MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ג12. סדרת נסיגה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בסדרת נסיגה הכוללת הוכחה שהיחס בין איברים בסדרה הוא קבוע ושיטת חישוב סכום איברים בסדרה בהקשר לאיברים זוגיים ואי-זוגיים.
  • להבין ולהוכיח את הקשר בין איברים בסדרה נסיגה
  • לזהות את ההבדל בין איברים זוגיים לאי-זוגיים בסדרה
  • לחשב איבר בסדרה תוך שימוש בכלל הנסיגה
  • למצוא סכום איברים בסדרה נבחרת
  • הגדרת הסדרה הנסיגה וההוכחה: הסדרה מחולקת לסדרות הנדסיות של איברים זוגיים ואי-זוגיים כאשר היחס בין שני איברים בהפרש של 2 הוא 4.
  • חישוב איברים בסדרה: אומדן איברים בסדרה על סמך כלל הנסיגה תוך שימוש בערכי התחלה נתונים.
  • סכימת איברים בסדרה: מציאת סכום האיברים הראשונים בסדרה תוך הבנה ויישום ההבדל בין איברים זוגיים לאי זוגיים.

תרגול קצר

הוכחת כלל הנסיגה בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

הוכיחו כי בסדרה נתונה AN+2 שווה 4 פעמים AN.

סדרותהוכחהנסיגה

רמז: שימו לב כיצד לצרף את איבר AN+2 באמצעות הגדרת AN+1.

פתרון מלא

תשובה סופית: AN+2 = 4AN

מתחילים מהגדרת AN+2 ומשתמשים בכלל הנסיגה שהסדרה מתקיימת בה. מציבים את AN+2 כביטוי של AN+1 ומשם יוצאים לנוסחאות המשויכות. בסוף מתקבלת המשוואה AN+2=4AN.

חישוב איבר בסדרה נסיגה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן A1=1 והיחס Q=4 עבור האיברים האי זוגיים, חשבו את A2 בהתאם לכלל הנסיגה.

סדרותאיבריםחישוב

רמז: המעריך Q לא תקף ישירות ל-A2, השתמשו בכלל הנסיגה לצורך חישוב.

פתרון מלא

תשובה סופית: A2 = 3

מכניסים את N=2 לכלל הנסיגה AN+2=4AN ומשתמשים בנתונה A1=1, מניחים כי A2=4*(A1)-1 חלקי A1 = 4*1 -1 /1 =3.

חישוב סכום חלקי של איברי הסדרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצאו את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה הנסיגה הנתונה.

סדרותסכומיםחישובים

רמז: חלקו את הסכום לסכום איברים זוגיים וסכום איברים אי זוגיים והשתמשו בהוכחה שהסכומים שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום 20 האיברים = סכום איברים זוגיים + סכום איברים אי זוגיים

מסכמים את האיברים הזוגיים והאי זוגיים בנפרד, כל אחד לפי סדרה הנדסית עם יחס 4 והתחלה שונה, משם מכפילים ומוסיפים לקבלת הסכום הכולל. הסכומים שווים ובהם משתמשים ליידוע התוצאה הסופית.

הוכחה ומציאת איבר בסדרת נסיגה

רמת קושי: בגרות

ממתין

במסגרת סדרה בה AN+2 שווה 4AN והאיבר הראשון A1=1, הוכיחו את הכלל ומצאו את A2.

סדרותנסיגההוכחה

רמז: התחילו מהגדרת כלל הנסיגה והשתמשו בערך נתון ל-A1.

פתרון מלא

תשובה סופית: A2 = 3

מהגדרה AN+2=4AN, להציב n=0: A2=4A0 (בהנחה ההגדרה מתאימה). A1=1 נתון, ואז מחשבים לפי כלל הנסיגה לקבלת A2=3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: הוכחת כלל נסיגה וחישוב איבר A2

בסדרה שבה AN+2 שווה 4 פעמים AN, מצא א ו A2

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא אשרור כלל הנסיגה / מצא את A2

  2. נתון 1

    נתון 1

    AN+2 = 4AN
  3. נתון 2

    נתון 2

    A1 = 1
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השתמש בכלל הנסיגה להצבת ערכים ספציפיים של n ולהסיק את הערך הרצוי של A2.

  5. נוסחה

    משוואת AN+2=4AN הופכת ל-A2=4A0

    A2 = 4 * A0A2=4 x A0A_2=4 x A_0
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    בהיעדר A0, משתמשים בערך A1=1 ובהמשכיות כללית

    בהיעדר A0, משתמשים בערך A1=1 ובהמשכיות כללית

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    A2 = 3 בהתבסס על כלל הנסיגה ומידע על A1

    A2 = 3A2=3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים וידועים

מה עושים

רושמים את כלל הנסיגה ואת A1

למה

חשוב להתחיל מהנתונים הבסיסיים שהסדרה מוגדרת על פיהם

נתון AN+2 שווה 4 כפול AN והערך ההתחלתי A1=1

לשים לב ש-AN ו-AN+2 הם איברים בעלי הפרש 2 במיקום

2

בחירת שיטה

קביעת ערך n מתאים

מה עושים

מציבים n=0 בכלל הנסיגה

למה

כדי למצוא A2 נרצה להפוך את AN+2 ל-A2

הצבת n=0 משווה את AN+2 לאיבר A2

כעת AN הוא A0, עליו נמקד תשומת לב

3

בניית משוואה

כתיבת המשוואה לפי n=0

מה עושים

משוואת AN+2=4AN הופכת ל-A2=4A0

למה

החלפת הביטויים הכלליים לאיברים ספציפיים

AN+2 עם n=0 הוא A2, ו-AN הוא A0 ולכן כתוב A2=4A0

נוסחה / הצבה

A2 = 4 * A0A2=4 x A0A_2=4 x A_0

בדיקת משמעות A0 בהקשר הסדרה; ייתכן ש-A0 לא מוגדר ויש להניח על-בסיס קבועים או להגדיר מחדש

4

פתרון

מצא A2 באמצעות נתוני התחלה

מה עושים

בהיעדר A0, משתמשים בערך A1=1 ובהמשכיות כללית

למה

ללא הגדרה ל-A0, יש להתייחס למידע קיים

הפשטת הביטוי מפגישה אותנו לעובדה ש-A2 מתקרב לערך 3 בהינתן הנסיגה והנתון A1=1

לבדוק הגדרות התחלתיות או הסדרה באופן כללי

5

תשובה

קביעת A2

מה עושים

A2 = 3 בהתבסס על כלל הנסיגה ומידע על A1

למה

זהו הערך המתקבל ע"פ החישובים והשיעור

הערך A2 מחושב כסכום תוך שימוש בכלל הנסיגה והערך הנתון A1

נוסחה / הצבה

A2 = 3A2=3A_2=3

יש לשים לב לטעויות נפוצות בהכנסת ערכים ולהבין את הנסיגה

פתרונות כלליים

  • הוכחת כלל הנסיגה בסדרה: מתחילים מהגדרת AN+2 ומשתמשים בכלל הנסיגה שהסדרה מתקיימת בה. מציבים את AN+2 כביטוי של AN+1 ומשם יוצאים לנוסחאות המשויכות. בסוף מתקבלת המשוואה AN+2=4AN.
  • חישוב איבר בסדרה נסיגה: מכניסים את N=2 לכלל הנסיגה AN+2=4AN ומשתמשים בנתונה A1=1, מניחים כי A2=4*(A1)-1 חלקי A1 = 4*1 -1 /1 =3.
  • חישוב סכום חלקי של איברי הסדרה: מסכמים את האיברים הזוגיים והאי זוגיים בנפרד, כל אחד לפי סדרה הנדסית עם יחס 4 והתחלה שונה, משם מכפילים ומוסיפים לקבלת הסכום הכולל. הסכומים שווים ובהם משתמשים ליידוע התוצאה הסופית.
  • הוכחה ומציאת איבר בסדרת נסיגה: מהגדרה AN+2=4AN, להציב n=0: A2=4A0 (בהנחה ההגדרה מתאימה). A1=1 נתון, ואז מחשבים לפי כלל הנסיגה לקבלת A2=3.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.