MMATH
התחברות

וידאו · חקירה טריגונומטרית

ז2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית ת.ה חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
22 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ו7. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ו8. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ו9. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ז1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

וידאו

ז2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית ת.ה חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

וידאו

ז3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

סיכום שיעור

  • בחינת ערכי הפונקציה בנקודות קצה, גזירת פונקציה טריגונומטרית מורכבת, מציאת נקודות קיצון על ידי פתרון משוואות טריגונומטריות והכנת נקודות לחיתוך עם הצירים.
  • להבין ולהחיל את נקודות הקצה של פונקציות טריגונומטריות
  • לגזור פונקציה טריגונומטרית מורכבת עם חזקות ומכפלה
  • לפתור משוואות טריגונומטריות משולבות לשם מציאת נקודות קיצון
  • לזהות מתי ניתן להשתמש במקרים מיוחדים ומתי יש צורך במחשבון
  • להכין נקודות לחיתוך עם הצירים לצורך ציון גרף פונקציה
  • נקודות קצה: הפונקציה נבדקת בנקודות x=0 וב-x=2π, ומתקבל הערך -1 בשתי הנקודות.
  • גזירת פונקציה: נגזרת הפונקציה נעשית ע"י כלל המכפלה וכלל החזקה וכוללת סינוס וקוסינוס בחזקות גבוהות.
  • פתרון משוואות נגזרת: פיצול המשוואה לאפסי הנגזרת לפי שני גורמים: סינוס X=0 או ביטוי נוסף שווה לאפס.

תרגול קצר

חישוב נקודות קצה

רמת קושי: קל

ממתין

מצאו את ערכי הפונקציה בנקודות x=0 ו- x=2π בהתייחס לפונקציה מהשיעור.

נקודות קצהפונקציה טריגונומטרית

רמז: השתמשו בערכי הסינוס והקוסינוס הידועים בנקודות אלה.

פתרון מלא

תשובה סופית: f(0) = -1, f(2π) = -1

ב-x=0 ערך הפונקציה הוא מינוס 1. בנקודה x=2π גם ערך הפונקציה הוא מינוס 1.

גזירת פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזרו את הפונקציה f(x) = (cos x)^4 - 2 (sin x)^2 והפשטו את הנגזרת.

נגזרתפונקציה טריגונומטריתפישוט

רמז: השתמשו בכלל החזקה ובכלל הגזירה של סינוס וקוסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = -sin x (1 - 8 cos^3 x)

הנגזרת היא f'(x) = -sin x (1 - 8 cos^3 x) אחרי הפישוט.

פתרון משוואות נגזרת לחקר נקודות קיצון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתרו את המשוואה f'(x) = 0 עבור הפונקציה הנתונה, וזוהו את ערכי x המובילים לנקודות קיצון בטווח [0, 2π).

פתרון משוואותנקודות קיצוןטריגונומטריה

רמז: פיצלו את המשוואה לשני חלקים: sin x=0 ו-(1 - 8 cos^3 x)=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=0, π, 2π, π/3, 5π/3

sin x=0 נותן x=0, π, 2π \n(1 - 8 cos^3 x)=0 נותן cos^3 x = 1/8 → cos x=1/2 ובשטח יש לדעת ש-cos x=1/2 ב-x = π/3 ו-5π/3.

בחינת מחקר פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה טריגונומטרית עם נקודות קצה ידועות ודרישת מציאת נקודות קיצון. הסבירו את השלבים לפתרון המשוואה לחיתוך הנגזרת עם ציר ה-x.

חקירת פונקציהתרגיל לבגרותטריגונומטריה

רמז: זכרו להוציא גורמים משותפים ולבדוק מקרים מיוחדים של אפסות הפונקציה sin x ו-cos x.

פתרון מלא

תשובה סופית: פיצול לגורמים, פתרון אחר sin x=0 ו-1=8 cos^3 x, איתור נקודות בטווח מבוקש

שלב ראשון: חשבו את הנגזרת \nשלב שני: אפסו את הנגזרת ופיצלו לשני גורמים \nשלב שלישי: פתרו כל משוואה בנפרד \nשלב רביעי: זיהוי נקודות קיצון בתחום \nשלב חמישי: מצאו ערכים y עבור נקודות אלו

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירה טריגונומטרית לפונקציה ומציאת נקודות קיצון

שלבי פתרון משוואת הנגזרת ונקודות הקצה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערכי x שבהם f'(x)=0 בטווח [0, 2π] / הערכת ערכי y בנקודות אלו

  2. נתון 1

    f(x) פונקציה מורכבת מסינוס וקוסינוס בחזקות

  3. נתון 2

    נתון 2

    ערכי הפונקציה ב-x=0 ו-x=2π
  4. נתון 3

    נגזרת הפונקציה f'(x) מפושטת

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לפצל את משוואת הנגזרת לאיפוס כל גורם ולפתור כל משוואה בנפרד

  6. נוסחה

    אפס את הנגזרת ופצל לגורמים

    - sin x * (1 - 8 cos^3 x) = 0- x (1 - 8 ^3 x) = 0
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    פתור sin x = 0 ו- 1 = 8 cos^3 x בנפרד

    פתור sin x = 0 ו- 1 = 8 cos^3 x בנפרד

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה וערכי נקודות קצה

מה עושים

פירוש וניתוח ערכים ב-x=0 וב-x=2π

למה

חשוב לוודא את ערכי הפונקציה בנקודות קצה לבדיקה ויזואלית

f(0) = -1 ו-f(2π) = -1 הם נקודות קצה ידועות

הסתכלו בגרף של פונקציית הסינוס והקוסינוס לוידוא הערכים

2

בחירת שיטה

גזירת הפונקציה

מה עושים

חשב את נגזרת הפונקציה המורכבת

למה

הנגזרת חשובה למציאת נקודות קיצון

f'(x) = -sin x (1 - 8 cos^3 x)

נוסחה / הצבה

f'(x) = - sin x(1 - 8 cos^3 x)f'(x) = - x (1 - 8 ^3 x)

הקפידו על סימנים וחזקות

3

בניית משוואה

פיצול משוואת הנגזרת לאפס

מה עושים

אפס את הנגזרת ופצל לגורמים

למה

כדי למצוא פתרונות פשוטים יותר

-sin x (1 - 8 cos^3 x) = 0

נוסחה / הצבה

- sin x * (1 - 8 cos^3 x) = 0- x (1 - 8 ^3 x) = 0

נשווה כל גורם לאפס

4

פתרון

פתרון משוואות הגורמים

מה עושים

פתור sin x = 0 ו- 1 = 8 cos^3 x בנפרד

למה

שני מקרים שונים דורשים פתרון שונה

sin x = 0 בנקודות x = kπ ו- cos x = 1/2 בנקודות x = π/3, 5π/3 בטווח

למקרים מיוחדים אין צורך במחשבון, אחרת יש להשתמש בו

5

תשובה

סיכום נקודות קיצון בטווח

מה עושים

רשום את ערכי x שנמצאו

למה

לסיים בחיתוך הנדרש לחקר graף

x=0, π, 2π, π/3, 5π/3 הם נקודות הקיצון בטווח

וודאו שכל הנקודות בטווח המבוקש

פתרונות כלליים

  • חישוב נקודות קצה: ב-x=0 ערך הפונקציה הוא מינוס 1. בנקודה x=2π גם ערך הפונקציה הוא מינוס 1.
  • גזירת פונקציה טריגונומטרית: הנגזרת היא f'(x) = -sin x (1 - 8 cos^3 x) אחרי הפישוט.
  • פתרון משוואות נגזרת לחקר נקודות קיצון: sin x=0 נותן x=0, π, 2π \n(1 - 8 cos^3 x)=0 נותן cos^3 x = 1/8 → cos x=1/2 ובשטח יש לדעת ש-cos x=1/2 ב-x = π/3 ו-5π/3.
  • בחינת מחקר פונקציה טריגונומטרית: שלב ראשון: חשבו את הנגזרת \nשלב שני: אפסו את הנגזרת ופיצלו לשני גורמים \nשלב שלישי: פתרו כל משוואה בנפרד \nשלב רביעי: זיהוי נקודות קיצון בתחום \nשלב חמישי: מצאו ערכים y עבור נקודות אלו
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.