MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%
45 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב24. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב25. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב26. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ג1. סדרת נסיגה

וידאו

ג2. סדרת נסיגה

וידאו

ג3. סדרת נסיגה

וידאו

ג4. סדרת נסיגה

וידאו

ג5. סדרת נסיגה

סיכום שיעור

  • שיעור העוסק בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית הכולל שימוש בנוסחאות סדרה ופתרון משוואה מעריכית. התלמידים לומדים לנסח טקסטים מתמטיים למונחים מדויקים, להבין מונחים כמו סכום N איברים ראשונים ואחרונים, ולפתור משוואות תוך יישום לוגיקה ומתמטיקה אלגברית.
  • להבין מונחים בסיסיים בסדרות הנדסיות כגון מנה ואיבר ראשון.
  • לתרגם ניסוח טקסטואלי של סכומי סדרות לנוסחאות מתמטיות.
  • להבין ולפתור משוואה מעריכית הנובעת מתרגיל בסדרה הנדסית.
  • ליישם אלגברה ושימוש בלוגריתמים לפתירת משוואות.
  • להכיר את החשיבות של הבנת הטקסט במתמטיקה ואיך להשתמש בדוגמאות פרטיות להבנה כללית.
  • הקדמה לסדרות הנדסיות: היכרות עם רכיבי הסדרה: האיבר הראשון, המנה ומושגים של סכום איברים ראשונים ואחרונים.
  • הבנת הניסוח והגדרת הבעיה: הסבר מפורט על מושגים כמו סכום N האיברים הראשונים והאחרונים, והחשיבות של הבנת מונחים אלו על מנת לבנות משוואה מתמטית.
  • בניית המשוואה והפתרון: כתיבת המשוואה המתמטית על פי הנתונים, התמרון אלגברי וסימון ביטוי לביטוי לצורך פתרון המשוואה המעריכית.
  • בדיקת התוצאה וסקירת טעות: בדיקת התוצאה שמתקבלת והבנת החשיבות של הגיון מתמטי נכון בעת פתרון תרגילים מסוג זה.

תרגול קצר

חישוב איבר בסדרה הנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא 5 והמנה היא 2. חשב את האיבר ה-4 בסדרה.

סדרה הנדסיתאיבר מסויםחישוב חזקות

רמז: השתמש בנוסחה לנוסחת האיבר ה-n בסדרה הנדסית: A_n = A_1 * q^(n-1).

פתרון מלא

תשובה סופית: 40

האיבר ה-4 הוא 5 כפול 2 בחזקת 4 פחות 1, כלומר 5 * 2^3 = 5 * 8 = 40.

פתרון משוואה מעריכית בסדרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה הנדסית A1=5, המנה q=2, סכום N האיברים הראשונים ועוד סכום 19 האיברים האחרונים שווה ל-845. מצא את מספר האיברים N בסדרה.

סדרה הנדסיתמשוואה מעריכיתסכום סדרה

רמז: כתוב את סכום N האיברים הראשונים ואת סכום 19 האיברים האחרונים לפי הנוסחה לסכום סדרה הנדסית, נסמן T = 2^N, ונגזור משוואה ריבועית ב-T.

פתרון מלא

תשובה סופית: N = 12

נסמן T = 2^N. סכום N האיברים הראשונים = 5 * (T - 1)/(2 - 1) = 5(T - 1). סכום 19 האיברים האחרונים = 5*2^{N} * (2^{19} - 1)/(2 - 1) - סכום האיברים הראשונים (לפי חלוקה של הסדרה). לכן בניית המשוואה וחיבור שני הסכומים תוביל למשוואה 5 T^2 - 10 T - 845 = 0. פתרון המשוואה ייתן את T, ומכאן N = log2(T).

תרגיל בגרות - סדרה הנדסית ומספר האיברים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה הנדסית האיבר הראשון הוא 5, המנה 2. סכום N האיברים הראשונים ועוד סכום 19 האיברים האחרונים שווה ל-845. מצא את N.

בגרותסדרהמשוואה מעריכית

רמז: קודם כל כתוב נוסחאות לסכום, נסמן T = 2^N, והרכב משוואה ריבועית שתאפשר לך למצוא T ואז N.

פתרון מלא

תשובה סופית: 12

נסמן T = 2^N. סכום N האיברים הראשונים: 5(T - 1). סכום 19 האיברים האחרונים: 5 * T * (2^{19} - 1). לפי הנתון 5(T - 1) + 5 T (2^{19} - 1) = 845. אפשר לפשט ולכתוב כמו 5 T^2 - 10 T - 845 = 0. פותרים משוואה ריבועית ב-T, מקבלים T = 2^{12} ולכן N = 12.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית

מציאת מספר האיברים N בסדרה הנדסית נתונה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מספר האיברים N בסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    A1 = 5
  3. נתון 2

    נתון 2

    q = 2
  4. נתון 3

    נתון 3

    סכום N האיברים הראשונים ועוד סכום 19 האיברים האחרונים= 845
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נסמן T = q^N, ננסח משוואה ריבועית ב-T, ונמצא את N על ידי חישוב לוגריתמי.

  6. נוסחה

    נכתוב משוואה עבור סכום N ראשונים ועוד סכום 19 אחרונים שווה 845

    5(T - 1) + 5 T (2^19 - 1) = 8455(T - 1) + 5 T (2^(19) - 1) = 845
  7. משוואה

    מפשטים ומפתרים משוואה ריבועית ב-T, מחשבים N מלוגריתם בסיס 2

    מפשטים ומפתרים משוואה ריבועית ב-T, מחשבים N מלוגריתם בסיס 2

  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתוני הסדרה והסכום

מה עושים

רושמים את האיבר הראשון, המנה והסכום הכולל

למה

הנתונים הם בסיס לפיתוח המשוואה המתמטית

A1 שווה 5, המנה q שווה 2, והסכום הכולל של N האיברים הראשונים ועוד 19 האיברים האחרונים הוא 845

2

בחירת שיטה

סכומי חלקי הסדרה

מה עושים

מפרקים את הסכומים לחלקים מתמטיים המיוחדים לסדרה

למה

כדי להשתמש בנוסחאות מתאימות לסכום סדרה הנדסית

נסמן T = 2^N, סכום N האיברים הראשונים הוא 5*(T - 1), סכום 19 האיברים האחרונים מבוסס על איבר N וחשבון חזקות

נזכור את נוסחת סכום סכום סדרה הנדסית.

3

בניית משוואה

משוואת סכומי הסדרה

מה עושים

נכתוב משוואה עבור סכום N ראשונים ועוד סכום 19 אחרונים שווה 845

למה

המשוואה תשמש למציאת T, ומכאן N

5(T - 1) + 5 T (2^{19} - 1) = 845

נוסחה / הצבה

5(T - 1) + 5 T (2^19 - 1) = 8455(T - 1) + 5 T (2^(19) - 1) = 845

חשוב להפריד בין החלקים ולפשט.

4

פתרון

מציאת T ו-N

מה עושים

מפשטים ומפתרים משוואה ריבועית ב-T, מחשבים N מלוגריתם בסיס 2

למה

T הוא 2 בחזקת N ולכן עלינו למצוא N

מגיעים ל-5T^2 - 10T - 845 = 0, פותרים את המשוואה, מקבלים T=2^{12} ולכן N=12

שימוש בלוגריתם כדי למצוא N.

5

בדיקה

וידוא התוצאה

מה עושים

בודקים שהמספר שמתקבל הגיוני במסגרת הסדרה

למה

לשמור על עקביות ודיוק בחישובים

N=12 מספק סך איברים הגיוני לפי הנתונים שניתנו

זכרו לבדוק אם התוצאה סבירה בחשיבה מתמטית.

6

תשובה

מספר האיברים בסדרה

מה עושים

מספר האיברים הוא

למה

זוהי התשובה לשאלה

N=12

פתרונות כלליים

  • חישוב איבר בסדרה הנדסית: האיבר ה-4 הוא 5 כפול 2 בחזקת 4 פחות 1, כלומר 5 * 2^3 = 5 * 8 = 40.
  • פתרון משוואה מעריכית בסדרה: נסמן T = 2^N. סכום N האיברים הראשונים = 5 * (T - 1)/(2 - 1) = 5(T - 1). סכום 19 האיברים האחרונים = 5*2^{N} * (2^{19} - 1)/(2 - 1) - סכום האיברים הראשונים (לפי חלוקה של הסדרה). לכן בניית המשוואה וחיבור שני הסכומים תוביל למשוואה 5 T^2 - 10 T - 845 = 0. פתרון המשוואה ייתן את T, ומכאן N = log2(T).
  • תרגיל בגרות - סדרה הנדסית ומספר האיברים: נסמן T = 2^N. סכום N האיברים הראשונים: 5(T - 1). סכום 19 האיברים האחרונים: 5 * T * (2^{19} - 1). לפי הנתון 5(T - 1) + 5 T (2^{19} - 1) = 845. אפשר לפשט ולכתוב כמו 5 T^2 - 10 T - 845 = 0. פותרים משוואה ריבועית ב-T, מקבלים T = 2^{12} ולכן N = 12.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.