בשיעור זה אנו מתמקדים בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית הכולל מציאת האיבר הראשון והפשר של הקבוע ההנדסי, תוך שימוש במשוואות סדרה, חלוקת משוואות ובדיקה של התשובה.
להבין כיצד לנסח משוואות מתוך מידע מילולי על סדרה הנדסית.
לדעת להציג את האיברים הראשונים בסדרה הנדסית באמצעות a1 ו-q.
ליישם פעולות אלגבריות כגון חלוקת משוואות לפתרון משוואות עם נעלמים.
לבצע בדיקות לאימות הפתרון שהתקבל בסדרה הנדסית.
הגדרת האיברים והמשוואות בסדרה: הצגת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית בתצורת a1 ו-q וכתיבת המשוואות המתאימות.
הכנסת הנתונים ויצירת משוואות: התחלת המרת הנתונים למערכת משוואות עם נעלמים a1 ו-q ושימוש בחלוקת משוואות לפישוט הפתרון.
פתרון המשוואות ומציאת a1 ו-q: פתרון המשוואות לאחר פישוטן לקבלת ערכי a1 ו-q מותאמים.
בדיקת התשובה: בדיקת נכונות התוצאה באמצעות הכנסת הערכים חזרה לסדרה ובדיקת תנאי הסדרה שהוצגו בתרגיל.

תרגול קצר

מציאת האיבר הראשון וקבוע ההכפלה בסדרה הנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית שבה סך שלושת האיברים הראשונים הוא 380. סכום שני האיברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי. מצא את האיבר הראשון (a1) וקבוע ההכפלה (q).

סדרה הנדסיתמשוואותחלוקת משוואותנעלמים

רמז: נצל את הנתון שהאיבר השני הוא a1*q והשלישי הוא a1*q בריבוע. נסח משוואות מהנתונים ונסה לחלק משוואות כדי לפשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: a1 = 80, q = 1.5

נסמן a1 כאיבר הראשון ו-q כקבוע ההכפלה. כתוב את המשוואות: a1 + a1*q + a1*q^2 = 380 (a1 + a1*q) = a1*q^2 + 20 הוצא גורם משותף והשתמש בחלוקת המשוואות: (1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19 פתור את המשוואה הריבועית שקיבלת עבור q, לאחר מכן חשב את a1 מהמשוואה הראשונה. התוצאה היא a1=80 ו-q=1.5.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית

מציאת האיבר הראשון וקבוע ההכפלה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא האיבר הראשון a1 / קבוע ההכפלה q
נתון 1
סכום שלושת האיברים הראשונים הוא 380
נתון 2
סכום שני האיברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי
רעיון
הרעיון המרכזי
לנסח משוואות מהנתונים, להוציא גורם משותף וליישם חלוקת משוואות לפישוט ולפתרון.
נוסחה
כתוב משוואות עבור סכום שלושת האיברים והקשר בין סכום שני הראשונים לאיבר
a1 + a1*q + a1*q^2 = 380(a1 + a1*q) = a1*q^2 + 20
משוואה
הוצא a1 מהמשוואות וחלק את המשוואות לקבל משוואה עם נעלם אחד.
הוצא a1 מהמשוואות וחלק את המשוואות לקבל משוואה עם נעלם אחד.
(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19
פישוט
פתור את המשוואה הריבועית למציאת q, והכנס לתוך המשוואות כדי לחשב a1.
פתור את המשוואה הריבועית למציאת q, והכנס לתוך המשוואות כדי לחשב a1.
תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב את האיברים עם הערכים שמצאת, ודא שהנתונים מתקיימים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

לזהות את הנתונים

מה עושים

רשום את סכום שלושת האיברים וסכום שני הראשונים לעומת השלישי.

למה

הנתונים הם בסיס המשוואות לבניית נוסח הסדרה.

הסכום הוא 380, וסכום שני הראשונים גדול ב-20 מהשלישי.

בחירת שיטה

להגדיר משתנים ולאיברים

מה עושים

הגדר a1 כאיבר ראשון ו-q כלצריך הכפלה.

למה

מאפשר ביטוי אלגברי של האיברים.

a2 = a1 * q, a3 = a1 * q^2

נוסחה / הצבה

a2 = a1 * qa3 = a1 * q^2a_2 = a_1 qa_3 = a_1 q^2

בניית משוואה

לנסח משוואות מהנתונים

מה עושים

כתוב משוואות עבור סכום שלושת האיברים והקשר בין סכום שני הראשונים לאיבר השלישי.

למה

כדי לקבל מערכת משוואות עם a1 ו-q.

a1 + a1*q + a1*q^2 = 380 (a1 + a1*q) = a1*q^2 + 20

נוסחה / הצבה

a1 + a1*q + a1*q^2 = 380(a1 + a1*q) = a1*q^2 + 20

פתרון

להוציא גורם משותף ולחלוק משוואות

מה עושים

הוצא a1 מהמשוואות וחלק את המשוואות לקבל משוואה עם נעלם אחד.

למה

כדי לפשט ולבודד את q.

(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19

נוסחה / הצבה

(1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19

משוואות אלו מובילות למשוואה ריבועית ב-q.

פתרון

לפתור עבור q ולחשב a1

מה עושים

פתור את המשוואה הריבועית למציאת q, והכנס לתוך המשוואות כדי לחשב a1.

למה

על ידי זה נקבל את הערכים המדויקים לסדרה.

q = 1.5, a1 = 80

ניתן לוודא ע"י הכנסת הערכים בחזרה לתנאי הסדרה.

בדיקה

לבדוק באמצעות חישוב האיברים והסכום

מה עושים

חשב את האיברים עם הערכים שמצאת, ודא שהנתונים מתקיימים.

למה

בדיקה חשובה לוודא שהפתרון נכון.

80 + 80*1.5 + 80*1.5^2 = 380 (80 + 120) - 180 = 20

במידה ואין התאמה, יש לשוב ולבדוק את תהליך הפתרון.

פתרונות כלליים

מציאת האיבר הראשון וקבוע ההכפלה בסדרה הנדסית: נסמן a1 כאיבר הראשון ו-q כקבוע ההכפלה. כתוב את המשוואות: a1 + a1*q + a1*q^2 = 380 (a1 + a1*q) = a1*q^2 + 20 הוצא גורם משותף והשתמש בחלוקת המשוואות: (1 + q + q^2) / (1 + q - q^2) = 19 פתור את המשוואה הריבועית שקיבלת עבור q, לאחר מכן חשב את a1 מהמשוואה הראשונה. התוצאה היא a1=80 ו-q=1.5.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא האיבר הראשון a1 / קבוע ההכפלה q

סכום שלושת האיברים הראשונים הוא 380

סכום שני האיברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי

הרעיון המרכזי

כתוב משוואות עבור סכום שלושת האיברים והקשר בין סכום שני הראשונים לאיבר

הוצא a1 מהמשוואות וחלק את המשוואות לקבל משוואה עם נעלם אחד.

פתור את המשוואה הריבועית למציאת q, והכנס לתוך המשוואות כדי לחשב a1.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

לזהות את הנתונים

להגדיר משתנים ולאיברים

לנסח משוואות מהנתונים

להוציא גורם משותף ולחלוק משוואות

לפתור עבור q ולחשב a1

לבדוק באמצעות חישוב האיברים והסכום

פתרונות כלליים