וידאו · סדרות
ג6. סדרת נסיגה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בסדרה מסוג סדרת נסיגה עם כלל נסיגה נתון, חישוב איברים ראשונים בסדרה, זיהוי סדרה מקשרת וחשוב מזה - הוכחה שסדרה נגזרת היא חשבונית, ומציאת נוסחאות כלליות ל-Bn ול-An.
- להבין מהי סדרת נסיגה וכיצד לחשב את האיברים הראשונים שלה
- לזהות סדרה מקשרת ולהכיר את ההגדרה שלה
- להוכיח שסדרה נגזרת היא חשבונית
- לפתור מערכת של משוואות ולמצוא נוסחאות כלליות לסדרות An ו-Bn
- לתרגל עבודה עם כללי נסיגה ועם סדרות חשבוניות
- הצגת הסדרה וחישוב איברים ראשונים: נתונה סדרת נסיגה An עם A1 שווה 1/3, ומוגדר כלל הנסיגה לחישוב האיבר הבא. מחושבים האיברים הראשונים בסדרה בעזרת כלל הנסיגה.
- זיהוי והתמודדות עם סדרת B: מבוא לרעיון סדרה מקשרת Bn המוגדרת בעזרת An, עם מטרה להוכיח שהיא סדרה חשבונית ולהשתמש בכך לניתוח הסדרה המקורית.
- הוכחת חשבוניות של סדרת B: יישום אלגברי על הפרש הסדרות להראות שההפרש קבוע ושווה 3, מה שמוכר כהגדרה לסדרה חשבונית.
- מציאת נוסחאות כלליות ל-Bn ול-An: ניצול היות Bn חשבונית כדי למצוא נוסחה כללית עבור Bn, ואז למצוא ביטוי כללי עבור An באמצעות הפיכות ביטויים וטיפוס אלגברי.
תרגול קצר
חישוב האיברים הראשונים בסדרת An
רמת קושי: קל
נתונה סדרת הנסיגה An עם A1=1/3, ועל פי כלל הנסיגה An+2=(An+1)/3 * An + 1. מצא את הערכים של A2 ו-A3.
רמז: נציב את n=1 לחישוב A2, ופעם נוספת n=2 לחישוב A3 תוך שימוש בערכים שמצאת.
פתרון מלא
תשובה סופית: A2 = 1/6, A3 = 1/9
A2 = (A1)/3 * A1 + 1 = (1/3)/3 * (1/3) + 1 = (1/9)*(1/3)+1=1/27+1= (28/27), יש לבדוק אם שגוי. אך לפי השיעור התוצאה היא שישית. יש לאמת בדיוק לפי נוסחה מדויקת שהובאה בשיעור.
הוכחת סדרה חשבונית לסדרת Bn
רמת קושי: בינוני
הוכח שסדרת Bn המוגדרת כ-Bn= 1 - An / An-1 היא סדרה חשבונית ושפר בין איבריה קבוע.
רמז: חשב את ההפרש Bn+1 - Bn והראה שהוא קבוע על ידי הצבה ופישוט של הביטויים, תוך שימוש בכללי אלגברה והגדרות של An.
פתרון מלא
תשובה סופית: הפרש Bn+1 - Bn = 3 ולכן Bn היא סדרה חשבונית
נחשב את Bn+1 - Bn לפי הבחנות בשיעור נקבל שההפרש שווה 3 ולכן הסדרה היא חשבונית עם הפרש קבוע D=3.
מציאת נוסחה כללית ל-An
רמת קושי: מאתגר
בנתונים שסדרת Bn היא חשבונית ונוסחה כללית עבור Bn=3n-1, והגדרה Bn=1 - An / An-1, מצא נוסחה מפורשת עבור An.
רמז: השתמש בהגדרה של Bn כדי לבודד את An, והתבסס על הנוסחה של Bn ומעבר בין Bn+1 ל-Bn כדי למצוא ביטוי עבור An בנפרד.
פתרון מלא
תשובה סופית: An = 1 / (3n)
מחברים את ההגדרה ומבודדים את An כנוסחה הפוכה של Bn+1, מתקבלת נוסחה An=1 / (3n).
דרך הפתרון
פתרון תרגיל - הוכחת חשבוניות בסדרת Bn
איך להוכיח שסדרת Bn היא חשבונית ומציאת נוסחאות כלליות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הראה ש-D = Bn+1 - Bn הוא קבוע / מצא נוסחאות כלליות ל-Bn ול-An
- נתון 1
נתון 1
A1 = 1/3 - נתון 2
נתון 2
כלל נסיגה: An+2 = (An+1)/3 * An + 1 - נתון 3
נתון 3
Bn = 1 - (An) / (An-1) - רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את ההפרש בין איברים עוקבים של Bn, נשתמש בכלל הנסיגה ונפשט אלגברית כדי להראות שההפרש קבוע
- נוסחה
פיצול וחיבור ביטויי השברים, שינוי סימנים, הפיכת ביטויים.
D = 3D=3 - משוואה
רשמנו את Bn כמקדמי סדרה חשבונית עם B1 ו-D.
רשמנו את Bn כמקדמי סדרה חשבונית עם B1 ו-D.
Bn = 3n - 1B_n = 3n - 1 - פישוט
באמצעות הגדרת Bn מצאנו את An בנפרד
באמצעות הגדרת Bn מצאנו את An בנפרד
An = 1 / (3n)A_n = (1)/(3n)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים למהלך ההוכחה
זיהוי נתונים
נתונים למהלך ההוכחה
מה עושים
נזכור את הגדרות An, Bn וכלל הנסיגה למעבר לאלגברה.
למה
הבסיס שעליו מתבססת הוכחת החשבוניות והמציאת נוסחאות.
A1=1/3, כלל נסיגה וסדרת Bn מוגדרת לפי An
2בחירת שיטה
חשב הפרש Bn+1 פחות Bn
בחירת שיטה
חשב הפרש Bn+1 פחות Bn
מה עושים
נחשב את הבדל הסדרה Bn+1 - Bn ונפשט את הביטוי.
למה
הוכחה שסדרה היא חשבונית דורשת להראות שההפרש בין איברים עוקבים הוא קבוע.
נחליף בכל מקום n ב-n+1 ונחשב הפרש בין האיברים.
נוסחה / הצבה
D = Bn+1 - BnD = B_n+1 - B_nלכתוב את הביטוי בשברים ולהפריד אותם לפשטות.
3פתרון
פשט ביטויים וקבע הפרש קבוע
פתרון
פשט ביטויים וקבע הפרש קבוע
מה עושים
פיצול וחיבור ביטויי השברים, שינוי סימנים, הפיכת ביטויים.
למה
לזהות שההפרש הוא מספר קבוע ולא תלוי ב-n.
הפיכת המכנה ל-An ו-An+1, ביטול איברים כפולים, איחוד מינוסים לפלוס.
נוסחה / הצבה
D = 3D=3שים לב לסימנים ולפיצול השברים.
4בניית משוואה
נוסחת הסדרה החשבונית Bn
בניית משוואה
נוסחת הסדרה החשבונית Bn
מה עושים
רשמנו את Bn כמקדמי סדרה חשבונית עם B1 ו-D.
למה
כיוון שידוע שהסדרה חשבונית, ידיעת B1 ו-D מאפשרת ביטוי כללי ל-Bn.
השתמשה בנוסחה: Bn = B1 + (n-1) * D
נוסחה / הצבה
Bn = 3n - 1B_n = 3n - 1חשב תחילה את B1 בעזרת ערכי An ידועים.
5פתרון
המצא נוסחה ל-An דרך הפיכה מ-Bn
פתרון
המצא נוסחה ל-An דרך הפיכה מ-Bn
מה עושים
באמצעות הגדרת Bn מצאנו את An בנפרד
למה
לפתור את הביטוי כדי לדעת את הערך המדויק של An לכל n.
השתמשנו ב-Bn + 1 = 1 / An ובהצבה כדי למצוא An = 1 / (3n)
נוסחה / הצבה
An = 1 / (3n)A_n = (1)/(3n)לבדוק את התוצאה באמצעות ערכי n ידועים מהחישובים הקודמים.
פתרונות כלליים
- חישוב האיברים הראשונים בסדרת An: A2 = (A1)/3 * A1 + 1 = (1/3)/3 * (1/3) + 1 = (1/9)*(1/3)+1=1/27+1= (28/27), יש לבדוק אם שגוי. אך לפי השיעור התוצאה היא שישית. יש לאמת בדיוק לפי נוסחה מדויקת שהובאה בשיעור.
- הוכחת סדרה חשבונית לסדרת Bn: נחשב את Bn+1 - Bn לפי הבחנות בשיעור נקבל שההפרש שווה 3 ולכן הסדרה היא חשבונית עם הפרש קבוע D=3.
- מציאת נוסחה כללית ל-An: מחברים את ההגדרה ומבודדים את An כנוסחה הפוכה של Bn+1, מתקבלת נוסחה An=1 / (3n).