הלימוד עוסק בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית הכולל יצירת משוואות לנעלמים, הפיכתן לנוסחאות, שימוש בחלוקת משוואות למציאת יחס ההפרש (q) והאיבר הראשון (a1), ובדיקת נכונות הפתרון.
הבנת ייצוג הסדרה ההנדסית בעזרת האיברים a1, q
יצירת משוואות המתארות את יחס הסדרה ואת סכום האיברים
שימוש בחלוקת משוואות לפישוט ופתרון משוואה עם נעלם אחד
חישוב ערכי a1 ו-q
ווידוא נכונות הפתרון באמצעות החזרה לתנאים הנתונים
הגדרת איברי הסדרה: הגדרת האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית והקשר ביניהם באמצעות a1 ו-q.
יצירת משוואות מתוך התנאים: הפיכת התיאור המילולי של הסכומים ומשוואות הקשר למספרים לנוסחאות מתמטיות.
חיסול נעלמים ופתרון המשוואה: הפעלת פעולות על המשוואות כדי לבודד את נעלם היחיד q ולפתור את המשוואה.
חישוב a1 ובדיקת התוצאה: החזרת ערך q שחושב לתוך משוואת הסכום למציאת a1 ובדיקת התקינות.

תרגול קצר

הגדרת איברי הסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן שסכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית שווה 380, מה הצורה הפונקציונלית של האיברים a2 ו-a3 ביחס ל-a1 ו-q?

סדרה הנדסיתהגדרת איבריםבסיס

רמז: השתמש בהגדרת הסדרה ההנדסית: כל איבר שווה לאיבר הקודם כפול q.

פתרון מלא

תשובה סופית: a2 = a1 * q, a3 = a1 * q^2

a2 = a1 * q ; a3 = a1 * q^2

יצירת המשוואות

רמת קושי: בינוני

ממתין

הפוך את הנתון "סכום שלושת האיברים שווה 380" ואת התנאי "סכום שני הראשונים גדול ב-20 מהשלישי" למערכת משוואות עבור a1 ו-q.

שימוש בתנאיםיצירת משוואותביניים

רמז: רשום סכום שלושת האיברים והניח שקיים יחס q בין האיברים.

פתרון מלא

תשובה סופית: מערכת משוואות: a1(1 + q + q^2) = 380 a1(1 + q - q^2) = 20

a1 + a1*q + a1*q^2 = 380 (a1 + a1*q) - a1*q^2 = 20

פתרון המשוואות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את ערכי q ו-a1 מהמערכת הנתונה על ידי חלוקת המשוואות ופישוטם.

פתרון משוואותחלוקת משוואותריבועית

רמז: חלק משוואה למשוואה כדי לבטל את a1, ואז פתר משוואה ריבועית לקבלת q. לאחר מכן חזר וחישב a1.

פתרון מלא

תשובה סופית: q = 1.5 ; a1 = 80

(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 380 / 20 = 19 פתור 20 q^2 - 18 q -18 = 0 q = 1.5 חשב a1: a1 * (1 + 1.5 + 1.5^2) = 380 => a1 = 80

בדיקת נכונות הפתרון

רמת קושי: בגרות

ממתין

באמצעות הערכים שמצאת ל-a1 ול-q, בדוק האם סכום שלושת האיברים באמת שווה 380 והאם סכום שני הראשונים גדול ב-20 מהשלישי.

בדיקת פתרוןווידואבגרות

רמז: חשב את a2 ו-a3 עם הערכים, סכם את כולם והשווה לערכים שנתונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הבדיקות מתקיימות - הפתרון תקין

a2 = 80 * 1.5 = 120 a3 = 80 * 1.5^2 = 180 סכום = 80 + 120 + 180 = 380 בדוק: (80 + 120) - 180 = 20

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל של סדרה הנדסית

שלושת האיברים הראשונים וסכומם

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מצא את יחס ההפרש q / חשב את האיבר הראשון a1
נתון 1
נתון 1
סכום a1 + a2 + a3 = 380
נתון 2
נתון 2
(a1 + a2) - a3 = 20
רעיון
הרעיון המרכזי
הפוך את הנתונים למשוואות, חלק את המשוואות לפישוט ופתור משוואה ריבועית לערך q, ואז חשב את a1.
נוסחה
כתוב משוואות לסכום שלושת האיברים ולתנאי ההפרש.
a1 + a1*q + a1*q^2 = 380a1 + a1*q - a1*q^2 = 20
משוואה
חלק את המשוואות זו בזו כדי לקבל משוואה עם נעלם אחד q בלבד.
חלק את המשוואות זו בזו כדי לקבל משוואה עם נעלם אחד q בלבד.
(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 380/20(1 + q + q^2)/(1 + q - q^2) = (380)/(20)
פישוט
הפוך והכפל כדי לקבל משוואה ריבועית ופתור עבור q.
הפוך והכפל כדי לקבל משוואה ריבועית ופתור עבור q.
20 q^2 - 18 q - 18 = 0
תוצאה
מסיימים בתשובה
הצבת q במשוואת הסכום הראשוני, פתור ל-a1.
a1 * (1 + q + q^2) = 380a1 (1 + q + q^2) = 380

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני הסדרה

מה עושים

a1 הוא האיבר הראשון, a2 = a1 q, a3 = a1 q בריבוע.

למה

מגדירים את הסדרה ההנדסית בעזרת a1 ו-q.

זיהוי נתונים

תנאי סכומים

מה עושים

הסכום של שלושת האיברים שווה 380, והסכום של שני הראשונים גדול ב-20 מהשלישי.

למה

מתרגמים את הנתונים למספרים כדי לבנות משוואות.

בניית משוואה

כתיבת המשוואות

מה עושים

כתוב משוואות לסכום שלושת האיברים ולתנאי ההפרש.

למה

כדי לבטא את התכונות הנדרשות של הסדרה במשוואות מתמטיות.

נוסחה / הצבה

a1 + a1*q + a1*q^2 = 380a1 + a1*q - a1*q^2 = 20

פתרון

חלוקת המשוואות

מה עושים

חלק את המשוואות זו בזו כדי לקבל משוואה עם נעלם אחד q בלבד.

למה

הפשטת הבעיה באמצעות ביטול a1 וקבלת משוואה ריבועית.

נוסחה / הצבה

(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 380/20(1 + q + q^2)/(1 + q - q^2) = (380)/(20)

חלוקת המשוואות מפשטת את הפתרון.

פתרון

פתרון המשוואה

מה עושים

הפוך והכפל כדי לקבל משוואה ריבועית ופתור עבור q.

למה

כדי למצוא את היחס q שמהווה את הפרש הסדרה.

נוסחה / הצבה

20 q^2 - 18 q - 18 = 0

שימוש בנוסחת השורשים או פירוק.

פתרון

חישוב a1

מה עושים

הצבת q במשוואת הסכום הראשוני, פתור ל-a1.

למה

למצוא את האיבר הראשון של הסדרה.

נוסחה / הצבה

a1 * (1 + q + q^2) = 380a1 (1 + q + q^2) = 380a_1 (1 + q + q^2) = 380

פתרונות כלליים

הגדרת איברי הסדרה: a2 = a1 * q ; a3 = a1 * q^2
יצירת המשוואות: a1 + a1*q + a1*q^2 = 380 (a1 + a1*q) - a1*q^2 = 20
פתרון המשוואות: (1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 380 / 20 = 19 פתור 20 q^2 - 18 q -18 = 0 q = 1.5 חשב a1: a1 * (1 + 1.5 + 1.5^2) = 380 => a1 = 80
בדיקת נכונות הפתרון: a2 = 80 * 1.5 = 120 a3 = 80 * 1.5^2 = 180 סכום = 80 + 120 + 180 = 380 בדוק: (80 + 120) - 180 = 20

הפריט הקודם הפריט הבא

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מצא את יחס ההפרש q / חשב את האיבר הראשון a1

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

כתוב משוואות לסכום שלושת האיברים ולתנאי ההפרש.

חלק את המשוואות זו בזו כדי לקבל משוואה עם נעלם אחד q בלבד.

הפוך והכפל כדי לקבל משוואה ריבועית ופתור עבור q.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני הסדרה

תנאי סכומים

כתיבת המשוואות

חלוקת המשוואות

פתרון המשוואה

חישוב a1

פתרונות כלליים