השיעור מתמקד בחקירת פונקציה טריגונומטרית על ידי חישוב נגזרת, פתרון משוואות למציאת נקודות קיצון, ובחינת סוג הנקודות על ידי בדיקת סימנים והשיפוע במחשבון.
לחשב נגזרת של פונקציה טריגונומטרית מורכבת באמצעות כלל המכפלה וחשבון נגזרות של פונקציות טריגונומטריות.
לפתור משוואת נגזרת שווה לאפס למציאת נקודות קריטיות.
לזהות נקודות מינימום ומקסימום על פי ערכי הנגזרת והשיפוע סביבן.
להבין את חשיבות הבקרה וודאוג לתוצאות הגיוניות בטווח התחום.
להציג גרף מדויק המייצג את נקודות הקיצון ואת השיפועים בנקודות קריטיות.
חישוב נגזרת של פונקציה מורכבת: הסבר מפורט על חישוב נגזרת של פונקציה שהיא מכפלה של פונקציות, שימוש בכלל המכפלה, חישוב נגזרות של סינוס וקוסינוס וחזקה של פונקציות.
פתרון המשוואה למציאת נקודות קריטיות: מציאת ערכי x שהנגזרת שווה לאפס, פירוק המשוואה למכפלה של ביטויים, טיפול במקרים מיוחדים, ושימוש בבקרה לתוצאה הגיונית.
זיהוי סוג נקודות הקיצון והצגת הגרף: בדיקת ערכי הפונקציה ונגזרותיה בנקודות קריטיות, זיהוי נקודות מינימום ומקסימום, והצגה גרפית נכונה של השיפועים בנקודות אלה לחיזוק ההבנה.

תרגול קצר

מציאת נגזרת ופיתרון נקודות קיצון

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 4*(sin(x))^2 - 3x. נמצא את הנגזרת שלה, נפתור את המשוואה f׳(x) = 0, ונמצא את נקודות הקיצון בתחום [0, 2π].

נגזרותטריגונומטריהנקודות קיצוןחשבון דיפרנציאלי

רמז: השתמש בכלל המכפלה כדי לגזור את הפונקציה. זכרו נגזרות של סינוס וקוסינוס, ואפסו את הנגזרת כדי למצוא נקודות קריטיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות הקיצון הן הערכים של x לפי פתרון המשוואה בטווח [0,2π], למשל: x שמקיימים 8*sin(x)*cos(x) = 3 ופונקציה מתאימה לפי תנאים נוספים.

הנגזרת היא f׳(x) = 8*sin(x)*cos(x) - 3. נאפס את הנגזרת: 8*sin(x)*cos(x) - 3=0 מבודדים: 8*sin(x)*cos(x) = 3 נציב ביטויים מוכרים או השתמשו בזהות הכפולות כדי לפתור את המשוואה בתחום הנתון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית

חישוב נגזרת, פתרון וניקוד נקודות קיצון

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את הערכים x שבם יש נקודות קיצון / סוג כל נקודת קיצון (מקסימום/מינימום)
נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = 4 * (sin x)^2 - 3x
נתון 2
תחום הגדרה [0, 2π]
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת, נאפס אותה ונפתור את המשוואה בתחום.
נוסחה
מאפסים את הנגזרת ומשווים לאפס
8*sin x*cos x - 3 = 0
משוואה
מוצאים את ערכי x המקיימים את המשוואה בתוך התחום
מוצאים את ערכי x המקיימים את המשוואה בתוך התחום
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
הציב ערכים סביב כל נקודה כדי לבדוק אם יש שינוי בשיפוע

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה ותחום ההגדרה

מה עושים

מציגים את הפונקציה ואת התחום לחקור

למה

חשוב לדעת את הפונקציה והתחום לפתרון נכון

הפונקציה נתונה ומוגדרת בתחום [0, 2π]

בחירת שיטה

חשב נגזרת כדי למצוא נקודות קריטיות

מה עושים

מחשב את נגזרת הפונקציה

למה

נקודות קיצון הן בנקודות שהנגזרת שווה לאפס

נגזרת הפונקציה נמצאת באמצעות כלל המכפלה ונגזרות סינוס

בניית משוואה

כתיבת משוואת הנגזרת שווה לאפס

מה עושים

מאפסים את הנגזרת ומשווים לאפס

למה

פיתרון המשוואה ייתן את נקודות הקיצון האפשריות

משוואת הנגזרת f' (x) = 0

נוסחה / הצבה

8*sin x*cos x - 3 = 0

יש להשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט

פתרון

פתור את משוואת הנגזרת בתחום

מה עושים

מוצאים את ערכי x המקיימים את המשוואה בתוך התחום

למה

רק נקודות בתוך התחום מהוות נקודות קיצון רלוונטיות

פתרון המשוואה ע"פ טווח [0, 2π]

אפשר להשתמש בזהויות כמו sin 2x = 2 sin x cos x

בדיקה

בדיקת סוג נקודות הקיצון

מה עושים

הציב ערכים סביב כל נקודה כדי לבדוק אם יש שינוי בשיפוע

למה

קביעה אם מדובר במקסימום או מינימום לפי סימני הנגזרת

סוג כל נקודה נקבע לפי סימן הפונקציה לפני ואחרי הנקודה

תשובה

סיכום נקודות הקיצון

מה עושים

רשום את הערכים ומין הנקודה לכל נקודה

למה

לסכם את הפתרון בצורה ברורה לתלמיד

נקודות מינימום ומקסימום בתחום

פתרונות כלליים

מציאת נגזרת ופיתרון נקודות קיצון: הנגזרת היא f׳(x) = 8*sin(x)*cos(x) - 3. נאפס את הנגזרת: 8*sin(x)*cos(x) - 3=0 מבודדים: 8*sin(x)*cos(x) = 3 נציב ביטויים מוכרים או השתמשו בזהות הכפולות כדי לפתור את המשוואה בתחום הנתון.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את הערכים x שבם יש נקודות קיצון / סוג כל נקודת קיצון (מקסימום/מינימום)

נתון 1

תחום הגדרה [0, 2π]

הרעיון המרכזי

מאפסים את הנגזרת ומשווים לאפס

מוצאים את ערכי x המקיימים את המשוואה בתוך התחום

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה ותחום ההגדרה

חשב נגזרת כדי למצוא נקודות קריטיות

כתיבת משוואת הנגזרת שווה לאפס

פתור את משוואת הנגזרת בתחום

בדיקת סוג נקודות הקיצון

סיכום נקודות הקיצון

פתרונות כלליים