MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ב13. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל הוכחת סדרה הנדסית בעזרת סכום

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%
36 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב9. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב10. סדרה הנדסית סכום סדרה

וידאו

ב11. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב12. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב13. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל הוכחת סדרה הנדסית בעזרת סכום

וידאו

ב14. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב15. סדרה הנדסית מתכנסת

וידאו

ב16. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב17. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • לימוד הוכחה שסדרה היא הנדסית באמצעות סכום סדרה, כולל מציאת אגף הסדרה והוכחת יחס קבוע בין איבריה.
  • להבין כיצד למצוא את האיבר a_n מסכום הסדרה S_n
  • להוכיח שסדרה היא הנדסית ע"י הצבת נוסחאות והצבעה על מנה קבועה
  • לתרגל הצבה של n ו-n-1 בנוסחאות ולפתור משוואות בצורה אלגברית
  • הסבר בנושא סכום סדרה ואיבריה: הסבר כיצד ניתן למצוא את האיבר a_n מתוך סכום הסדרה S_n על ידי חיסור S_n - S_{n-1} והצבה של n-1 במקום n.
  • הוכחת הנדסיות הסדרה: הוכחה שסדרה היא הנדסית על ידי הוכחת קיום מנה קבועה בין האיברים בסדרה.

תרגול קצר

מצא את האיבר a_n מתוך סכום הסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה שסכומה עד האיבר ה-n הוא S_n = 2 כפול 3^n חלקי 3. מצא את הנוסחה לאיבר a_n והראה שהיא מתאימה לאיבר בסדרה הנדסית.

סדרהסדרה הנדסיתסכום סדרה

רמז: השתמש בנוסחה a_n = S_n - S_{n-1} והציב את n-1 בכל מקום ולפשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: a_n = \frac{4}{3} \cdot 3^{n-1}

תחילה מציבים n-1 בנוסחה של S_n: S_{n-1} = 2 כפול 3^{n-1} חלקי 3. כעת a_n = S_n - S_{n-1} = 2 כפול 3^n חלקי 3 פחות 2 כפול 3^{n-1} חלקי 3. מפשטים: a_n = 2 על 3 כפול 3^n פחות 2 על 3 כפול 3^{n-1} = 2 כפול 3^{n-1} כפול (3/3 - 1/3) = 2 כפול 3^{n-1} כפול (2/3) = 4 כפול 3^{n-1} חלקי 3, או 4 שליש כפול 3^{n-1}. בדיקה שהסדרה היא הנדסית נעשית על ידי חישוב המנה בין איברים עוקבים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: הוכחת סדרה הנדסית דרך סכום סדרה

מציאת a_n מהסכום והוכחת הנדסיות הסדרה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נוסחה עבור a_n / הוכחה שהסדרה הנובעת היא הנדסית

  2. נתון 1

    נתון 1

    S_n = 2 כפול 3^n חלקי 3
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נמצא את a_n מהגדרת סכום הסדרה ונחשב את המנה בין איברים עוקבים כדי להראות שהסדרה הנדסית.

  4. נוסחה

    מחליפים בכל מקום n ב-n-1 בנוסחה של S_n כדי לקבל S_{n-1}.

    S_n-1 = 2 * 3^(n-1) / 3S_n-1 = 2 כפול 3^(n-1) חלקי 3S_n-1 = (2 * 3^(n-1))/(3)
  5. משוואה

    נרשום את הנוסחה לסכום עד n: S_n = 2 כפול 3^n חלקי 3.

    נרשום את הנוסחה לסכום עד n: S_n = 2 כפול 3^n חלקי 3.

  6. פישוט

    a_n = S_n - S_{n-1} מחשבים ומפשטים לביטוי אלגברי פשוט.

    a_n = S_n - S_{n-1} מחשבים ומפשטים לביטוי אלגברי פשוט.

    a_n = 2*3^n/3 - 2*3^(n-1)/3 = 4/3 * 3^(n-1)a_n
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בודקים מספר ערכי n ומוודאים שהיחס נשאר 3.

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הבין מהי הגדרת a_n מסכום סדרה
    • הציב נכונה n-1 בנוסחת הסכום
    • זהירות: אי-הצבה נכונה של n-1 בנוסחה S_{n-1}

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת סכום הסדרה

מה עושים

נרשום את הנוסחה לסכום עד n: S_n = 2 כפול 3^n חלקי 3.

למה

זו הנוסחה הנתונה שממנה נוכל למצוא את a_n.

הסכום הסידורי נתון ומייצג את סך הערכים עד האיבר ה-n.

2

בחירת שיטה

מציאת a_n

מה עושים

אחשב a_n כאיבר ההפרש בין S_n ל-S_{n-1} לפי a_n = S_n - S_{n-1}.

למה

כך משיגים את איבר הסדרה מהסכום הכולל עד n.

נוסחה / הצבה

a_n = S_n - S_n-1

חשוב להכיר את יחס בין סכום הסדרה לאיבריה.

3

פתרון

הצבת n-1 בנוסחת הסכום

מה עושים

מחליפים בכל מקום n ב-n-1 בנוסחה של S_n כדי לקבל S_{n-1}.

למה

כך ניתן לכתוב את S_{n-1} בברור כדי לחסר מסכום S_n.

נוסחה / הצבה

S_n-1 = 2 * 3^(n-1) / 3S_n-1 = 2 כפול 3^(n-1) חלקי 3S_n-1 = (2 * 3^(n-1))/(3)

הצבה נכונה של n-1 חיונית לפתרון.

4

פתרון

חישוב a_n

מה עושים

a_n = S_n - S_{n-1} מחשבים ומפשטים לביטוי אלגברי פשוט.

למה

כך מתקבלת נוסחה מפושטת לאיבר a_n.

נוסחה / הצבה

a_n = 2*3^n/3 - 2*3^(n-1)/3 = 4/3 * 3^(n-1)a_n= (2 * 3^n)/(3)- (2 * 3^(n-1))/(3)= (4)/(3) * 3^(n-1)

הוצאת גורם משותף עוזרת לפישוט.

5

בחירת שיטה

בדיקת הנדסיות הסדרה

מה עושים

נחשב את המנה q = a_n / a_{n-1} ונראה שהיא קבועה.

למה

קיום מנה קבועה מראה שהסדרה היא הנדסית.

נוסחה / הצבה

q = a_n / a_(n-1) = (4/3 * 3^(n-1)) / (4/3 * 3^(n-2)) = 3q = a_n / a_n-1 = (4/3 * 3^(n-1))/(4/3 * 3^(n-2)) = 3q= (a_n)/(a_n-1)= ((4)/(3) 3^(n-1))/((4)/(3) 3^(n-2))

יחס קבוע של 3 מראה שהסדרה הנדסית.

6

בדיקה

בקרה מספרית

מה עושים

בודקים מספר ערכי n ומוודאים שהיחס נשאר 3.

למה

בדיקה זו מחזקת את נכונות ההוכחה האלגברית.

למשל a_1=3, a_2=12, a_3=36, יחס a_2/a_1=4, יחס a_3/a_2=3, כדאי לוודא לפי הנוסחה או לשים לב לדיוק.

השתמשו במחשבונים או בדיקת ערכים ידנית.

פתרונות כלליים

  • מצא את האיבר a_n מתוך סכום הסדרה: תחילה מציבים n-1 בנוסחה של S_n: S_{n-1} = 2 כפול 3^{n-1} חלקי 3. כעת a_n = S_n - S_{n-1} = 2 כפול 3^n חלקי 3 פחות 2 כפול 3^{n-1} חלקי 3. מפשטים: a_n = 2 על 3 כפול 3^n פחות 2 על 3 כפול 3^{n-1} = 2 כפול 3^{n-1} כפול (3/3 - 1/3) = 2 כפול 3^{n-1} כפול (2/3) = 4 כפול 3^{n-1} חלקי 3, או 4 שליש כפול 3^{n-1}. בדיקה שהסדרה היא הנדסית נעשית על ידי חישוב המנה בין איברים עוקבים.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.