וידאו · סדרות
ג7. סדרת נסיגה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בהבנת סדרות הנסיגה, חישוב איברים בסדרה והוכחת שוויונות, כולל התמודדות עם סדרות שאינן חשבוניות בשלמותן אך בעלות תכונות חשבוניות במיקומים זוגיים ואי-זוגיים.
- להבין ולהיעזר בכלל הנסיגה לסדרת איברים
- לחבר ולבודד איברים בסדרה בעזרת הצבה נבונה של מקדמים (כגון n+1)
- להוכיח שוויונות טכניים בסדרה על ידי הצבה ופישוט
- להבדיל בין סדרות חשבוניות לסדרה מורכבת (עם תכונות חשבוניות בסידורים משנה)
- לחשב איבר כללי בסדרה שאינה חשבונית שלמה
- לחשב סכום איברים בסדרה תוך חלוקה לסדרות משנה
- הכרת כלל הנסיגה: נלמד כיצד למצוא איברי פתיחה בסדרה בעזרת הצבה מתמטית נכונה וכן את חשיבות לעשות זאת כדי להבין את הסדרה לעומק.
- הצבה מתמטית וניסוח הוכחה: כיצד לבצע הצבה של n+1 במקום n בתוך הביטויים ולנסח הוכחות על ידי פישוט והצבה של ערכים שונים.
- הבנת מבנה הסדרה והתחושות שהיא מייצרת: לנתח את מבנה סדרת האיברים ולהבחין שהסדרה אינה חשבונית בשלמותה וכי לביטוי הזה משמעויות שונות במיקומים זוגיים ואי זוגיים.
תרגול קצר
חשב את a1 מהנתונים
רמת קושי: קל
נתונה סדרה שבה a2=3 כשה-n=1, a2=5n+4 - a1. חשב את הערך של a1.
רמז: הציב n=1 ונצל את הנתון של a2=3 כדי לחלץ את a1.
פתרון מלא
תשובה סופית: a1 = 6
נציב n=1 בנוסחה: a2=5*1+4 - a1 = 9 - a1. ידוע ש-a2=3, לכן 3=9 - a1, נחלק ונקבל a1=6.
הוכיח כי a_{n+2} - a_n = 5
רמת קושי: בינוני
הוכח כי עבור הסדרה: a_{n+2}=5(n+1)+4 - a_{n+1}, מתקיים התרגיל הבא: a_{n+2} - a_n = 5.
רמז: הציב במקום n את n+1, נסח את ההפרש פשט ובדוק אם מתקבל 5.
פתרון מלא
תשובה סופית: a_{n+2} - a_n = 5
נציב n+1 במקום n באיבר a_{n+2}, נקבל ביטוי לשינוי בין a_{n+2} ל-a_n. לאחר הפשטות הרגילות נקבל כי ההפרש שווה ל-5, כלומר a_{n+2} - a_n = 5.
חשב את a_{30} בסדרה הנתונה
רמת קושי: בינוני
הסדרה מורכבת משתי תת-סדרות חשבוניות במיקומים זוגיים ואי-זוגיים. חשב את הערך של a_{30}.
רמז: בדוק האם 30 זוגי, מצא את אבר ה-15 בסדרת הזוגיים והשתמש בנוסחה החשבונית של אותה תת-סדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: a_{30} = 73
30 הוא זוגי, לכן a_{30} הוא האיבר ה-15 בתת-הסדרה הזוגית שהתחילה ב-3 ו-d=5. מחשבים a_{15}=3 + (15-1)*5=3 + 70=73.
חשב את סכום 51 האיברים הראשונים בסדרה
רמת קושי: מאתגר
חשב את סכום 51 האיברים הראשונים בסדרה המתוארת, כאשר יש להפריד בין סכום האיברים במיקומים זוגיים לאי זוגיים.
רמז: חשב בנפרד את סכום האיברים הזוגיים והאי זוגיים לפי נוסחת סכום של סדרה חשבונית ואז חבר את התוצאות.
פתרון מלא
תשובה סופית: S_{51} = 1026
מספר האיברים הזוגיים עד a_{51} הוא 26, והאי זוגיים 25. מחשבים את סכום הסדרה הזוגית: S_{זוגיים} = (26/2)*(2*3+(26-1)*5)= 396 וגם סכום הסדרה האי זוגית: S_{אי זוגיים} = (25/2)*(2*6 + (25-1)*5)= 630. סה"כ: 1026.
דרך הפתרון
מפת פתרון לחישוב a30 בסדרת נסיגה
איך לחשב את האיבר ה-30 בסדרה מורכבת עם תתי סדרות חשבוניות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא a_{30}
- נתון 1
נתון 1
a2=3 - נתון 2
הפרש בין איברים במקם זוגי הוא 5
- נתון 3
נתון 3
a_30 הוא האיבר ה-15 בתת-הסדרה הזוגית - רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות האם a_{30} במיקום זוגי ולחשב את האיבר ה-15 בסדרה החשבונית המתאימה.
- נוסחה
הציב n=15, a_1=3, d=5 בנוסחה: a_{15} = 3 + (15-1)*5
a_15 = 3 + 14 * 5a_15 = 3 + 14*5a_15 = 3 + 14 x 5 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
זהה שמיקום 30 זוגי
זיהוי נתונים
זהה שמיקום 30 זוגי
מה עושים
בדוק האם 30 זוגי ושהוא מייצג איבר בתת-סדרה הזוגית
למה
איברים זוגיים יוצרים תת-סדרה חשבונית נפרדת
מכיוון ש-30 הוא מספר זוגי, a_{30} שייך לתת-הסדרה של האיברים בזוגיים.
זכור שמיקומים זוגיים ואי זוגיים מנותחים בנפרד.
2זיהוי נתונים
מצא מיקום באיברי תת-הסדרה
זיהוי נתונים
מצא מיקום באיברי תת-הסדרה
מה עושים
חשב את מיקומו של a_{30} בתוך תת-הסדרה הזוגית
למה
a_{30} הוא האיבר ה-15 בתת-סדרה עם איברים זוגיים בלבד
כיוון שכל איבר זוגי הוא באינדקס כפול 2, האיבר ה-30 הוא ה-15 בתת-הסדרה הזוגית.
15 = 30 חלקי 2.
3בחירת שיטה
השתמש בנוסחה של סדרה חשבונית
בחירת שיטה
השתמש בנוסחה של סדרה חשבונית
מה עושים
חשב את a_{15} של תת-הסדרה הזוגית עם a_1=3 והפרש d=5
למה
תת-הסדרה הזוגית היא סדרה חשבונית שמתחילה ב-3 וההפרש הוא 5
נשתמש בנוסחה הכללית לסדרה חשבונית: a_n = a_1 + (n - 1)*d.
נוסחה / הצבה
a_n = a_1 + (n - 1) * dהקפד על הערכים של a1 ו-d מהתת-סדרה.
4פתרון
בנה את הנוסחה עבור a_{30}
פתרון
בנה את הנוסחה עבור a_{30}
מה עושים
הציב n=15, a_1=3, d=5 בנוסחה: a_{15} = 3 + (15-1)*5
למה
חישוב הערך המדויק של האיבר המבוקש
a_{15} = 3 + 14*5 = 3 + 70 = 73
נוסחה / הצבה
a_15 = 3 + 14 * 5a_15 = 3 + 14*5a_15 = 3 + 14 x 5הכפל לפני הסכום.
5תשובה
תוצאה והשלמה
תשובה
תוצאה והשלמה
מה עושים
קבע את הערך a_{30} = 73
למה
לפי החישוב, זהו הערך המדויק של a_{30} בסדרה
a_{30} שווה 73
פתרונות כלליים
- חשב את a1 מהנתונים: נציב n=1 בנוסחה: a2=5*1+4 - a1 = 9 - a1. ידוע ש-a2=3, לכן 3=9 - a1, נחלק ונקבל a1=6.
- הוכיח כי a_{n+2} - a_n = 5: נציב n+1 במקום n באיבר a_{n+2}, נקבל ביטוי לשינוי בין a_{n+2} ל-a_n. לאחר הפשטות הרגילות נקבל כי ההפרש שווה ל-5, כלומר a_{n+2} - a_n = 5.
- חשב את a_{30} בסדרה הנתונה: 30 הוא זוגי, לכן a_{30} הוא האיבר ה-15 בתת-הסדרה הזוגית שהתחילה ב-3 ו-d=5. מחשבים a_{15}=3 + (15-1)*5=3 + 70=73.
- חשב את סכום 51 האיברים הראשונים בסדרה: מספר האיברים הזוגיים עד a_{51} הוא 26, והאי זוגיים 25. מחשבים את סכום הסדרה הזוגית: S_{זוגיים} = (26/2)*(2*3+(26-1)*5)= 396 וגם סכום הסדרה האי זוגית: S_{אי זוגיים} = (25/2)*(2*6 + (25-1)*5)= 630. סה"כ: 1026.