שיעור זה מתמקד בחקירה טריגונומטרית של פונקציה, בדגש על מציאת נקודות קיצון באמצעות נגזרת, זיהוי מינימום ומקסימום בעזרת בחינת סימני הנגזרת ושימוש במחשבונים.
להבין כיצד לגזור פונקציה טריגונומטרית ולזהות נקודות קיצון
לחבר משוואות נגזרת ולהבין את משמעותן
לזהות נקודות קיצון מקסימום ומינימום דרך סימני הנגזרת
להשתמש במחשבונים להצבה ובדיקת ערכים
לנתח פונקציות בתחום נתון ולאתר נקודות חיתוך עם ציר ה-x
גזירת פונקציה טריגונומטרית ונוסחאות זהות: חזרה על נגזרת הפונקציה הכוללת ביטויי קוסינוס בריבוע והקשר לזהות טריגונומטרית של קוסינוס 2x.
מציאת נקודות קיצון ומציאת פתרונות: מציאת נקודות שבהן נגזרת הפונקציה שווה לאפס ומשמעותם כנקודות קיצון, והצבת ערכים בתחום לבדיקה.
בדיקת סימני נגזרת וזיהוי נקודות קיצון: שימוש ב''הצביעי החצים'' במחשבונים ובבחינת סימני הנגזרת כדי לקבוע אם הנקודות הן נקודות מקסימום או מינימום.
סקירה וציור גרף הפונקציה: הכנת ציור המדגים נקודות הקיצון, תחום ההגדרה והמינימום והמקסימום שנמצאו.

תרגול קצר

פתרון המשוואה cos(2x) = 0 בתחום מוגדר

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה cos(2x) = 0 בתחום -π/2 ≤ x ≤ π/2.

טריגונומטריהפתרון משוואותנקודות קיצון

רמז: השתמש בזהות cos(2x) = 0 ⇒ 2x = π/2 + πk

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -π/4, x = π/4

מהמשוואה נובע ש-2x = π/2 + πk ולכן x = π/4 + πk/2. בתחום הנתון בודקים ערכים k = -1, 0, 1 ומוצאים את הפתרונות הרלוונטיים: ״x = -π/4, x = π/4״.

מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: בינוני

ממתין

למצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה y כאשר y' = 1/ cos^2(x) - 2 ולזהות אם כל נקודה היא מקסימום או מינימום בתחום -π/2 ≤ x ≤ π/2.

נגזרותנקודות קיצוןטריגונומטריה

רמז: חשב את נקודות שבהן הנגזרת שווה ל-0, השתמש במחשבון להצבת נקודות הסמוכות ובדוק סימני נגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x ≈ -π/4 (מקסימום) ו-x ≈ π/4 (מינימום)

נמצא את x שהופכים את הנגזרת לאפס: 1/ cos^2(x) - 2 = 0 ⇒ 1/ cos^2(x) = 2 ⇒ cos^2(x) = 1/2 ⇒ cos(x) = ± 1/√2. לכן x ≈ ±π/4. נבדוק סימני נגזרת סביבה: בקטעים סביב x=-π/4 ו-x=π/4 כדי לקבוע עלייה וירידה. מסקנתנו היא שמדובר בנקודות מינימום ומקסימום בהתאם לסימן הנגזרת לפני ואחרי.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודות קיצון בפונקציה y

חקירה טריגונומטרית של נגזרת הפונקציה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ניקוד נקודות שבהן y' = 0 / זיהוי האם כל נקודה היא מינימום או מקסימום
נתון 1
נתון 1
הנגזרת y' = 1/ cos^2(x) - 2
נתון 2
תחום ההגדרה -π/2 ≤ x ≤ π/2
רעיון
הרעיון המרכזי
נפתור y' = 0, נמצא את ערכי x בתחום, נבדוק סימני y' משני עברי נקודות אלו.
נוסחה
מקבלים cos^2(x) = 1/2 ⇒ cos(x) = ±1/√2
cos^2(x) = 1 / 2cos(x) = plus or minus 1 over square root of 2cos^2(x) = 1/2cos(x) = ± 1/sqrt(2)^2(x) = (1)/(2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
x = ±π/4 בתחום הנתון
x = ±π/4 בתחום הנתון
x = pi over 4x = minus pi over 4
תוצאה
מסיימים בתשובה
מוצבים ערכים בסמיכות לנקודות ומחשבים y'

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנגזרת והתחום

מה עושים

מביאים את הנגזרת y' וה תחום x

למה

כדי להגדיר את הבעיה במסגרת

נתונים y' = 1/ cos^2(x) - 2, תחום -π/2 עד π/2

בחירת שיטה

פתרון המשוואה y' = 0

מה עושים

נמצא x כך ש y' = 0

למה

נקודות קיצון הן בנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת

פותרים: 1/ cos^2(x) - 2 = 0

בניית משוואה

מציאת cos(x)

מה עושים

מקבלים cos^2(x) = 1/2 ⇒ cos(x) = ±1/√2

למה

פישוט ומשיכת שורש

מתוך המשוואה מקבלים ערך של cos(x)

נוסחה / הצבה

cos^2(x) = 1 / 2cos(x) = plus or minus 1 over square root of 2cos^2(x) = 1/2cos(x) = ± 1/sqrt(2)^2(x) = (1)/(2)

זכור שלאחר ששורשנו, יש לבדוק את הערכים בתחום הנתון

פתרון

חשב את x

מה עושים

x = ±π/4 בתחום הנתון

למה

הפתרונות של cos(x) = ±1/√2 הן הזוויות הללו בתחום

מוצאים x = π/4 ו-x = -π/4

נוסחה / הצבה

x = pi over 4x = minus pi over 4x = π/4x = -π/4x = ()/(4)

שים לב שהפתרונות חייבים להיות בתוך התחום -π/2 עד π/2

בדיקה

בדיקת סימני y' סביב x

מה עושים

מוצבים ערכים בסמיכות לנקודות ומחשבים y'

למה

לקבוע אם הנקודות הן מקסימום או מינימום

לדוגמה, בודקים את y' עבור x = π/4 + 0.1 ו-x = π/4 - 0.1

הנגזרת משתנה סימן כדי להחליט על סוג נקודת הקיצון

תשובה

קביעת סוג נקודות הקיצון

מה עושים

לפי סימני הנגזרת נקבע שיש מקסימום ומינימום בנקודות שמצאנו

למה

שינוי סימן הנגזרת מצביע על נקודות קיצון

x ≈ -π/4 היא נקודת מקסימום ו-x ≈ π/4 היא נקודת מינימום

פתרונות כלליים

פתרון המשוואה cos(2x) = 0 בתחום מוגדר: מהמשוואה נובע ש-2x = π/2 + πk ולכן x = π/4 + πk/2. בתחום הנתון בודקים ערכים k = -1, 0, 1 ומוצאים את הפתרונות הרלוונטיים: ״x = -π/4, x = π/4״.
מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית: נמצא את x שהופכים את הנגזרת לאפס: 1/ cos^2(x) - 2 = 0 ⇒ 1/ cos^2(x) = 2 ⇒ cos^2(x) = 1/2 ⇒ cos(x) = ± 1/√2. לכן x ≈ ±π/4. נבדוק סימני נגזרת סביבה: בקטעים סביב x=-π/4 ו-x=π/4 כדי לקבוע עלייה וירידה. מסקנתנו היא שמדובר בנקודות מינימום ומקסימום בהתאם לסימן הנגזרת לפני ואחרי.

הפריט הקודם הפריט הבא

ו3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ניקוד נקודות שבהן y' = 0 / זיהוי האם כל נקודה היא מינימום או מקסימום

נתון 1

תחום ההגדרה -π/2 ≤ x ≤ π/2

הרעיון המרכזי

מקבלים cos^2(x) = 1/2 ⇒ cos(x) = ±1/√2

נבנה משוואה

x = ±π/4 בתחום הנתון

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הנגזרת והתחום

פתרון המשוואה y' = 0

מציאת cos(x)

חשב את x

בדיקת סימני y' סביב x

קביעת סוג נקודות הקיצון

פתרונות כלליים