הנדסית, להגדיר משתנה עזר t=2^n

  6. נוסחה

    ביטוי ההפרש שבין סכום 17 האיברים הראשונים לסכום 17 האיברים האחרונים שווה

    S17 - S_last_17 = 19845S_17 - S_17,אחרונים = 19845
  7. משוואה

    מכיוון שהמנה היא 2, נגדיר t := 2^n כדי לפשט את המשוואה

    מכיוון שהמנה היא 2, נגדיר t := 2^n כדי לפשט את המשוואה

  8. פישוט

    פותרים את המשוואה הריבועית המתקבלת ב-t ומחזירים את הערך ל-n

    פותרים את המשוואה הריבועית המתקבלת ב-t ומחזירים את הערך ל-n

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הצגת הנתונים

מה עושים

רושמים את a1=5 ואת המנה q=2 ומפרשי הסכומים

למה

כדי להבין את ערכי בסיס הסדרה והפרש הסכומים הנתון

נתוני התרגיל כוללים את האיבר הראשון, את המנה ואת הפרש הסכומים של 17 האיברים הראשונים והאחרונים

2

בחירת שיטה

הגדרת סכומי 17 האיברים הראשונים והאחרונים

מה עושים

מנסחים בנוסחה את סכום 17 האיברים הראשונים והסכום של 17 האיברים האחרונים.

למה

כדי לבטא את ההפרש הנתון במונחים מתמטיים

סכום האיברים הראשונים S_n והאחרונים תלויים ב-a1, q ובמספר האיברים הכללי N

לזכור שהאיבר האחרון הוא a_N = a1 * q^(N-1)

3

בניית משוואה

כתיבת משוואת ההפרש

מה עושים

ביטוי ההפרש שבין סכום 17 האיברים הראשונים לסכום 17 האיברים האחרונים שווה ל-19845

למה

משוואה זו מקשרת בין מספר האיברים לנתון הנתון בפרש הסכומים

משתמשים בנוסחאות הסכום של סדרה הנדסית לבניית המשוואה

נוסחה / הצבה

S17 - S_last_17 = 19845S_17 - S_17,אחרונים = 19845
4

פתרון

החלפת t = 2^n

מה עושים

מכיוון שהמנה היא 2, נגדיר t := 2^n כדי לפשט את המשוואה

למה

כדי להפוך את המשוואה המעריכית לטרינום שניתן לפתור

השימוש ב-t מפשט חזקות עם בסיס 2 כדי לקבל משוואה ריבועית.

לזהות שכפל וחזקות יכולות להפוך לאלגברה פשוטה יותר

5

פתרון

פתרון למשוואה ריבועית ב-t

מה עושים

פותרים את המשוואה הריבועית המתקבלת ב-t ומחזירים את הערך ל-n

למה

כדי למצוא את מספר האיברים הכולל N בסדרה

המשוואה הריבועית תפטר ותחזיר ערך t, ואז ב-n = לוגריתם בסיס 2 של t

להיזהר בהתחשב בערכים תקפים בלבד

6

תשובה

מספר האיברים הכולל N

מה עושים

מסכמים את הפתרון שמראה ש-N=12

למה

זו התשובה לסוגיית מספר האיברים בסדרה לפי הנתונים

מספר האיברים הכולל בסדרה הוא 12

פתרונות כלליים

  • הכרת נתוני הסדרה ההנדסית: a_10 = 5 * 2^(10-1) = 5 * 2^9 = 5 * 512 = 2560.
  • סכום איברים ראשונים בסדרה הנדסית: S_10 = 5 * (2^{10} - 1)/(2 - 1) = 5 * (1024 - 1)/1 = 5 * 1023 = 5115.
  • פתרון משוואה מעריכית בסדרה הנדסית: נסמן t=2^n ואז נגיע למשוואה מסוג 5 t^2 - 5 t + 19845 = 0. פתרון המשוואה ייתן את t, ומשם n.
  • תרגיל בגרות בסדרה הנדסית - סכומים והפרשים: נסמן t=2^n ונמצא משוואה ריבועית שתיפטר בפתרון t ואז נחזור ל-n. הפתרון המתאים הוא n=12.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.