וידאו · סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב24. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב25. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב26. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ג1. סדרת נסיגה
ג2. סדרת נסיגה
ג3. סדרת נסיגה
ג4. סדרת נסיגה
ג5. סדרת נסיגה
ג6. סדרת נסיגה
ג7. סדרת נסיגה
ג8. סדרת נסיגה
ג9. סדרת נסיגה
מציאת מנת הסדרה
רמת קושי: קל
נתונה סדרה הנדסית אינסופית שבה המנה שווה לאיבר הראשון, והאיבר הראשון גדול מסכום כל שאר האיברים בשישית. מצא את מנת הסדרה.
רמז: השתמש בנוסחת סכום טור גאומטרי אינסופי וכתוב משוואה המתארת את התנאים.
תשובה סופית: 1/3
נסמן את האיבר הראשון ב-a1 ואת המנה ב-q. לפי הנתון a1 = q. סכום שאר האיברים הוא S - a1 = a1 / (1 - q) - a1 = a1 (1/(1 - q) - 1) = a1 q / (1 - q). לפי תנאי השאלה a1 = 6 פעמים סכום שאר האיברים, כלומר a1 = 6 * (a1 q / (1 - q)), מפשטים לקבלת משוואה ריבועית ב-q: 6q - 6q^2 - 1 + q = 0 וכו', עד לפתרון q=1/3.
פתרון תרגיל בסיסי בסדרות
a1 = q (האיבר הראשון שווה למנה)סכום טור הנדסי אינסופי: S = a1 / (1 - q)כתוב משוואה המתארת את היחס בין האיבר הראשון לסכום שאר האיברים ופתור משוואה ריבועית למציאת q.
a1 = 6 * (a1 q / (1 - q))a_1 = 6 x ( (a_1 q)/(1-q) )a_1 = 6 * (a_1 q)/(1-q)המכנה a1 משתחרר, משוואה ריבועית ב-q מקבלת פתרונות
12q^2 - 7q + 1 = 0מפשטים כדי להגיע לנעלם.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נסמן את האיבר הראשון a1 ואת המנה q, עם a1=q
למה
לפי הנתון ששווה
מתוך הנתון שהאיבר הראשון שווה למנה נקבל a1=q
הבנת הגדרת המשתנים היא חשובה להתחלה נכונה
בחירת שיטה
מה עושים
נכתוב את סכום שאר האיברים כסכום טור הנדסי פחות האיבר הראשון
למה
שאר האיברים מתחילים מהאיבר השני ולכן סכומם הוא S - a1
אנו יודעים שסכום כל הסדרה הוא S = a1 / (1 - q), ולכן סכום שאר האיברים הוא S - a1
נוסחה / הצבה
S - a1 = a1 / (1 - q) - a1S - a_1 = (a_1)/(1-q) - a_1חשוב להפריד את סכום שאר האיברים מהמונח הראשון
בניית משוואה
מה עושים
מכפילים במכנה השלם ומקבלים משוואה בין a1 ו-q לפי תנאי השאלה
למה
הנתון הוא a1 = 6 * סכום שאר האיברים, משוואה המתארת זאת תאפשר לפתור את q
a1 = 6 * (a1 q / (1 - q))
נוסחה / הצבה
a1 = 6 * (a1 q / (1 - q))a_1 = 6 x ( (a_1 q)/(1-q) )a_1 = 6 * (a_1 q)/(1-q)השתמש בהכפלה במכנה המשותף להקל על הפתרון
פתרון
מה עושים
המכנה a1 משתחרר, משוואה ריבועית ב-q מקבלת פתרונות
למה
נבטל a1 ונקבל משוואה ריבועית סטנדרטית
נקבל 12q^2 - 7q + 1 = 0. פותרים מתקבלים q=1/3 או q=1/4
נוסחה / הצבה
12q^2 - 7q + 1 = 0בחירת פתרון q בתוך התחום ההיגיוני היא קריטית
תשובה
מה עושים
סינון פתרונות לפי מודול נמוך מ-1
למה
מנה בטור הנדסי אינסופי חייבת להיות בערך מוחלט פחות מ-1
נבחר q = 1/3 כתוצאה נכונה ונכנסת להגיון הבעיה
זכור כי |q| < 1 בטור הנדסי אינסופי